Erzeuger und Relationen einer nichtabelschen Gruppe der Ordnung p^3 finden

07.07.2013, 22:39

Nougat

Erzeuger und Relationen einer nichtabelschen Gruppe der Ordnung p^3 finden

Hallo,

Angenommen, ich habe eine nichtabelsche Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^3 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Primzahl $\begin{eqnarray*} \neq 2 \end{eqnarray*}$ ), und eine zyklische Untergruppe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ . Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} G' = Z(G) \subset H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \triangleleft G \end{eqnarray*}$ gelten. (wobei $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ die Kommutatorgruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bezeichnet)
Sei $\begin{eqnarray*} H =\langle x | x^{p^2}=1 \rangle \end{eqnarray*}$ .
1)
Nun gibt es ein $\begin{eqnarray*} y \in G \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} y \notin H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^p =1 \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \langle y\rangle \cap H = \{1\} \end{eqnarray*}$ ,
denn:
Da $\begin{eqnarray*} H \triangleleft G \end{eqnarray*}$ , existiert die Faktorgruppe $\begin{eqnarray*} G/H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |G/H|=p \end{eqnarray*}$ also zyklisch. Man kann nun ein $\begin{eqnarray*} y\in G-H \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \langle y \rangle \cong G/H \end{eqnarray*}$ . (??)
2)
Es gilt nun $\begin{eqnarray*} yxy^{-1} = x^j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (j,p^2) =1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 1<j \leq p^2-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (j,p)=1 \end{eqnarray*}$

Nun will ich Erzeuger von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle y \rangle \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} j=p+1 \end{eqnarray*}$ gilt, weiß aber noch nicht genau, wie das geht...

Mein Versuch:
Sei nun $\begin{eqnarray*} (s,p)=1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} y^s \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} \langle y \rangle \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} y^sxy^{-s}=x^{j^s} \end{eqnarray*}$
Damit gilt nun $\begin{eqnarray*} j^p \equiv 0 (p^2) \end{eqnarray*}$

Dann weiß man noch, dass $\begin{eqnarray*} G' =Z(G) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [y,x]=z = x^{\alpha p} \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} x^{\alpha p} \end{eqnarray*}$ Erzeuger der einzigen zyklischen Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist)

Also folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} yxy^{-1}= x^{\alpha p +1} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich schon fast das da stehen, was ich haben will, aber warum kann ich jetzt $\begin{eqnarray*} \alpha =1 \end{eqnarray*}$ wählen??

08.07.2013, 08:38

tmo

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RE: Erzeuger und Relationen einer nichtabelschen Gruppe der Ordnung p^3 finden

Zitat:

Original von Nougat
Mein Versuch:
Sei nun $\begin{eqnarray*} (s,p)=1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} y^s \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} \langle y \rangle \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} y^sxy^{-s}=x^{j^s} \end{eqnarray*}$
Damit gilt nun $\begin{eqnarray*} j^p \equiv 0 (p^2) \end{eqnarray*}$

In der letzten Zeile steckt ein Fehler.

Es muss heißen $\begin{eqnarray*} j^p \equiv 1 \pmod {p^2} \end{eqnarray*}$ .

Und nun folgt direkt das Gewünschte:

$\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ hat Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , also durchlaufen die Potenzen $\begin{eqnarray*} j,j^2, \dotsc, j^{p-1} \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ Elemente der Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/p^2 \mathbb Z)^* \end{eqnarray*}$ , inbesondere auch das Element $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ .

08.07.2013, 23:45

Nougat

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Vielen Dank schonmal! smile