Verschoben! Erzeugendensystem und Basis

14.07.2013, 16:55

Peter_Speer

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Erzeugendensystem und Basis

Hallo,

ich stehe irgendwie auf dem Schlauch und finde im Netz nirgends einen passenden Lösungsansatz.

Es soll gezeigt werden, ob die folg. Vektoren ein EZS und auch eine Basis sind.

$\begin{eqnarray*} x= ~\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} y= ~\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} z= ~\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mithilfe des Gauß-Algorithmus kann ja die lineare Unabhängigkeit der Vektoren gezeigt werden, wenn also ein EZS vorliegt sollte somit auch eine Basis vorliegen. Nur wie zeige ich in diesem Fall, dass bereits ein EZS vorliegt?

MfG
Peter

14.07.2013, 17:01

Peter_Speer

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Der Vektorraum ist der R^3.

PS: Leider habe ich in Schulmathematik gepostet, sollte eigentlich zu Hochschulmathematik, vielleicht kann ein Admin/Mod das ja verschieben.

14.07.2013, 17:11

ollie3

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RE: Erzeugendensystem und Basis
hallo,
ja dann überprüfe doch, ob die 3 vektoren linear unabhängig sind, wenn ja,
bilden sie eine basis und erzeugen den gesamten R^3.
gruss ollie3

14.07.2013, 17:30

Peter_Speer

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Das habe ich schon geprüft, lineare Unabhängigkeit liegt vor. Dessen, dass nun EZS und Basis gegeben ist bin ich mir bewusst.

Doch wenn explizit nach einer Überprüfung ob EZS vorhanden ist gefragt ist kann ich das Pferd ja nicht von hinten aufzäumen.

Und genau der Schritt zum Beweis eines EZS fehlt mir leider gerade.

14.07.2013, 17:40

Peter_Speer

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Ist folgender Ansatz richtig?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | a \\ 2 & 2 & 2 & | b \\ 1 & 1 & 5 & | c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe ich per Gauß-Verfahren gelöst zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | a \\ 0 & 5 & 8 & | b-2a \\ 0 & 0 & 0 & | c-1/2b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur was sagt mir das nun?

14.07.2013, 17:54

Peter_Speer_1

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Ich sehe gerade das ich einen Fehler gemacht hatte. Also lineare Unabhängigkeit liegt nicht vor, da beim Gauß-Algorithmus folgendes Endergebnis rauskam.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | 0 \\ 0 & 4 & 8 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Basis ist es also nicht, aber ist es ein EZS?

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14.07.2013, 17:54

ollie3

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RE: Erzeugendensystem und Basis
hallo,
da hast du dich schon verrechnet, in der zweiten zeile von der matrix
müsste stehen 0 4 8 , und die dritte zeile mit den nullen ist auch falsch...
gruss ollie3

PS. und schon bei der ausgangsmatrix muss in der dritten spalte 1 10 5 stehen

14.07.2013, 18:06

Peter_Speer_1

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Die Nullzeile ist falsch?

Aber die erreiche ich doch, wenn ich von der dritten Zeile die Hälfte der zweiten Zeile abziehe?

14.07.2013, 18:15

Peter_Speer_1

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Wäre es eine Möglichkeit auf einen beliebigen Vektor zu testen?

Also z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \in V \end{eqnarray*}$

Und versuchen diesen als Linearkombination der gegebenen Vektoren darzustellen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | 4 \\ 2 & 2 & 10 & | 2 \\ 1 & 1 & 5 & | 9 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | 4 \\ 2 & 2 & 10 & | 2 \\ 0 & 0 & 0 & | 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und da dort nun steht 0 = 8 kann kein EZS vorliegen, korrekt?

14.07.2013, 19:00

ollie3

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RE: Erzeugendensystem und Basis
hallo,
ja, das ist korrekt, man kann mit den 3 gegebenen vektoren also nicht den
ganzen R^3 erzeugen.
gruss ollie3

14.07.2013, 20:43

Peter_Speer

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Dann habe ich noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} V=\left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\in R^3: x_1+x_2+x_3=0 \right\} mit <br /> v=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} y=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} z=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich auch hier auf ein EZS prüfen indem ich einfach auf einen beliebigen Vektor prüfe der die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt?

Z.B. $\begin{eqnarray*} w = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Dann würde ich bei nach Anwendung von Gauß bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & | 2 \\ 0 & 4 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ landen.

Also ist $\begin{eqnarray*} 4\alpha_2 + \alpha_3 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1\alpha_1 + 1\alpha_2 + 1\alpha_3 = 2 \end{eqnarray*}$

Nur hier komme ich doch auch nicht weiter? Oder übersehe ich etwas?

15.07.2013, 14:27

ollie3

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RE: Erzeugendensystem und Basis
hallo,
das führt nicht zum ziel. Man geht so vor: weil allle vektoren aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nur die nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$ haben, kann man x_1 und x_2 frei wählen, und für x_3 gilt $\begin{eqnarray*} x_3= -x_1-x_2 \end{eqnarray*}$
Also gilt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\-x_1-x_2 \end{pmatrix}=x_1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\-1 \end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix} 0\\1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und so kann man die basisvektoren für das EZS von V direkt ablesen.

gruss ollie3

15.07.2013, 16:30

Peter_Speer

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Hm, wo lese ich da jetzt was ab?

15.07.2013, 16:38

ollie3

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RE: Erzeugendensystem und Basis
hallo,
(1,0,-1) und (0,1,-1) wäre jetzt ein erzeugendensystem für V.
gruss ollie3

15.07.2013, 22:41

Peter_Speer

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Könnte ich dann schlussfolgern, dass die mir gegebennen Vektoren ein EZS ist, weil ich die Vektoren (1,0,-1) und (0,1,-1) aus den gegebenen Vektoren bilden kann?

16.07.2013, 08:01

ollie3

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RE: Erzeugendensystem und Basis
hallo,
nein, ich glaube dir sind grundsätzliche sachen nicht klar, wenn die beiden genannten vektoren
ein EZS von V bilden, heisst das, dass man jedem vektor aus V als linearkombination von diesen beiden
vektoren schreiben kann.
gruss ollie3

16.07.2013, 09:09

Peter_Speer

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RE: Erzeugendensystem und Basis
Dessen bin ich mir schon bewusst, nur weiß ich die Lösung jetzt nicht wirklich in den Kontext einzuordnen.

Die Vektoren (1,0,-1) und (0,1,-1) sind also ein EZS von V. Die mir gegeben Vektoren sind also nicht? Oder muss ich irgendwie weiterprüfen um das belegen zu können?

16.07.2013, 10:23

ollie3

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RE: Erzeugendensystem und Basis
hallo,
was sind denn die dir gegebenen vektoren? V besteht doch aus unendlich vielen
vektoren, die nur eben die bedingung haben, dass die summe ihrer komponenten
immer 0 ergeben soll. Und man kann V auf verschiedene arten beschreiben:
einmal mit der vorgenannten bedingung und einmal als vektorraum mit dem
beschriebenen EZS. Und wie man zu diesen vektoren kommt, habe ich dir ja
gezeigt, indem man die bedingungsgleichung in den vektorkomponenten einsetzt.
gruss ollie3

16.07.2013, 10:32

Peter_Speer

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RE: Erzeugendensystem und Basis

Zitat:

Original von Peter_Speer
Dann habe ich noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} V=\left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\in R^3: x_1+x_2+x_3=0 \right\} mit <br /> v=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} y=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} z=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gegeben sind mir ja eben diese drei Vektoren v, y und z.

16.07.2013, 11:05

ollie3

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RE: Erzeugendensystem und Basis
hallo,
oh sorry, das mit den drei gegebenen vektoren hatte ich übersehen, aber das
ändert glaube ich nichts an der situation (oder sind die möglichkeiten für V
jetzt eingeschränkt?) verwirrt

verwirrt

Werde darüber nachdenken...
Falls jemand den thread übernehmen will, gerne...
gruss ollie3

16.07.2013, 12:10

RavenOnJ

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Dir ist hoffentlich aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} v,y,z\in V \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du nur feststellen, ob zwei von diesen Vektoren linear unabhängig sind. Da $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ 2-dimensional, würden diese zwei Vektoren eine Basis bilden und alle drei ein Erzeugendensystem. Die drei Vektoren können natürlich keine Basis bilden, da die Dimension des Raumes kleiner als drei ist.

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