zyklisch

11.07.2013, 12:53

Theend9219

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zyklisch

Hallo,
ich habe Probleme bei dem Verständnis der Zyklengruppe.
Ich habe zum Beispiel kein Problem alle abelschen Gruppen der Ordnung 504 aufzulisten

$\begin{eqnarray*} 504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} 2^{3} = 2^{1} \cdot 2^{1} \cdot 2^{1} = 2^{2} \cdot 2^{1} \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{8} , \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2}, \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 3^{2} = 3^{1} \cdot 3^{1} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{9},\mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} 7 = 7^{1} \end{eqnarray*}$ die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{7} \end{eqnarray*}$

ALso gibt es insgesamt 6 Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung 504. Aber wie finde ich jetzt einfach, zyklische Gruppen der Ordnung 504 ?

11.07.2013, 13:07

Captain Kirk

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Hallo Shelly,

es gibt einen schönen Struktursatz für zyklische Gruppen.
Ist G eine zykl. gruppe der Ordnung n so ist
$\begin{eqnarray*} G \cong (\mathbb Z/n \mathbb Z,+) =C_n \end{eqnarray*}$
Ist G unendlich so ist G isomorph zu $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z , +) \end{eqnarray*}$

P.S. Falls es dich wundert, dass ich die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ nicht verwende: Es kollidiert mit der Bezeichnung für ganze p-adische Zahlen
de.wikipedia.org/wiki/P-adische_Zahl

11.07.2013, 13:12

Theend9219

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Hey!
Danke für deine Antwort..

Kann ich dazu vielleicht mal ein Beispiel haben?
Zum Beispiel : Zyklische Gruppen der Ordnung 16 zu finden.
Dann wäre das ja laut deiner definition $\begin{eqnarray*} C_{16} \end{eqnarray*}$ aber ich finde hier keinen Ansatz ...
LG

11.07.2013, 13:19

Captain Kirk

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Du kannst zyklische Gruppen der Ordnung 8,2,4,9,3,7 hinschrieben aber nicht der Ordnung 16? geschockt

geschockt

11.07.2013, 13:26

Theend9219

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Ich meinte zyklische Gruppen von Gruppen der Ordnung 16

11.07.2013, 13:30

Captain Kirk

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Zitat:

Ich meinte zyklische Gruppen von Gruppen der Ordnung 16

Was soll das bedeuten?
Was ist den eine Gruppe von Gruppen?

Dir ist doch hoffentlich klar, dass du im Eingangstpost zyklische Gruppen der Ordnung 8,2,4,9, 3 und 7 hingeschrieben hast?

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11.07.2013, 13:38

Theend9219

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Ah.. jetzt verstehe ich . ich wollte einfach nur hinaus von einer beliebigen Gruppe alle abelschen Gruppen der Ordnung zu bestimmen(in meinem speziellen Beispiel war das ja von 504). Und dann meine zyklischen Gruppen hinschreiben. Mit 16 war das wieder ein anderes Beispiel da wollte ich einfach die abelschen Gruppen der Ordnung 16 sagen, die ja offensichtlich 4 Stück sind, $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} , \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{4},\mathbb Z_{8} \times \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{16} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die zyklischen Gruppen der Ordnung 2,4,8 und 16..

Aber es ist doof von mir einfach mit zwei verschiedenen Beispielen hier heranzugehen das macht es unübersichtlich.
Aber wie finde ich nun die zyklischen Gruppen.. der Struktursatz lässt mir leider keine Lösung vermuten..

11.07.2013, 13:42

Captain Kirk

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Du stehst so dermaßen aufm Schlauch:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{16}=\mathbb Z/16 \mathbb Z = C_{16} \end{eqnarray*}$
ist die (einzige bis auf Isomorphie) zyklische Gruppe der Ordnung 16.

Und natürlich muss die in deiner Aufzählung der abelschen Gruppen vorkommen, zyklische Gruppen sind ja abelsch.

11.07.2013, 13:49

Theend9219

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Ja ich stehe wirklich total auf dem Schlauch, das hast du sehr gut beobachtet oder in dem Fall aus meinen Antworten leicht herauslesen können smile

smile

Aber es bringt nichts .. Ich weiß jetzt immer noch nicht warum du nur die $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{16} \end{eqnarray*}$ bringst ... $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{4} \end{eqnarray*}$ sind doch auch zyklisch ..

11.07.2013, 13:57

Captain Kirk

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Ja aber die zwei Gruppen haben Ordnung 2 bzw. 4 nicht 16.

Produkte zyklischer Gruppen sind nicht automatisch zyklisch.

Ist dir überhaupt klar was zyklisch bedeutet bzw. wie es definiert ist?

11.07.2013, 18:55

Theend9219

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Hey Captain Kirk! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, dessen bin ich mir bewusst. Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird. ... Aber ich weiss halt immer nicht wie ich das Element $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G = <a> \end{eqnarray*}$ finde ...

11.07.2013, 19:26

Mulder

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Zitat:

Original von Theend9219
Aber ich weiss halt immer nicht wie ich das Element $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G = <a> \end{eqnarray*}$ finde ...

So ein Erzeuger ist i.A. nicht eindeutig bestimmt. Z wird z.B. von 1 oder auch -1 erzeugt. Und Z/nZ wird von jedem Element der (multiplikativen) Einheitengruppe erzeugt. Da hat man doch zumeist ziemlich viel Auswahl. Allgemein brauchst du halt ein Element maximaler Ordnung.

Wozu willst du ein solches Element eigentlich an dieser Stelle finden? Wie schon mehrfach erwähnt wurde, gibt es nur eine zyklische Gruppe der Ordnung 16. Die Aufgabe "finde alle zyklische Gruppen der Ordnung 16" ist sogesehen irgendwie etwas sinnfrei. Oder geht's dir eigentlich um etwas anderes? verwirrt

verwirrt

11.07.2013, 21:56

Theend9219

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Hey Mulder, Danke für deine Antwort.

Also über den eigendlichen Hintergrund meiner Frage:
Ich habe in meinem Lehrbuch der Algebra eine Liste für die Gruppen der Ordnung $\begin{eqnarray*} \leq 15 \end{eqnarray*}$ . Und da steht immer dahinter welche abelsch ist, zyklisch ist,.. Ich würde gern wissen, wie man auf das zyklisch schließen kann..

12.07.2013, 13:35

Mulder

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Zitat:

Original von Theend9219
Ich würde gern wissen, wie man auf das zyklisch schließen kann..

Wie steht das denn in deinem Buch? Nenn doch mal ein, zwei Beispiele aus dem Buch, bei denen dir nicht klar ist, warum die Gruppe zyklisch ist.

14.07.2013, 11:30

Theend9219

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Hey Mulder!,
Danke für deine Antwort.
Zum Beispiel jetzt HIER, das ist ungefär die gleiche Tabelle wie in meinem Lehrbuch. Da sieht man immer dahinter ein zyklisch stehen, zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ ist zyklisch und einfach
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ ist zyllisch und einfach

Ich wollte da nur wissen wie man schnell auf die Lösung kommt das es halt nicht nur einfach ist sondern auch zyklisch ist.

14.07.2013, 12:07

Mulder

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Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zyklisch ist, hatten wir doch nun aber schon mehrmals. Das solltest du wissen. Das Ding wird doch wunderbar z.B. von der 1 erzeugt.

14.07.2013, 12:16

Theend9219

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Ah das stimmt.. Jetzt ist es mir klar..

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