Interpolation, (schlechte Fehlerabschätzung)

04.07.2013, 23:36	juergen_b	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolation, (schlechte Fehlerabschätzung) Hallo, ich habe eine Frage zur Interpolation bzw. zur Fehlerabschätzung: Die folgenden Daten sind gegeben: $\begin{eqnarray} x_i = 0, 1, 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_i = 2, \frac{1}{2}, \frac{2}{9} \end{eqnarray}$ Das Interpolationspolynom, was ich berechnet habe, sieht so aus: $\begin{eqnarray} P_2(x) = \frac{11}{18}x^2 - \frac{19}{9}x + 2 \end{eqnarray}$ . (Bis hierhin bin ich mir auch sicher, dass alles soweit stimmt.) Jetzt wurde gesagt, dass $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{2}{(x+1)^2} \end{eqnarray}$ die Funktion war, die es zu interpolieren galt. Wir sollen nun den Fehler abschätzen. Dazu gab es den Hinweis diese Abschätzung $\begin{eqnarray} \|f(x) - P_2(x)\| \leq \frac{\sup_{t \in [0,2]} \|f^{(3)}(t) \|}{3!} \cdot \|\omega(x)\| \end{eqnarray}$ zu verwenden mit dem zusätzlichen Hinweis, dass $\begin{eqnarray} \|\omega(x)\| \leq 0.5 \end{eqnarray}$ . Ich habe dann die 1. bis 3. Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ausgerechnet (die dritte ist $\begin{eqnarray} f^{(3)}(x) = \frac{-48}{(x+1)^5} \end{eqnarray}$ ) und komme damit auf $\begin{eqnarray} \|f(x) - P_2(x)\| \leq \frac{\sup_{t \in [0,2]} \|f^{(3)}(t) \|}{3!} \cdot \|\omega(x)\| \leq \frac{48}{3!} \cdot 0.5 = 4 \end{eqnarray}$ , was ja nun wirklich keine besonders genaue Abschätzung ist. Kann mir jemand sagen, warum die so ungenau ist? Habe ich irgendwas grundsätzliches falsch gemacht?
05.07.2013, 10:38	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation, (schlechte Fehlerabschätzung) Hallo, dein Interpolationspolynom ist auf jeden Fall richtig. $\begin{eqnarray} P_2(x) = \frac{11}{18}x^2 - \frac{19}{9}x + 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{2}{(x+1)^2} \end{eqnarray}$ Hier mal eine Skizze beider Funktionen: Die dritte Ableitung der Funktion ist auch richtig. Dass die Abschätzung so schlecht ist, liegt wohl in der Natur der Sache. Liegt vermutlich an der Oszillation der Funktion (siehe auch Runge-Funktion). Mit einer interpolation von höherem Grad ist hier eine bessere Abscgätzung zu erwarten.

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