Differentialgleichung Trennung der Variablen

05.07.2013, 15:02

heinzchen

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Differentialgleichung Trennung der Variablen

Meine Frage:
Hallo, benötige Hilfe bei folgender DGL die ich mit der Trennung der Variablen lösen soll.

y'= $\begin{eqnarray*} \frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$ +y

Meine Ideen:
y'= $\begin{eqnarray*} \frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$ +y

y'= $\begin{eqnarray*} \frac{3y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{3y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{3y} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

ln(3y) = ln(x) + C

Die Lösung ist : K* $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ....deswegen hab ich auch nicht weiter umgeformt. Kann mir bitte jemand weiter helfen.

05.07.2013, 16:04

lgrizu

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RE: Differentialgleichung Trennung der Variablen

Zitat:

Original von heinzchen

Meine Ideen:
y'= $\begin{eqnarray*} \frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$ +y

y'= $\begin{eqnarray*} \frac{3y}{x} \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn auf diesen Schritt?

Wende das Distributivgesetz auf y an und trenne dann die Variablen.

05.07.2013, 16:04

Equester

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geschockt

Du kannst doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} \frac{2y}{x}+y \end{eqnarray*}$ addieren, wo du keinen gleichnamigen Nenner hast! Erste Grundregel der Bruchrechnung.

Ohnehin hätte ich dir da einen anderen Vorschlag: Klammere rechts y aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Edit: Ah, die Feuerwehr ist schon da Freude

Freude

. Hi, lgrizu Wink

Wink

.

05.07.2013, 19:37

heinzchen

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Ja ist mir auch klar

hab das jetzt mal umgestellt

$\begin{eqnarray*} \frac{dy-y}{2y} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit ok ?

- 1/4y^2 = ln(x)

05.07.2013, 20:40

Mathe-Maus

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Nein.

Nutze den Vorschlag von Equester: Klammere rechts y aus.

05.07.2013, 20:52

heinzchen

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y'-y= 2y/x

soll das so gemeint sein ?

Ich weiß gar nicht genau wie ich das mit dem Ausklammern verstehen soll , ich kann ja y nur auf die andere Seite bringen

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05.07.2013, 21:01

Mathe-Maus

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$\begin{eqnarray*} y' = \frac{2y}{x} + y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} + y \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite y ausklammern.

05.07.2013, 21:11

heinzchen

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Tut mir leid, ich weiß grad nicht wie ich das machen soll

außer jetzt -y damit y auf der linke Seite steht

05.07.2013, 21:17

original

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Zitat:

Original von Mathe-Maus

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} + y \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite y ausklammern. smile

smile

.. es scheint so, dass heinzchen mal gefehlt hat traurig

traurig

wie soll er denn ausKlammern, wenn doch gar keine Klammern zu sehen sind?
Tipp:
also mach ihm das vielleicht mal sichtbar Wink

Wink

05.07.2013, 21:30

Mathe-Maus

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@original: Hmmm, ein Student sollte den Schulstoff der 6. Klasse doch können ....

Beispiel Ausklammern:

ax + a = a (x +1)

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{x} + a = a \cdot (\frac{1}{x} +1 ) \end{eqnarray*}$

05.07.2013, 21:51

heinzchen

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$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y} =(\frac{2}{x}+1)*dx \end{eqnarray*}$

05.07.2013, 21:56

Mathe-Maus

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Sieht doch gut aus ! Nun weiter ...

05.07.2013, 22:02

heinzchen

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ln(y)=2ln(x)+x+c

stimmt das soweit ?

05.07.2013, 22:04

Mathe-Maus

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Fast. Um x und y gehören Betragsstriche. Ansonsten passt es !

05.07.2013, 22:20

heinzchen

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e^y=e^ln(|x^2|)+e^x+e^c

y= x^2+e^x+K

ok ?

05.07.2013, 22:31

Mathe-Maus

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Wie wär´s , wenn Du Dir mal den Formeleditor anschaust ...

Die 1. Zeile stimmt.

Nun greifen die POTENZGESETZE .

$\begin{eqnarray*} a^{m+n} = a^{m} \cdot a^{n} \end{eqnarray*}$

05.07.2013, 22:38

original

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Zitat:

Original von Mathe-Maus

Die 1. Zeile stimmt. unglücklich

unglücklich

verwirrt

wieso meinst du,
dass die erste Zeile: -> e^y=e^ln(|x^2|)+e^x+e^c
stimmt ?
traurig

traurig

05.07.2013, 22:39

heinzchen

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es ist doch alles mit plus verknüpft, versteh ich jetzt nicht ganz

05.07.2013, 22:42

Mathe-Maus

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@original: Danke für Deine Aufmerksamkeit ...

1. Zeile müsste natürlich heißen:

$\begin{eqnarray*} e^{ln|y|} = e^{ln|x|^2 + x + c} \end{eqnarray*}$

05.07.2013, 22:44

heinzchen

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$\begin{eqnarray*} e^{y} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{ln(|x^2|)+x+c} \end{eqnarray*}$

stimmt das so ?

05.07.2013, 22:47

heinzchen

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y $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ *K

05.07.2013, 22:54

heinzchen

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Kurze Frage, warum muss ich bei $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y} \end{eqnarray*}$ = ln(|y|) Betragstriche setzen ? und auf der anderen Seite bei ( $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ +1)*dx=2ln(|x|)+x+c genau so ?

weil laut meiner Formelsammlung ist die Integration von 1/x = ln(x)

05.07.2013, 22:54

Mathe-Maus

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$\begin{eqnarray*} e^{ln|y|} = e^{ln|x|^2 + x + c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = x^{2} \cdot e^{x} \cdot C \end{eqnarray*}$

05.07.2013, 22:57

Mathe-Maus

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Betragsstriche:
1) Welche Formelsammlung benutzt Du ?
2) Was ist ln(-2)= .... ?
3) Was ist ln|-2| = .... ?

06.07.2013, 10:03

lgrizu

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Hier braucht es jedoch keine Betragsstrich:

$\begin{eqnarray*} \ln |x|^2 \end{eqnarray*}$ , quadrate sind eh stets positiv, dazu fehlen Klammern, richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \ln(|x|^2)=\ln(x^2) \end{eqnarray*}$

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