Matrix zu gegebenem Kern und Bild finden

13.07.2013, 09:47	Bob_ETHZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix zu gegebenem Kern und Bild finden Meine Frage: Guten Tag, ich benötige Hilfe beim lösen, bzw. beim Verstehen der Lösung einer Aufgabe. Die vollständige Aufgabe habe ich als Anhang hinzugefügt, aber meine Frage bezieht sich nur auf Punkt c). Ich habe also aus dem vorausgegangen Aufgabenteil drei Vektoren (e1,e2,e3) die eine orthonormale Basis bilden gegeben. e1= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ e2= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{8}{3\sqrt{13} } \\ \frac{-2}{3\sqrt{13} } \\ \frac{-7}{3\sqrt{13} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ e3= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{3\sqrt{13} } \\ \frac{-10}{3\sqrt{13} } \\ \frac{4}{3\sqrt{13} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Um nun die Matrix A zu bestimmen würde ich voraussetzen dass A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{3\sqrt{13} } & a & b \\ \frac{-10}{3\sqrt{13} } & c & d \\ \frac{4}{3\sqrt{13} } & e & f \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (da Bild=span{e3}) und nun die sich aus Ae1=0 und Ae2=0 ergebenden Gleichungen lösen und so a,b,c,e und f bestimmen. In der Musterlösung wird allerdings vorgeschlagen: "Ein Möglichkeit für so eine Matrix A ist die orthogonale Projektion auf den Unterraum span{e3}. Diese ist gegeben durch: x -> <x;e3>e3 Also $\begin{eqnarray} A=e3e3^{T} \end{eqnarray*}$ " Ich verstehe allerdings nicht wieso man dies behaupten kann.
25.07.2013, 16:11	Bob_ETHZ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix zu gegebenem Kern und Bild finden Kann niemand mir helfen?
25.07.2013, 18:04	Kenji	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Als Begründung könnte man folgendes sagen: Jede Matrix A, die als Produkt von zwei (nicht Null-)Vektoren darstellbar ist, hat Rang 1. Also gilt, dass alle Zeilen paarweise Linearkombinationen sind. Und auch die Spalten. Und zwar Linearkombinationen von e3. Somit ist klar, dass A nur Linearkombinationen von e3 im Bild hat. Ferner ist A ja definiert als Funktion x -> <x;e3>e3. Da wir wissen, dass e3 senkrecht ist zu e1 und e2, wird dieses Skalarprodukt null. Also spannen e1 und e2 sicher den Nullraum auf. A hat die Form A = e3 (e3^T) weil das Skalarprodukt symmetrisch ist im reellen: Ax = <x;e3>e3 = <e3;x>e3 = e3<e3;x> = e3(e3^T)*x

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