Körpergrad II

09.07.2013, 21:40

Theend9219

Körpergrad II

Hallo, ich möchte noch einmal den Körpergrad bestimmen von $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt[5]{3} e^{\frac{-2\pi i}{5}}):\mathbb Q] \end{eqnarray*}$ . Also ich habe mir das einfach folgendermaßen gedacht:

$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q] \end{eqnarray*}$ . Nun versuche ich die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu bestimmen:

Jedoch ist da mein Problem: In der Lösung steht $\begin{eqnarray*} x^{5}-3 \end{eqnarray*}$ . Das erscheint mir ja auch logisch für den Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{3} \end{eqnarray*}$ aber was ist mit dem $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-2\pi i}{5}} \end{eqnarray*}$ . Das fehlt ja irgendwie.

Aber mit dem $\begin{eqnarray*} x^{5}-3 \end{eqnarray*}$ sieht man einfach, dass der Körpergrad gleich $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ist. Hat man es möglicherweise daher weggelassen, da es eh keinen Einfluss auf den Körpergrad hat?

Liebe Grüße Shelly

09.07.2013, 21:51

Mulder

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RE: Körpergrad II
Was ergibt denn $\begin{eqnarray*} \left ( e^{-\frac{2 \pi i}{5} } \right )^5 \end{eqnarray*}$ ?

09.07.2013, 21:54

Theend9219

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RE: Körpergrad II

Zitat:

Original von Mulder
Was ergibt denn $\begin{eqnarray*} \left ( e^{-\frac{2 \pi i}{5} } \right )^5 \end{eqnarray*}$ ?

Oh das Ergibt 1...Okay dann hat sich meine Frage geklärt..Und wegen der $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ kann man ja sagen, dass wegen dem Eisenstein-Kriterium gesagt werden kann, dass das es irreduzibel ist, oder? Wegen der Primzahl

09.07.2013, 21:58

Mulder

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RE: Körpergrad II
Das Polynom ist nach Eisenstein irreduzibel, ja. Und damit das Minimalpolynom von deinem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

09.07.2013, 23:06

Theend9219

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RE: Körpergrad II
Hey Mulder Dankeschöön!
Ich habe noch einmal eine andere kleine Frage, die ich aber nicht in einem neuen Thread eröffnen will, sie aber zu der Thematik annährend passt.
Sei $\begin{eqnarray*} f = x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x+5 \end{eqnarray*}$ . Die Reduktion von $\begin{eqnarray*} f mod 3 \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} \tilde{f} = \tilde{1}x^{4}+\tilde{2}x^{3}+\tilde{3}x^{2}+\tilde{4}x+\tilde{5} = \tilde{1}x^{2}+\tilde{2}x^{3}+\tilde{1}x+\tilde{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe gelernt, dass ein reduktion modulo p mit einem Polynom $\begin{eqnarray*} f = a_{n}x^{n} +...+a_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ mit einer Primzahl p bezeichnet wird mit
$\begin{eqnarray*} \tilde{f} = \tilde{a_{n}}x^{n}+...+\tilde{a_{0}} \in \mathbb Z/ p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Ich weiß aber nicht wie die da jetzt auf diese Lösung kommen ..
LG Shelly

09.07.2013, 23:30

Mulder

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RE: Körpergrad II
Ich sehe nirgends ne Aufgabe oder ne Info, was genau du überhaupt machen möchtest. Da steht nur ein Polynom.

09.07.2013, 23:43

Theend9219

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RE: Körpergrad II
Entschuldigung für die undeutliche Ausdrucksweise .. Ich möchte gern wissen, wie man auf "Reduktion von f modulo 3" kommt ..

lg

10.07.2013, 01:05

Mulder

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RE: Körpergrad II
Okay, ich muss grad raten...

Willst du wissen, woran man erkennt, bzw. wie man darauf kommt, dass man modulo 3 oder so reduzieren soll? Willst du auf Irreduzibilität untersuchen oder wie?

Die Antwort ist: Da gibt es kein allgemeines Kochrezept. Das ist im Prinzip reines Rumprobieren, bzw. es sei denn, man hat ein sehr gutes Auge und sieht gleich auf Anhieb, dass man mit der und der Primzahl was sinnvolles machen kann. Aber so wirklich klare Indizien gibt es da nicht, wann das Reduzieren sinnvoll ist oder nicht. Jedenfalls wüsste ich nicht, welche.

10.07.2013, 08:22

Theend9219

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RE: Körpergrad II
Hey Mulder, es ging mir darum, wie man darauf kommt.

Danke für deine Erkläruung Augenzwinkern

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