Nullstellen der 1.Ableitung (Extremwert)

06.07.2013, 14:08

quark

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Nullstellen der 1.Ableitung (Extremwert)

Meine Frage:
Guten Tag smile

smile

Ich bleibe grad beim Extremwert berechnen hängen und weiss nicht so ganz wie weiter.

Hier meine Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3-x^2}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Ich suche die Nullstellen der 1.Ableitung. Kann mir jemand weiterhelfen?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f('x)=\frac{\left(3x^2-2x\right)*\left(x^2-1\right)-\left[\left(x^3-x^2\right)*\left(2x\right) \right] }{\left(x^2-1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{3x^4-3x^2-2x^3+2x-\left[2x^4-2x^3\right] }{\left(x^2-1\right)^2 }= \frac{x^4-3x^2+2x}{\left(x^2-1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

Nun $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4-3x^2+2x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\left(x^3-3x+2\right) =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} =0 \end{eqnarray*}$ => ist eine Nullstelle

$\begin{eqnarray*} x^3-3x+2 =0 \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 14:10

Bjoern1982

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Bei einer solchen Gleichung kann z.B. Polynomdivision oder das Hornerschema helfen.
Dazu benötigt man jedoch noch eine (geratene) Nullstelle.

06.07.2013, 14:12

Bürgi

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RE: Nulsstellen der 1.Ableitung (Extremwert)
Hallo,

nach der Methode des scharfen Hinsehens erkennt man, dass x = 1 eine Lösung der Gleichung ist.

Nun mit Polynomdivision des Faktor (x - 1) herausdividieren und die quadratische Restgleichung lösen.

06.07.2013, 14:44

Adramelec

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Nährungsverfahren oder Taschenrechner fällt mir noch ein... ?!

06.07.2013, 14:50

quark

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RE: Nulsstellen der 1.Ableitung (Extremwert)
Danke fürs Antworten smile

smile

Gut, ich bekomme das:

$\begin{eqnarray*} \left(x^3-3x+2\right):\left(x-1\right)=x^2+x-2 \end{eqnarray*}$

Mit der Mitternachtsformel kann ich dann die quadratische Gleichung lösen: $\begin{eqnarray*} x_{2/3} =\frac{-1\pm \sqrt{-1^2-4*1*\left(-2\right) } }{2*1}= \frac{-1\pm 3}{2}=x_{2}= 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge x_{3}=-2 \end{eqnarray*}$

Warum ist $\begin{eqnarray*} x_{2} =1 \end{eqnarray*}$ ? Wenn ich den Graph der 1. Ableitung sehe, dann gibt es nur bei 0 und -2 eine Schnitt mit x-Achse.

gruss quark

06.07.2013, 14:52

Bjoern1982

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Bedenke dafür noch den Definitionsbereich von f.

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06.07.2013, 15:10

quark

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Nulsstellen der 1.Ableitung (Extremwert)
Der Definitionsbereich von f sind alle reele Zahlen ohne -1 und 1. Ok, dann 1 nicht definiert und somit keine Nullstelle.

06.07.2013, 15:37

Adramelec

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Was imr auch noch auffällt...

Vielleicht wars nicht so klug, das x herauszuheben. Hättest du nämlich das x belassen, hättest du es substituieren können und somit hättest du ne schöne quadratische Form.. smile

smile

06.07.2013, 15:41

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Adramelec
Vielleicht wars nicht so klug, das x herauszuheben. Hättest du nämlich das x belassen, hättest du es substituieren können und somit hättest du ne schöne quadratische Form.. smile

smile

Wie soll das denn gehen? Kann man das nicht eigentlich nur dann machen, wenn man so etwas wie $\begin{eqnarray*} ax^4+bx^2+c=0 \end{eqnarray*}$ hat? Aber hier ist doch $\begin{eqnarray*} x^4-3x^2+2x=0. \end{eqnarray*}$ Wie soll man da substituieren?

06.07.2013, 15:43

Adramelec

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Ach scheiße, ich hab beim c das x übersehen.

War vielleicht auch der Grund, warums mir beim ersten mal lesen nicht in den Sinn gekommen ist.

Sorry, dann ist natürlich mein Beitrag völliger Quatsch. Gott

Gott

unglücklich

06.07.2013, 15:51

Leopold

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Warum wird eigentlich so kompliziert gerechnet, wo doch gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^3 - x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1} \, , \ \ x \in \mathbb{R} \setminus \{ \pm 1 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{(x+1)^2} = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ (x+1)^2 = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ x+1 = \pm 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=0 \ \vee \ x=-2 \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 16:41

quark

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2.Ableitung (Extremwert)
Ich danke euch für die Hilfe Freude

Freude

Ich hab das Thema geändert. Jetzt mache ich die 2.Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x^4-3x^2+2x}{\left(x^2-1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left(4x^3-6x+2\right)*\left(x^2-1\right)^2-\left[\left(x^4-3x^2+2x\right)*2*\left(x^2-1\right)*2x \right] }{\left(x^2-1\right)^4 } \end{eqnarray*}$

Kann ich was ausklammern? Geht das wenn ich $\begin{eqnarray*} 2*\left(x^2-1\right) \end{eqnarray*}$ ausklammere?

06.07.2013, 16:45

Leopold

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$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{2}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 17:02

quark

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Hallo,

wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} f'(x)=1-\frac{1}{\left(x+1\right)^2 } \end{eqnarray*}$ ?

Ich bekomme das: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x\left(x+2\right) }{\left(x+1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 17:06

Leopold

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Das ist dasselbe.

06.07.2013, 17:10

Bjoern1982

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@ quark

Mach es doch ruhig auf deine Weise, es sei denn du traust dir zu solche Umformungen wie Leopold sie getätigt hat, ebenso zu.

Zitat:

Kann ich was ausklammern? Geht das wenn ich $\begin{eqnarray*} 2*\left(x^2-1\right) \end{eqnarray*}$ ausklammere?

Ja das geht. Freude

Freude

06.07.2013, 17:18

Leopold

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@ Bjoern1982

Ich habe keine besonderen Umformungen gemacht. Ich habe nur gleich zu Anfang bei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ faktorisiert und gekürzt, und zwar in offensichtlicher Weise (lediglich die Summendarstellung ist für Anfänger vielleicht trickreich, aber darauf könnte man auch verzichten). Warum soll man auch die ganze Zeit mit einem komplizierten Term rechnen, wenn es viel einfacher geht!
Wenn man nicht vereinfacht, kommt man bei der Nullstellensuche für $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ auf jene Gleichung dritten Grades, bei der man dann eine Nullstelle erraten muß, die dann im nachhinein keine Lösung ist. Das kommt von dem überflüssigen Faktor, den man gleich zu Anfang bei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hätte kürzen können und die ganze Zeit schwer im Gepäck mitschleppt. Und die Berechnung von $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ wird dann unanständig mühsam. Das hat quark doch hinreichend vorgeführt.

06.07.2013, 17:27

Bjoern1982

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Zitat:

Warum soll man auch die ganze Zeit mit einem komplizierten Term rechnen, wenn es viel einfacher geht!

Mir ist das klar und vielen anderen wahrscheinlich auch.
Nur wenn der Fragesteller (und darauf kommt es m. E. an) nun doch selbst einen eigenen Weg bestreiten mag und damit auch - nach deiner wiederholten Andeutungen der "schöneren" Ableitungen - fortfahren möchte, warum ihn dann immer wieder von diesem Weg abbringen ?

Den eleganteren Weg kann er ja später dann immer noch gehen, wenn er denn möchte.

06.07.2013, 17:40

Leopold

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Nur wenn der Fragesteller (und darauf kommt es m. E. an) nun doch selbst einen eigenen Weg bestreiten mag und damit auch - nach deiner wiederholten Andeutungen der "schöneren" Ableitungen - fortfahren möchte, warum ihn dann immer wieder von diesem Weg abbringen ?

Den eleganteren Weg kann er ja später dann immer noch gehen, wenn er denn möchte.

Es geht hier nicht um Eleganz, sondern um Umständlichkeit. Man sollte nie jemanden zur Umständlichkeit erziehen. Ich kenne Leute, die so rechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{34}{109} \cdot \frac{327}{17} = \frac{1118}{1853} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, daß das nicht stimmt - da wurde offenbar im Zähler nach richtiger Rechnung eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ vergessen. Und dann rechnen sie weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{1118}{1853} = 0{,}603345925 \end{eqnarray*}$

wobei sie die letzte Zahl gläubig aus dem Taschenrechner abgeschrieben haben.

Soll man die Leute für so eine Rechnung loben? Nur weil sie ihren eigenen Weg gehen wollen. Nein, man muß die Leute für so eine Rechnung tadeln, weil sie stur einen Weg verfolgen, immer denselben: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Wobei es ja so offensichtlich ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{34}{109} \cdot \frac{327}{17} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 6 \end{eqnarray*}$

07.07.2013, 13:46

quark

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Wie klammere ich nun am besten aus? verwirrt

verwirrt

07.07.2013, 13:50

Bjoern1982

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Kläre bitte zunächst mal mit welchem Lösungsweg du gerne weiter arbeiten möchtest, sonst gibt es nur Verwirrung.

07.07.2013, 13:57

quark

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Zitat:

Ich hab das Thema geändert. Jetzt mache ich die 2.Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x^4-3x^2+2x}{\left(x^2-1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left(4x^3-6x+2\right)*\left(x^2-1\right)^2-\left[\left(x^4-3x^2+2x\right)*2*\left(x^2-1\right)*2x \right] }{\left(x^2-1\right)^4 } \end{eqnarray*}$

Kann ich was ausklammern? Geht das wenn ich $\begin{eqnarray*} 2*\left(x^2-1\right) \end{eqnarray*}$ ausklammere? Leopold

Ich war da stehen geblieben.

07.07.2013, 14:03

Bjoern1982

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Das hatte ich dir ja schon bestätitgt, dass du das tun kannst.
Wobei es jetzt auch noch darauf ankommt, wofür die die 2. Ableitung brauchst.
Wenn sie jetzt nur zum Einsetzen der Extremstellen dient, dann muss man sich ja nicht unbedingt noch die Mühe machen möglichst toll zusammenzufassen.

07.07.2013, 14:19

quark

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ich hab das gemacht:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left(x^2-1)\right)*\left[\left(4x^3-6x+2\right)*\left(x^2-1\right)-\left(x^4-3x^2+2x\right)*2*2x \right] }{\left(x^2-1\right)^4 } \end{eqnarray*}$

und wenn ich kürze: $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left(4x^3-6x+2\right)-\left(x^4-3x^2+2x\right)*2*2x }{\left(x^2-1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

so noch ok...?

07.07.2013, 14:22

quark

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Ja, ich brauche die 2. Ableitung zum Einsetzen der Extremstellen.

07.07.2013, 14:34

Bjoern1982

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Das Kürzen gelingt dir nicht so ganz, denn du kannst nur Faktoren kürzen und nicht auch noch mittendrin irgendetwas, was gerade gut passt.
Das zweite (x²-1) ist zwar auch ein Faktor, ABER als Teil einer Differenz und das kannst du nicht kürzen.

07.07.2013, 14:54

quark

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oh, dann so: $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left(x^2-1\right)*\left[\left(4x^3-6x+2\right)*\left(x^2-1\right)-\left(x^4-3x^2+2x\right)*2\left(x^2-1\right)*2x \right] }{\left(x^2-1\right)^4 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\left[\left(4x^3-6x+2\right)*\left(x^2-1\right)-\left(x^4-3x^2+2x\right)*2*\left(x^2-1\right)*2x \right] }{\left(x^2-1\right)^3 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4x^5-6x^3+2x^2-4x^3+6x-2-\left[\left(x^4-3x^2+2x\right)*\left(4x^3-2x\right) \right] }{\left(x^2-1\right)^3 } \end{eqnarray*}$

noch ok?

07.07.2013, 15:05

Bjoern1982

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Nein, du hast da irgendwie nochmal ein (x²-1) reingewurschtelt.

Das hier war ja korrekt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left(x^2-1)\right)*\left[\left(4x^3-6x+2\right)*\left(x^2-1\right)-\left(x^4-3x^2+2x\right)*2*2x \right] }{\left(x^2-1\right)^4 } \end{eqnarray*}$

Machst du das ganze Zusammenfassen für dich selbst zur Übung oder hat das noch einen anderen Sinn (wenn du die Extremstellen ja eh nur Einsetzen willst) ?

07.07.2013, 15:22

quark

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ja, stimmt,... so muss es jetzt stimmen, wenn ich alles zusammenfasse:

$\begin{eqnarray*} =\frac{4x^5-6x^3+2x^2-4x^3+6x-2-\left[4x^5-12x^3+8x^2\right] }{\left(x^2-1\right)^3 } \end{eqnarray*}$

Ja, ich will nur die Extremstellen Einsetzen. Gibt es eine schnellere Variante...? Ich übe nur so mal für meine nächste Klausur.

07.07.2013, 15:36

Bjoern1982

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Ja, so ist es nun richtig.
Im Zähler kann man nun noch ein wenig zusammenfassen.

Zitat:

Gibt es eine schnellere Variante...?

Nun, wie gesagt, ehe du alles zusammengefasst hast, hättest du wahrscheinlich auch schon längst die Extremstellen in den nicht zusammengefassten Term eingesetzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der zusammengefasste Term sieht zwar hübsch er aus, aber es frisst natürlich noch mal mehr Zeit, wenn man noch etliche Klammern auflöst etc.

Wenn es nur um den Nachweis von Extrempunkten geht und das Ableiten mit der Quotientenregel eher mühsam ist, dann hätte man sich übrigens auch noch dem VZW-Kriterium (VZW=Vorzeichenwechsel) bedienen können, welches komplett ohne die 2. Ableitung funktioniert.

Und wie es mit minimalem Aufwand funktioniert, hat dir Leopold ja schon komplett gelöst aufgeschrieben.

Du kannst ja im Nachhinein noch einmal reflektieren und dann für dich selbst folgern, welcher Weg nun welche Vorteile hat.

08.07.2013, 12:08

quark

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Gut, nach der 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{x\left(x+2\right) }{\left(x+1\right)^2 } \end{eqnarray*}$ sieht die 2. Ableitung ja so aus: $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2}{\left(x+1\right)^3 } \end{eqnarray*}$ , so wie schon Leopold das gemacht hatte. Hab ich auch bekommen.

Ist viel kürzer gerechnet..., aber wie du schon sagtest muss ich selber für mich schauen welcher Weg am unkompliziertesten und zeitlich am idealsten für mich zu rechnen ist.

Dann wär das geklärt. Freude

Freude

Vielen Dank euch beiden!

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