Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie

08.07.2013, 22:38

Theend9219

Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie

Bestimmen Sie alle abelschen Gruppen der Ordnung 16 bis auf Isomorphie.

Also meine Überlegung sagt mir, das es 5 abelsche Gruppen der Ordnung 16 gibt. Wegen $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \end{eqnarray*}$ aber wie prüfe ich das nun auf Ismorphie?..
LG shelly

08.07.2013, 23:22

Mulder

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Es gibt dazu einen wunderschönen Satz: Den Struktursatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Den solltest du dir mal anschauen.

Zitat:

Original von Theend9219
Also meine Überlegung sagt mir, das es 5 abelsche Gruppen der Ordnung 16 gibt. Wegen $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \end{eqnarray*}$ aber wie prüfe ich das nun auf Ismorphie?..

Ich kann dir hier grad nicht so ganz folgen... "bis auf Isomorphie" bedeutet halt, dass zu untersuchen ist, von welcher Struktur so eine Gruppe der Ordnung 16 sein kann.

Einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 16 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe der Ordnung 16. Und zwar eine zyklische. Da jede zyklische Gruppe der Ordnung 16 aber isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 16 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, ist das in diesem Sinne eben "bis auf Isomorphie" die einzige zyklische Gruppe der Ordnung 16.

Es gibt ja auch noch Gruppen von anderer Struktur. Ein weiteres Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 4 \mathbb Z \times \mathbb Z / 4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Das Ding ist sicher nicht zyklisch und daher auch nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 16 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ isomorph.

Wie gesagt: Schau dir den Struktursatz an, der liefert dir das ruckzuck.

09.07.2013, 10:34

Theend9219

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Hey Mulder,
ich wollte es eigendlich schaffen, dass ich keine peinlichen Fragen stelle oder auf die einfachsten Sachen nicht komme ... Ich habe mich hin und her belesen und komme aber leider nicht auf gute Ansätze..
Ich wollte mit der 16 eine Primfaktorzerlegung durchführen und wollte eigendlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4} \end{eqnarray*}$ .
Ich weiß leider nicht wirklich, was ich mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /4\mathbb Z \times \mathbb Z /4\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist ja immer die kleinsche Vierergruppe. Jetzt weiß ich aber nicht ob \times die Verknüpfung bezüglich der Addition oder Multiplikation entspricht ..
Und die Quelle für Wikipedia für die endlich erzeugte abelsche Gruppe hilft mir auch nicht viel weiter ..Bei der Isomorphie muss ich ja auf den Homomorphismus prüfen und die Bijektivität...

Lg shelly..

09.07.2013, 10:54

Mulder

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie

Zitat:

Original von Theend9219
Ich wollte mit der 16 eine Primfaktorzerlegung durchführen und wollte eigendlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4} \end{eqnarray*}$ .

Also ging es dir um die Partitionsfunktion? In der Tat kommt man damit auf P(4)=5 verschiedene Gruppen der Ordnung 16. Aber das kriegt man mit dem Struktursatz sowieso auch.

Zitat:

Original von Theend9219
Ich weiß leider nicht wirklich, was ich mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /4\mathbb Z \times \mathbb Z /4\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Das ist irgendwie kein vollständiger Satz.

Zitat:

Original von Theend9219
Das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist ja immer die kleinsche Vierergruppe.

Nein. Z/4Z ist zyklisch, die kleinsche Vierergruppe hingegen sicherlich nicht.

Zitat:

Original von Theend9219
Jetzt weiß ich aber nicht ob \times die Verknüpfung bezüglich der Addition oder Multiplikation entspricht ..

Weder noch, das symbolisiert das direkte Produkt zweier Gruppen. Die Verknüpfung geschieht dann komponentenweise. In diesem Fall ist aber natürlich jeweils die Addition gemeint, falls du das wissen willst. Bezüglich Multiplikation ist Z/nZ ja gar keine Gruppe.

Du bist auch auf der falschen Wikipedia-Seite. Klick.

Edit: ich seh grad, dass das Beispiel 16 da sogar durchgekaut wird...

09.07.2013, 13:31

Theend9219

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Hey,
leider hilft mir die "Lösung" bei Wikipedia recht wenig beim Verständnis. Ich weiß leider nicht, wie die Partition z.B von $\begin{eqnarray*} C^{4} \end{eqnarray*}$ aussieht ... Da hilt mir auch keine Wiki-Partitionssuche. Danke für die Erklärung des $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ Symbols. Ich denke bei mir hapert es an dem Grundverständnis für die Isomorphie. Mit der Definition der Isomorphie für Gruppen, tue ich mich schwer.

Zitat:

Satz 1.17 (Isomorphismus für Gruppen)

Es sei $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ ein Morphismus von Gruppen (auch Gruppenmorphismus genannt). Dann ist die Abbildung

$\begin{eqnarray*} g: G/ker f \rightarrow im f, \overline{a} \rightarrow f(a) \end{eqnarray*}$ zwischen der Faktorgruppe $\begin{eqnarray*} G/ker f \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und der Untergruppe im $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$
ein Isomorphismus.

Wobei ich das jetzt folgendermaßen interpretiere:
Also in LinAlg habe ich mal gelernt ein Homomorphismus ist dann ein Isomorphismus, wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bijektiv ist. Ja das ist ja noch klar. Aber das mit dem Kern und Bild von f verstehe ich nicht...

09.07.2013, 15:41

Mulder

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Das ist der Homomorphiesatz. Obgleich sehr wichtig, spielt er hier eigentlich im Moment keine entscheidende Rolle.

Ja, ich weiß nicht... ohne zu wissen, was Isomorphie bedeutet, ist so eine Aufgabe schwierig zu bearbeiten. Man nennt zwei Gruppen G, H isomorph, wenn es zwischen diesen beiden Gruppen einen Isomorphismus (also einen bijektiven Homomorphismus) gibt, ja.

Isomorphie bedeutet eben, dass sie vom strukturellen Aufbau her "gleich" sind. Sprich welche Eigenschaft hat die Gruppe (abelsch, zyklisch), etc, wie sehen die Untergruppen aus, welche Ordnung haben die Elemente der Gruppe, etc.

09.07.2013, 16:46

Theend9219

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Hey, danke für deine Antwort...

Also Gruppen der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p = prim \end{eqnarray*}$ sind stets abelsch. Also kann ich doch schon einmal sagen, dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ abelsch sind, wobei zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ noch gesagt werden kann, dass es sogar elementarabelsch ist.

Außerdem sind alle zyklischen Gruppen abelsche Gruppen. Falls n eine natürliche Zahl ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, n\mathbb Z) \end{eqnarray*}$ genau dann zyklisch, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 2,4,p^{k} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2p^{k} \end{eqnarray*}$ ist für eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Also ist dann :

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{5},\mathbb Z_{7},\mathbb Z_{9},\mathbb Z_{11}, \mathbb Z_{13},\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
zyklisch, und da jede zyklische Gruppe auch abelsch ist, ist diese auch abelsch.

Ist diese Vorgehensweise die Richtige ?

Liebe Grüße Shelly

09.07.2013, 16:53

Mulder

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Die Aufgabe sah vor, alle Gruppen der Ordnung 16 zu finden. Du schreibst jetzt irgendwelche Gruppen von ganz anderer Ordnung hin. Wofür, wenn ich fragen darf? verwirrt

Zitat:

Original von Theend9219
Falls n eine natürliche Zahl ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, n\mathbb Z) \end{eqnarray*}$ genau dann zyklisch, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 2,4,p^{k} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2p^{k} \end{eqnarray*}$ ist für eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

Wer behauptet denn sowas? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist für jede natürliche Zahl zyklisch (und wird z.B. von der 1 erzeugt). Wir sind hier bei additiven Gruppen, das ist klar, ja?

Und wie ich oben schon sagte: Mit den zyklischen Gruppen sind wir so oder so schon komplett durch.

09.07.2013, 17:26

Theend9219

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Oh..nein.. Ich war irgendwie auf den Weg gerutscht die abelschen Gruppen bis zur Ordnung 16 zu finden...Ja mit dem zyklischen sind wir durch du sagtest ja das da lediglich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/16\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , die einzige zyklische Gruppe ist, wegen ("bis auf Isomorphie"). Die Diedergruppen muss ich ja hier nicht behanden, denn diese gelten ja für nicht-abelsch. Wegen deinem Vorschlag mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4\mathbb Z \times \mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Die Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ entsprechen den Partitionen von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ gibt das nur die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ . Für k=2 hat man die Partitionen $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=1+1 \end{eqnarray*}$ , die entsprechenden Gruppen sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} k=4 \end{eqnarray*}$ , und das ist ja mein Fall, denn $\begin{eqnarray*} 2^{4} = 16 \end{eqnarray*}$ erhalte ich :
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{16}, \mathbb Z_{8} \times \mathbb Z_{2}, \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{4}, \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$

Und das müssten doch jetzt alle sein, oder?

09.07.2013, 18:11

Mulder

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Ja, das sind alle.

09.07.2013, 18:13

Theend9219

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RE: Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie
Danke, ich hoffe du verzeihst mir, dass ich eine "negative" Schwäche für Algebra habe ..

Danke für deine Hilfe.
Shelly.

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Gruppen der Ordnung 16 auf isomorphie

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