Beweis: Teilmenge ist eine Untergruppe

10.07.2013, 17:25

Theend9219

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Beweis: Teilmenge ist eine Untergruppe

Halloo,
folgende Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z := \left\{ az_{1}+bz_{2}: z_{1},z_{2} \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ ist. Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ ist die additive Gruppe mit dem neutralen Element der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , welches man auch als Nullelement bezeichnet. Das Inverse Element ist bezüglich der Addition eines Elementes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ . Ich müsste zeigen, mit zwei Elementen aus der Gruppe ist auch deren Verknüpfung in der Gruppe.

Also ich habe dann zwei Elemente $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z + b\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \mathbb Z + d\mathbb Z \end{eqnarray*}$

dann gilt $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z + b\mathbb Z + c \mathbb Z + d\mathbb Z \in (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$

Eh ich hier jetzt weiter mache, ist dies überhaupt der richtige Ansatz?
LG

10.07.2013, 17:40

10001000Nick1

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RE: Beweis: Teilmenge ist eine Untergruppe

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z := \left\{ az_{1}+bz_{1}: z_{1},z_{2} \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du dich bei dieser Definition irgendwo vertippt hast? Wo kommt denn auf einmal $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ her?

10.07.2013, 17:42

m4themag1er

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RE: Beweis: Teilmenge ist eine Untergruppe

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z := \left\{ az_{1}+bz_{1}: z_{1},z_{2} \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du dich bei dieser Definition irgendwo vertippt hast? Wo kommt denn auf einmal $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ her?

Gemeint ist offensichtlich
$\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z := \left\{ az_{1}+bz_{2}: z_{1},z_{2} \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

10.07.2013, 17:44

Theend9219

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RE: Beweis: Teilmenge ist eine Untergruppe
Oh Entschuldigung... Gemeint ist natürlich das von m4themag1er

10.07.2013, 17:47

10001000Nick1

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OK.

Zitat:

Original von Theend9219
Also ich habe dann zwei Elemente $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z + b\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \mathbb Z + d\mathbb Z \end{eqnarray*}$

So geht das nicht. Was sollen denn c und d sein?

Du nimmst einfach zwei Elemente aus $\begin{eqnarray*} \left\{ az_{1}+bz_{2}: z_{1},z_{2} \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$ (z.B. $\begin{eqnarray*} az_1+bz_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} az_3+bz_4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_1, z_2, z_3, z_4 in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ), und zeigst jetzt, dass die Summe $\begin{eqnarray*} az_1+bz_2+az_3+bz_4 \end{eqnarray*}$ wieder in der Menge ist. Das geht sehr einfach.

Außerdem musst du auch noch zeigen, dass zu jedem Element ein inverses Element existiert. Ist ebenfalls ziemlich einfach.

10.07.2013, 18:00

Theend9219

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Reicht es da nicht einfach die Kommutativität darzustellen mit

$\begin{eqnarray*} (az_{1}+bz_{2}) +(az_{3}+bz_{4}) = (az_{3}+bz_{4})+(az_{1}+bz_{2}) \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} a+b = b+a \end{eqnarray*}$

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10.07.2013, 18:11

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Theend9219
Reicht es da nicht einfach die Kommutativität darzustellen mit

$\begin{eqnarray*} (az_{1}+bz_{2}) +(az_{3}+bz_{4}) = (az_{3}+bz_{4})+(az_{1}+bz_{2}) \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} a+b = b+a \end{eqnarray*}$

Damit hast du aber immer noch nicht gezeigt, dass diese Summe eine Element der Gruppe ist.

10.07.2013, 18:29

Theend9219

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Das heißt also ich soll noch die Assoziativität, die Existenz des neutralen Elementes, und die Ex. des inversen zeigen?

Assozitaitvität Ich nehme 3 Elemente: $\begin{eqnarray*} az_{1}+bz_{2}, az_{3}+bz_{4}, az_{5}+bz_{6} \end{eqnarray*}$

Dann muss für die Asszoziativgesetz gelten:

$\begin{eqnarray*} (az_{1}+bz_{2} + az_{3}+bz_{4})+az_{5}+bz_{6} = az_{1}+bz_{2} +(az_{3}+bz_{4}+az_{5}+bz_{6}) \end{eqnarray*}$

Neutrale Element:

$\begin{eqnarray*} 0 + az_{1}+bz_{2} = az_{1}+bz_{2} +0 = az_{1}+bz_{2} \end{eqnarray*}$

und das Inverse:

$\begin{eqnarray*} az_{1}+bz_{2} + ( -az_{1}-bz_{2}) = az_{1}-az_{1} +bz_{2}-bz_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

so? Nick?

10.07.2013, 18:37

10001000Nick1

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Ja, so könnte man das machen. Du hast also gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z := \left\{ az_{1}+bz_{2}: z_{1},z_{2} \in \mathbb R\right\}\subset \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wieder eine Gruppe ist. Also ist die menge dann eine Untergruppe.

Ich meinte eigentlich ein anderes Vorgehen: siehe Wikipedia.
Bei deinem Beispiel geht deine Vorgehensweise eigentlich genau so schnell, aber manchmal geht es sehr viel schneller, wenn man diese Bedingungen, die bei Wikipedia stehen, prüft.

10.07.2013, 18:50

Theend9219

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Danke Nick! Augenzwinkern

Augenzwinkern

In der Aufgabe ist dann noch ein Zusatz:

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b + 7a \end{eqnarray*}$ diese Untergruppe erzeugen. In meinem Lehrbuch steht:

Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subset G \end{eqnarray*}$ ist :

$\begin{eqnarray*} Erz(M) = \left\{ a_{1}^{\epsilon_{1}} \cdot ... \cdot a_{n}^{\epsilon_{n}} : n \in \mathbb N, a_{i} \in M, \epsilon_{i} = \pm 1\right\} \end{eqnarray*}$ .
Jedoch ist es jetzt in meinem Beispiel für die additive Gruppe die Verknüpfung bezüglich der Addition.

Heißt das jetzt ich mache:

$\begin{eqnarray*} Erz(\mathbb Z,+) = (z_{1}-z_{1})+(z_{2}-z_{2})+ ... + (z_{n}-z_{n}) \end{eqnarray*}$
weil das ist ja eigendlich die Menge aller endlichen Summen von Elementen aus $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ und ihren Inversen, aber warscheinlich ist dies komplett der falsche Weg, da ich ja nicht auf diesen Lösungsvorschlag komme... Ich hoffe du kannst mir nochmal helfen.

10.07.2013, 19:05

10001000Nick1

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Da die Verknüpfung hier die Addition ist, ist $\begin{eqnarray*} a_i^\epsilon=\begin{cases}a_i\text{, falls }\epsilon=1 \\ -a_i\text{, falls }\epsilon=-1\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_i^{-1} \end{eqnarray*}$ ist hier also das inverse Element von $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ bezüglich der jeweiligen Verknüpfung.

Wegen $\begin{eqnarray*} Erz(M) = \left\{ a_{1}^{\epsilon_{1}} \cdot ... \cdot a_{n}^{\epsilon_{n}} : n \in \mathbb N, a_{i} \in M, \epsilon_{i} = \pm 1\right\} \end{eqnarray*}$ musst du also zeigen, dass man jedes Element aus $\begin{eqnarray*} \left\{ az_{1}+bz_{2}: z_{1},z_{2} \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$ als Summe von Vielfachen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b+7a \end{eqnarray*}$ darstellen kannst.

Jetzt habe ich mal noch eine Frage an dich: Nach der Korrektur am Anfang hatten wir $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z := \left\{ az_{1}+bz_{2}: z_{1},z_{2} \in \mathbb R\right\}. \end{eqnarray*}$ Das müsste doch aber $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z := \left\{ az_{1}+bz_{2}: z_{1},z_{2} \in \mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$ heißen, oder nicht? Außerdem sollen doch sicherlich auch $\begin{eqnarray*} a, b\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ sein.

10.07.2013, 21:14

Theend9219

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Hey Nick!
Auch nach langer Denkzeit, weiß ich nicht wie ich heran gehen soll, d.h wie ich das als Vielfaches darstellen soll. a heißt ja ein vielfaches von b, wenn $\begin{eqnarray*} a = k\cdot b \end{eqnarray*}$ ...

$\begin{eqnarray*} az_{1}+bz_{2} = k_{1} \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} az_{3}+bz_{4} = k_{2} \cdot a \end{eqnarray*}$

Ich kann es mir nur irgendwie so vorstellen ....

Ja das muss natürlich der Zahlenbereich der ganzen Zahlen sein..

Liebe Grüße

11.07.2013, 11:39

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} az_{1}+bz_{2} = k_{1} \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} az_{3}+bz_{4} = k_{2} \cdot a \end{eqnarray*}$

So ähnlich. Du brauchst dir nur ein Element aus der Untergruppe nehmen, z.B. $\begin{eqnarray*} az_1+bz_2 \end{eqnarray*}$ , und dann muss man das darstellen als $\begin{eqnarray*} az_1+bz_2=ka+l(b+7a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k, l\in\mathbb Z. \end{eqnarray*}$ (Auf der rechten Seite stehen dann die Vielfachen von a bzw. (b+7a)).

Du musst jetzt also zeigen, dass es für alle beliebigen $\begin{eqnarray*} z_1, z_2\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} k, l\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt, sodass diese Gleichung erfüllt ist.

11.07.2013, 11:53

Theend9219

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Hallo Nick! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen lieben Dank für deine Antwort:

Meine einzige Idee das irgendwie in eine Formel zu packen damit das für alle gilt ist:

$\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z = ka +l(b+7a) \end{eqnarray*}$

wobei: $\begin{eqnarray*} a\mathbb Z+b\mathbb Z = \left\{ az_{1}+bz_{1}, z_{1},z_{2} \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k,l \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

11.07.2013, 12:01

10001000Nick1

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Nein. Wenn du das so schreibst, hättest du ja auf der linken Seite der gleichung eine Menge, und auf der rechten Seite eine Summe. Das kann ja dann nicht stimmen.

Na gut, noch ein Tipp: $\begin{eqnarray*} az_1+bz_2=ka+l(b+7a)=ka+lb+7la=a(k+7l)+bl \end{eqnarray*}$

Durch einen Koeffizientenvergleich kannst du jetzt ganz einfach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

11.07.2013, 12:08

Theend9219

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Danke!

Dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} 1 = k+7l \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 1 = l \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} l =1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k = -6 \end{eqnarray*}$

11.07.2013, 12:11

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Theend9219
Dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} 1 = k+7l \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 1 = l \end{eqnarray*}$

Wieso steht denn da auf der linken Seite eine 1? geschockt

geschockt

11.07.2013, 12:16

Theend9219

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oh da hab ich was falsch gemacht das müsste dann doch

$\begin{eqnarray*} z_{1} = k+7l \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2} = l \end{eqnarray*}$

Also ist dann $\begin{eqnarray*} z_{2} = l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{1} = k+7l \end{eqnarray*}$ , oder?

11.07.2013, 12:17

10001000Nick1

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Das musst du jetzt aber noch nach k und l auflösen.

11.07.2013, 12:22

Theend9219

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Danke für deine Antwort Nick!

Also dann:

$\begin{eqnarray*} k= z_{1}-7z_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l=z_{2} \end{eqnarray*}$

11.07.2013, 12:23

10001000Nick1

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Genau so!

Freude

11.07.2013, 12:30

Theend9219

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Dankeschön für deine Hilfe Nick! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schönen Tag Dir noch

11.07.2013, 14:15

10001000Nick1

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Wünsche ich dir auch! Wink

Wink

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