Drehungsmatrix finden

11.07.2013, 00:22	3asy	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehungsmatrix finden Servus Leuts, Erstsemester hier am verzweifeln. Folgendes Problem: In $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ betrachten wir die Ebene E, die durch die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} <br /> v_1: \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} v_2: \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ aufgespannt ist. Zusätzlich ist noch eine Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} B={b_1, b_2, b_3} \end{eqnarray}$ gegeben. Nun lautet die Aufgabe: Bestimmen Sie die Matrix der Drehung um den Nullpunkt D, die die Ebene E in sich abbildet und dabei den Vektor $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ auf ein positives Vielfaches von $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ abbildet, bezüglich dieser Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Nun haben wir in den Vorlesungen nur Drehungen im R^2 betrachtet und noch rein gar nix zum R^3 gemacht. Wikipedia hilft auch nicht großartig weiter. Das einzige was ich bisher geschafft habe ist folgendes festzuhalten: Winkel zwischen $\begin{eqnarray} v_1, v_2 = arccos(2/\sqrt(18) \end{eqnarray}$ . Und es muss nach Aufgabe auch nach der Drehung gelten: $\begin{eqnarray} v_1 = v_2x, x \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Mehr hab ich nicht raus. :/ Danke im vorraus an alle Helfer!
11.07.2013, 09:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst muss man die Drehachse und den Drehwinkel bestimmen: Drehachse: Die Drehung bildet diejenige Ebene auf sich selbst ab, die durch die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec v_1, \vec v_2 \end{eqnarray}$ aufgespannt wird. Deshalb ist die auf 1 normierte Drehachse $\begin{eqnarray} \vec d \end{eqnarray}$ gerade das auf 1 normierte Vektorprodukt $\begin{eqnarray} \vec d=\tfrac{\vec v_1 \times \vec v_2}{\|\vec v_1 \times \vec v_2\|} \end{eqnarray}$ . (Da dieser Vektor senkrecht auf der Ebene steht, ändert er sich bei der Drehung nicht, was gerade die Definition der Drehachse ist.) Drehwinkel: Da die Drehung den Original-Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \tfrac{\vec v_1}{\|\vec v_1\|} \end{eqnarray}$ auf den Bild-Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \tfrac{\vec v_2}{\|\vec v_2\|} \end{eqnarray}$ abbildet, also $\begin{eqnarray} D\tfrac{\vec v_1}{\|\vec v_1\|}=\tfrac{\vec v_2}{\|\vec v_2\|} \end{eqnarray}$ , ist der Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gerade der Winkel zwischen beiden Einheitsvektoren. Gemäß der allgemeinen Definition des Skalarproduktes gilt für diesen Drehwinkel also $\begin{eqnarray} \cos(\phi)=\tfrac{\vec v_1}{\|\vec v_1\|}\cdot \tfrac{\vec v_2}{\|\vec v_2\|} \end{eqnarray}$ ----- Wenn man den Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und die auf 1 normierte Drehachse $\begin{eqnarray} \vec d \end{eqnarray}$ kennt, kann man die Drehmatrix leicht aufstellen. Dafür gibt es fertige Formeln.
11.07.2013, 14:58	3asy	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, erst einmal vielen Dank. Das hat schonmal etwas Licht ins Dunkel gebracht. Doch nun ein paar Fragen. Wenn ich die Drehachse und den Drehwinkel nach deinen Angaben berechne, kommt folgendes raus: Drehachse: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt(14)} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Drehwinkel: $\begin{eqnarray} \alpha=arccos(1/9) \end{eqnarray}$ Stimmen die Werte so? Bin mir nicht so sicher, ob ich das mit der Normierung richtig gemacht habe. Nun zu den Formeln mit denen man die Drehmatrix bestimmen kann. Kannst du da vielleicht spezieller werden? Wie bereits gesagt: in der Vorlesung haben wir nur die Drehmatrix im R^2 bestprochen.
11.07.2013, 15:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreht man einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ um einen Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ um die Drehachse $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ (=Einheitsvektor), dann lautet der gedrehte Vektor $\begin{eqnarray} \vec n ( \vec n \vec x)+(\vec n \times \vec x) \times \vec n \cos(\phi)+(\vec n \times \vec x) \sin(\phi) \end{eqnarray}$ (Quelle: z.B. WIKIPEDIA, Stichwort "Drehmatrix"). Schreibe diesen Vektor in seinen 3 Komponenten (...\|...\|...). Dann kannst die die Drehmatrix unmittelbar ablesen. Dein Ergebnis für den Drehwinkel und die Drehachse habe ich nicht nachgerechnet. Das kannst du allein.
11.07.2013, 15:31	3asy	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalvektoren haben wir ebenfalls noch nicht behandelt. Ich nehme mal an, dass es nicht anders geht?
11.07.2013, 15:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich seh' gerade: Bei WIKIPEDIA findest du unter dem Stichwort "Drehmatrix" die fertige Drehmatrix (wenn Drehwinkel und Drehachse bekannt sind).
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11.07.2013, 16:34	3asy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, okay. Keine Ahnung wieso ich das nicht schon vorher selbst gesehen habe. Aber eine allerletzte Frage hätte ich noch. angenommen ich habe die zwei vektoren v1, v2 von oben. Muss ich dann in die vorgegebene Drehungsmatrix von Wikipedia den "gewöhnlichen" Winkel zwischen v1 und v2 angeben oder muss ich die zwei vektoren erst normieren und dann DARAUS den winkel bestimmen? Ersteres macht für mich eher Sinn, aber bin mir dessen echt unsicher.
12.07.2013, 09:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist egal, ob du die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec v_1, \vec v_2 \end{eqnarray}$ normierst oder nicht. In beiden Fällen kommt der gleiche Winkel heraus. Ohne vorherige Normierung bekommt man $\begin{eqnarray} \cos(\phi)=\tfrac{\vec v_1\cdot \vec v_2}{\|\vec v_1\|\cdot \|\vec v_2\|} \end{eqnarray}$ Mit vorheriger Normierung bekommt man $\begin{eqnarray} \cos(\phi)=\frac{\tfrac{\vec v_1}{\|\vec v_1\|}\cdot \tfrac{\vec v_2}{\|\vec v_2\|}}{1\cdot 1} \end{eqnarray}$ Das ist das Gleiche wie oben! Es ist anschaulich klar, dass diese Formeln nur dann den richtigen Drehwinkel liefern, wenn beide Vektoren $\begin{eqnarray} \vec v_1, \vec v_2 \end{eqnarray}$ innerhalb derjenigen Ebene liegen, die senkrecht zur Drehachse liegt (ähnlich wie die Speichen eines Rades). In deiner Aufgabe ist diese Bedingung erfüllt.

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