Konvergenz von 2 Funktionen

02.08.2004, 21:08

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Mathestudent

Konvergenz von 2 Funktionen

Hallo Leute,

ich habe heute meine Analysis 1 Klausur geschrieben und da mußten wir bei einer Aufgabe nachweisen das 2 Funktionen stetig waren.
Die beiden Funktionen lauteten:
f(x) = $[latex]\sin(\frac{1}{x})[/latex]$ für x $[latex] \neq 0 [/latex]$
und 0 für x=0
g(x) = $[latex]x*\sin(\frac{1}{x})[/latex]$ für x $[latex] \neq 0 [/latex]$
und 0 für x=0
Ist es richtig das die Funktion f(x) im Nullpunkt unstetig ist und die Funktion g(x) stetig?
Gezeigt habe ich das durch den links- und rechtsseitigen Grenzwert.
Also:
$[latex]\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})[/latex]$ für x>0 und
$[latex]\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})[/latex]$ für x<0
Jetzt Werte eingesetzt: Für x>0 ergibt das:
$[latex]\sin(\frac{1}{0.1})[/latex]$ = 8,414...
$[latex]\sin(\frac{1}{0.01})[/latex]$ = 84,14...
$[latex]\sin(\frac{1}{0.001})[/latex]$ = 841,4...
Dann erkennt man das $[latex]\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})[/latex]$ für x>0 gegen $[latex]\infty [/latex]$ geht
Jetzt für x<0:
$[latex]\sin(\frac{1}{-0.1})[/latex]$ = -8,414...
$[latex]\sin(\frac{1}{-0.01})[/latex]$ = -84,14...
$[latex]\sin(\frac{1}{-0.001})[/latex]$ = -841,4...
Daraus folgt:
$[latex]\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})[/latex]$ für x<0 geht gegen $[latex]-\infty [/latex]$
d. h. also, das links- und rechtsseitiger Grenzwert ungleich sind. Daraus folgt das keine Stetigkeit im Nullpunkt vorliegt.
Ist der Beweis schlüssig genug?
Vielen Dank für eure kritische Bewertung.

Mathestudent

PS: Die andere Funktion g(x) habe ich genauso gelöst, aber hierbei habe ich Stetigkeit im Nullpunkt rausbekommen.
Ist das richtig?
Nochmals danke.

02.08.2004, 21:20

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Mathespezialschüler

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Für $[latex]\lim_{x \to 0}\sin(\frac{1}{x})[/latex]$ : Es kann nich gegen unendlich (-unendlich) gehen, da sin(irgendetwas) nie größer als 1 (-1) wird!!! Es gibt nicht einmal einen Limes, die Werte schwanken zwischen -1 und 1.

Zum zweiten: Das ist dann auch falsch, denn
1., wenn du hättest, dass der lim wieder unendlich ist, muss nach Definition der Stetigkeit auch f(0) = unendlich sein (Wie kann ein Funktionswert=unendlich sein??).
2. ist limes nicht unendlich, sondern 0!!!
Beide Funktionen sind im Nullpunkt nicht stetig, da f(0) nicht definiert ist und $[latex]\lim_{x \to 0}x\sin(\frac{1}{x}) = 0[/latex]$ bzw. $[latex]\lim_{x \to 0}\sin(\frac{1}{x})\ nicht\ existiert[/latex]$ , also $[latex]f(0) \neq \lim_{x \to 0}[/latex]$

Ich hoffe, das reicht erstmal.

02.08.2004, 21:24

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mathemaduenn

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Hallo Mathestudent,

f(x) ist unstetig in 0
g(x) ist stetig

Zitat:

Original von Mathestudent
Dann erkennt man das $[latex]\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})[/latex]$ für x>0 gegen $[latex]\infty [/latex]$ geht

Die ist aber nicht richtig sin (x) nimmt nur Werte zwischen [-1,1] an.
Man zeigt hier das der Grenzwert nicht eindeutig ist.
$[latex]a_n=\frac{1}{2n\pi }[/latex]$
$[latex]b_n=\frac{1}{(2n\pi + \frac{\pi}{2}) }[/latex]$
beides Nullfolgen aber mit unterschiedlichen Grenzwerten.
gruß
mathemaduenn

02.08.2004, 21:25

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Mathestudent

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Hi mathespezialschüler,

heißt das jetzt 0 von 10 Punkten oder meinst du die geben mir noch einen Gnadenpunkt oder 2?
Danke geschockt

geschockt

mathestudent

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02.08.2004, 21:26

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Mathespezialschüler

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

@mathemaduenn
Waum ist g(x) in 0 stetig???

02.08.2004, 21:34

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Mathestudent

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Hi Mathespezialschüler,

Laut meiner Berechnung folgt das weil der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmt.
Leider ist das verkehrt laut eurer Ausführung.

mathestudent

02.08.2004, 21:51

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mathemaduenn

Hallo MSS,Mathestudent,

Man könnte einfach argumentieren sin(1/x) ist beschränkt und multiplizierrt mit einer Folge die gegen 0 geht multipliziert geht's auch gegen 0.
Oder anders:
$[latex]-x\leq xsin(\frac{1}{x} )\leq x[/latex]$
$[latex]lim_{x \to 0} -x\leq lim_{x \to 0} xsin(\frac{1}{x} )\leq lim_{x \to 0} x [/latex]$
Die beiden äußeren Grenzwerte existieren und gehen gg. 0.
gruß
mathemaduenn

02.08.2004, 21:52

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Mathespezialschüler

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Hallo, Mathestudent, ich hatte gefragt, weil mathemaduenn folgendes geschrieben hat:

Zitat:

Original von mathemaduenn

g(x) ist stetig

@Mathestudent
Wenn du etwas beweisen sollst, dann immer überlegen, was du zeigen musst, damit du es bewiesen hast. Wenn du beweisen sollt, dass eine Funktion stetig ist, dann musst du zeigen, dass $[latex]f(a) = \lim_{x \to a} f(x) [/latex]$ und dass a zum Definitionsbereich gehört, denn genau dann ist die Funktion nach Definition der Stetigkeit auch stetig!!

@mathemaduenn
Ich hab nochmal nachgeguckt, sinngemäß steht in einem Buch: Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle a, wenn a zum Definitionsbereich von f gehört und $[latex]f(a) = \lim_{x \to a} f(x) [/latex]$ .

Bei g(x) gehört die Null aber ebenfalls nicht zum Definitionsbereich!!

02.08.2004, 22:18

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Mathestudent

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Hi,

das riesige Problem von mir war auch das ich die ganzen Funktionswerte überhaupt nicht richtig bestimmt habe. Dann hätte ich gesehen das die Funktion f(x) und die Funktion g(x) NIEMALS gegen unendlich laufen können.
Tja, ich hoffe ich habe wenigstens die anderen Aufgaben alle richtig gelöst.
Kann mir vielleicht jemand sagen wie Mathemaduenn auf die beiden Folgen kommt mit denen er zeigt das der Grenzwert nicht eindeutig ist?

Mathestudent

02.08.2004, 22:18

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Poff

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Bei g(x) gehört die Null aber ebenfalls nicht zum Definitionsbereich!!

... wieso ?? g(0) = 0

weder ebenfalls noch nicht ebenfalls, BEIDE Fkt. sind in 0 definiert

*klingellingel*

.

02.08.2004, 22:22

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Mathespezialschüler

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Ist für dich $[latex]\frac{1}{0}[/latex]$ definiert??

02.08.2004, 22:39

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mathemaduenn

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Hallo Mathestudent

Zitat:

Original von Mathestudent
Kann mir vielleicht jemand sagen wie Mathemaduenn auf die beiden Folgen kommt mit denen er zeigt das der Grenzwert nicht eindeutig ist?

Ja ich zum Beispiel Augenzwinkern

Augenzwinkern

@mss
Mathestudent hatte ganz am Anfang geschrieben g(0)=0 dahingehend ists egal ob ich 1/0 rechnen kann oder nicht.
gruß
mathemaduenn

02.08.2004, 22:42

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Poff

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Zitat:

Original von Mathestudent
...
Kann mir vielleicht jemand sagen wie Mathemaduenn auf die beiden Folgen kommt mit denen er zeigt das der Grenzwert nicht eindeutig ist?

Mathestudent

... ich hab die mir nicht genauer angesehen, aber Fakt ist doch,
dass die erste Fkt zwischen +-1 oszilliert.
Folglich lässt sich eine unendliche Folge von Funktionspunkten
entnehmen, deren Funktionswert z.B. stets 1, -1 oder auch
sonstwas Fixes deiner freien Wahl zw. +1 und -1 ist.

Wählst du z.B. die 'x' 'se so aus, dass 1/x = 0 modulo 2*Pi,
dann sind die zugehörigen sin - Werte eben alle 0

sind die 'x' so gewählt dass 1/x = gleich 3/2*Pi modulo 2*Pi
(die Folge von oben einfach um 3/2 Pi versetzt)
dann sind deren sin-Werte eben alle -1

.

@Mathespezialschüler,

lies mal nach was ganz oben steht

f(x) = g(x) = 0 für x=0

1/0 braucht dazu nirgends gebildet werden :-oo

.

02.08.2004, 22:47

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Mathespezialschüler

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Zitat:

Original von mathemaduenn
@mss
Mathestudent hatte ganz am Anfang geschrieben g(0)=0 dahingehend ists egal ob ich 1/0 rechnen kann oder nicht.

Dass das dann egal is, is mir klar, hatte es nur nich gesehen bzw. nicht verstanden, was er mit "0 für x=0" meinte. Sorry!
Dann ist g(x) naürlich stetig für 0 (und sowieso auf ganz R)

03.08.2004, 19:19

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Philipp-ER

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Ich hab nochmal nachgeguckt, sinngemäß steht in einem Buch: Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle a, wenn a zum Definitionsbereich von f gehört und $[latex]f(a) = \lim_{x \to a} f(x) [/latex]$ .
...

Hat zwar nichts mit dem Thread zu tun, aber der Vollständigkeit halber:
Woher hast du diese Definiton?
Sie ist nämlich falsch bzw unvollständig (natürlich kann eine Definition eigentlich nicht falsch sein, aber das, was du schreibst, widerspricht der gängigen Definition der Stetigkeit).

So wäre nach dieser Definition zum Beispiel die Funktion
$[latex]f:[0,1]\cup 2 \rightarrow \mathbb{R}[/latex]$
mit f(x)=x (der Funktionsterm spielt eigentlich keine Rolle) in 2 nicht stetig, da
$[latex]\lim_{x\to 2}f(x)[/latex]$ nicht existiert, dabei ist diese Funktion nach allen gängigen Definitionen der Stetigkeit sehr wohl in 2 stetig. Auch Folgen wären nach dieser Definition keine stetigen Funktionen, was jedoch der Fall ist.
Überprüfe bitte nochmal, ob das da wirklich so steht.

03.08.2004, 19:43

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Mathespezialschüler

RE: Konvergenz von 2 Funktionen

Ok, dann als Zitat. Anmerkung: Die Limes-Schreibweise in diesem Buch ist etwas anders, es gilt: $[latex]\lim_{a}f = \lim_{x \to a}f(x)[/latex]$

Zitat:

Definition: Eine Funktion [latex]f[/latex]

[latex]f[/latex]

heißt genau dann stetig an einer Stelle [latex]a[/latex]

[latex]a[/latex]

, wenn

[latex]a[/latex]

zum Definitionsbereich der Funktion [latex]f[/latex]

[latex]f[/latex]

gehört, wenn $[latex]\lim_a f[/latex]$ vorhanden ist und wenn [latex]f(a)[/latex]

[latex]f(a)[/latex]

übereinstimmt mit $[latex]\lim_a f[/latex]$ .
Es muss also gelten $[latex]f(a) = \lim_a f[/latex]$ .

Quelle: Rudolf Brauner und Fritz Geiß: Abiturwissen Mathematik
Weltbild Verlag, Augsburg 2000

Wenn diese nicht die geläufige ist ( traurig

traurig

), dann nennt mir bitte die geläufige, damit ich nich so unwissend bleib *g*

03.08.2004, 19:54

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Philipp-ER

Naja, es ist nur eine Kleinigkeit.
Diese Definition gilt nur, wenn a Häufungspunkt des Definitionsbereiches ist. Es müsste noch dabei stehen, dass f in a auch stetig ist, wenn a ein isolierter Punkt des Definitionsbereiches ist, obwohl in diesem Fall kein Grenzwert existiert.
Sonst ist diese Definition nicht äquivalent zum epsilon-delta-Kriterium und zur Folgendefinition, dabei sind das wohl die "wichtigeren" Definitionsmöglichkeiten der Stetigkeit.

03.08.2004, 20:36

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Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Philipp-ER
Sonst ist diese Definition nicht äquivalent zum epsilon-delta-Kriterium und zur Folgendefinition, dabei sind das wohl die "wichtigeren" Definitionsmöglichkeiten der Stetigkeit.

D.h. Stetigkeit wird auch übers epsilon-delta-Kriterium definiert?? Kannst du mir diese Definition mal nennen?

03.08.2004, 20:49

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mathemaduenn

Hallo Phillip_ER,

Zitat:

Original von Philipp-ER
Sonst ist diese Definition nicht äquivalent zum epsilon-delta-Kriterium und zur Folgendefinition.

Die limes - Schreibweise ist imho eine Abkürzung für die Definition per Folgenstetigkeit. f ist in a stetig wenn für jede Folge aus dem Definitionsbereich von f die gegen a konvergiert die Folge der Funktionswerte gegen f(a) konvergiert. Damit ist dann auch der Grenzwert definiert. Du hast sicherlich Recht wenn Du meinst in einem Buch das "Analysis I" oder ähnlich heißt würde es wahrscheinlich kompletter definiert werden.
gruß
mathemaduenn
Edit @MSS Schau mal hier

03.08.2004, 21:03

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Mathespezialschüler

Hi mathemaduenn,
was da steht, das ist doch die Definition für den Grenzwert g=f(x0), d.h. sie is identisch mit meiner oder nich??

03.08.2004, 21:11

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mathemaduenn

Hallo MSS,
Stetigkeit ist Stetigkeit natürlich müssen die beiden Definitionen irgendwie ineinander überführbar sein.
gruß
mathemaduenn

03.08.2004, 21:20

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Mathespezialschüler

Ok, falsch ausgedrückt, hier müsste doch auch wieder stehen, x0 ist Häufungspunkt oder nich?? Dann wären die isolierten Punkte wieder nich dabei verwirrt

verwirrt

03.08.2004, 21:30

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Poff

Philipp-ER,

ich kann eigentlich nicht erkennen warum die von dir angegebene
Funktion im isolierten Punkt 2 keinen Grenzwert nach 'eps-delta'
haben sollte, oder existieren Grenzwerte per Definition nur an
Häufungspunkten.

Was spräche gegen die Definition des Grenzwertes an einer
isolierten Stelle als eben den isolierten Zuordungswert zu dieser
Stelle.

.

03.08.2004, 21:45

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mathemaduenn

Hallo MSS,
Alle mir bekannten Definitionen "greifen" auf dem Definitionsbereich von f von daher ist die Diskussion wg. der isolierten Punkte imho unnötig , weil isolierte Punkte bezgl. des Definitionsbereichs lt. Bronstein nicht zum Definitionsbereich gehören.
gruß
mathemaduenn
Edit: @Phillip_ER deine Argumentation mit dem Häufungspunkt verstehe ich daher nicht da jeder Punkte des Definitionsbereichs Häufungspunkt des Definitionsbereichs ist oder?

04.08.2004, 00:27

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Philipp-ER

Hi Poff.
In der Tat ist der Grenzwert einer Funktion nur für Häufungspunkte des Definitionsbereiches definiert.

Würde man für das epsilon-delta-Kriterium auch isolierte Punkte zulassen, so würde, wenn ich gerade keinen Denkfehler begehe, für einen solchen isolierten Punkt jede reelle Zahl die Definition des Grenzwertes erfüllen, was sicher nicht sinnvoll ist.

@Mathespezialschüler:
In der epsilon-delta-Definition der Stetigkeit muss x0 kein Häufungspunkt sein. Überlege dir mal, was die Ungleichungen in der Definition aussagen, wenn x0 ein isolierter Punkt ist. Du wirst feststellen, dass eine Funktion in einem isolierten Punkt ihres Definitionsbereiches immer stetig ist.

04.08.2004, 12:55

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Mathespezialschüler

Ok, Philipp, kannst du mir dann erstmal ne Definition für "isolierter Punkt" geben?? Und kann mir jemand sagen, was das umgedrehte A und das umgedrehte E bedeuten!?

04.08.2004, 13:23

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mathemaduenn

Hallo MSS,
Hatte da zunächst Quatsch erzählt hab aber nochmal nachgeschaut.
Isolierter Punkt: Man hat eine Menge A und es gilt
$[latex]\exists U(x) : U(x)\bigcap A=\{x\}[/latex]$
wobei U(x) allgemein eine Umgebung von x ist. In den reellen Zahlen
kann man sich auf die Betrachtung von
$[latex]U_{\delta}(a)=\{x \in R:||x-a||<\delta\}[/latex]$
beschränken.
Aber wie gesagt es ist eben die Frage ob man Grenzwerte auf R definiert oder auf dem Definitionsbereich.
gruß
mathemaduenn

04.08.2004, 13:33

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Mathespezialschüler

Und was heißt $[latex]\exists [/latex]$ und das auf den Kopf gestellte A??

04.08.2004, 13:42

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mathemaduenn

Hallo MSS

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und was heißt $[latex]\exists [/latex]$

es existiert

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
das auf den Kopf gestellte A??

keine Ahnung
gruß
mathemaduenn

04.08.2004, 13:47

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Ben Sisko

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
und das auf den Kopf gestellte A??

"für alle"

@mathemaduenn: Keine Ahnung?? geschockt

geschockt

verwirrt

04.08.2004, 13:54

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mathemaduenn

unglücklich

:rolleyes:

04.08.2004, 13:59

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SirJective

Hallo und entschuldigt, dass ich mich erst jetzt einmische ;-)

Zitat:

Original von Philipp-ER
Hi Poff.
In der Tat ist der Grenzwert einer Funktion nur für Häufungspunkte des Definitionsbereiches definiert.

Das hängt von der Definition des Ausdrucks $[latex]\lim_{x\to x_0} f(x)[/latex]$ ab. Wie definiert ihr den, Poff, Philipp?

Zitat:

Würde man für das epsilon-delta-Kriterium auch isolierte Punkte zulassen, so würde, wenn ich gerade keinen Denkfehler begehe, für einen solchen isolierten Punkt jede reelle Zahl die Definition des Grenzwertes erfüllen, was sicher nicht sinnvoll ist.

Du übersiehst, dass die stationäre Folge (x_0, x_0, ...) noch da ist, die mindestens beim epsilon-delta-Kriterium nicht ausgeschlossen wird (bei manchen Definition des Folgengrenzwertes dagegen - unnötigerweise! - schon).

Zitat:

@Mathespezialschüler:
In der epsilon-delta-Definition der Stetigkeit muss x0 kein Häufungspunkt sein. Überlege dir mal, was die Ungleichungen in der Definition aussagen, wenn x0 ein isolierter Punkt ist. Du wirst feststellen, dass eine Funktion in einem isolierten Punkt ihres Definitionsbereiches immer stetig ist.

Richtig, gerade weil die einzige gegen x_0 konvergente Argumentfolge die stationäre Folge (x_0, x_0, ...) ist.

Mir ist erst kürzlich aufgefallen, dass die Definition von Stetigkeit redundant ist, wenn verlangt wird, dass der Limes mit dem Funktionswert übereinstimmen muss. Die stationäre Argumentfolge (x_0, x_0, ...) sorgt im Falle der Existenz des Grenzwertes automatisch dafür, dass er gleich dem Funktionswert ist. Anders ist es dagegen, wenn der Grenzwert so definiert ist, dass nur Argumente ungleich x_0 zugelassen sind, aber das halte ich für sinnlos, falls x_0 im Definitionsbereich der Funktion liegt.
Die einzigen Forderungen, die ich an eine stetige Funktion stellen würde, wären also, dass sie im betrachteten Punkt x_0 definiert ist, und dass der Funktions-Grenzwert in x_0 existiert (und zwar unter Einbeziehung des Argumentes x_0).

@mathemaduenn:
Wenn der Bronstein definiert, dass der Definitionsbereich nur aus Häufungspunkten des Definitionsbereichs bestehen darf, dann kommt er sofort in die Spirale, dass ja im reduzierten Definitionsbereich ehemalige Häufungspunkte nun isoliert sein können, und also ebenfalls entfernt werden müssen. Man stelle sich eine Funktion vor, die auf der Menge
Z vereinigt {z + 1/n | z in Z, n in N}
definiert ist. Die Häufungspunkte sind genau Z, aber wenn ich alle anderen Punkte weglasse, ist kein Punkt von Z mehr Häufungspunkt.

@MSS:
Die umgedrehten Buchstaben sind so genannte logische Quantoren. Sie bedeuten E="es gibt" und A="für alle".

Gruss,
SirJective

04.08.2004, 14:02

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mathemaduenn

Zitat:

Original von mathemaduenn
Hatte da zunächst Quatsch erzählt hab aber nochmal nachgeschaut.

hatte nicht genau spezifiziert wo.
mein Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.08.2004, 14:15

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Mathespezialschüler

Danke Ben und mathemaduenn!

Zitat:

Original von Philipp-ER
@Mathespezialschüler:
In der epsilon-delta-Definition der Stetigkeit muss x0 kein Häufungspunkt sein. Überlege dir mal, was die Ungleichungen in der Definition aussagen, wenn x0 ein isolierter Punkt ist. Du wirst feststellen, dass eine Funktion in einem isolierten Punkt ihres Definitionsbereiches immer stetig ist.

Also wenn ich die Defiition richtig verstanden hab, dann sagt sie doch, dass ein Funktion an der Stelle [latex]x_0[/latex]

[latex]x_0[/latex]

stetig ist, wenn es für jedes $[latex]\epsilon > 0[/latex]$ ein $[latex]\delta > 0[/latex]$ gibt, sodass $[latex]|f(x) - f(x_0)| < \epsilon[/latex]$ für alle $[latex]x\ |\ |x-x_0| < \delta[/latex]$ . Sagen wir, ich nehme Philipps Funktion ( $[latex]f:[0,1]\cup 2 \rightarrow \mathbb{R}; f(x)=x[/latex]$ ). Wenn jetz [latex]x_0 = 2[/latex]

[latex]x_0 = 2[/latex]

und $[latex]\epsilon=1,5[/latex]$ , dann ist $[latex]\delta=1,5[/latex]$ . Dann gibt es x (nämlich 0,5<x<1), für die die ungleichungen oben gelten. Nehme ich $[latex]\epsilon = 0,5[/latex]$ , dann gibt es kein $[latex]\delta[/latex]$ mehr, sodass die obigen Ungleichungen gelten, da im Wertebereich kein Wert>0,5 vorhanden ist. Dann ist doch f in 2 nicht stetig oder?? verwirrt

verwirrt

edit: Hab den Beitrag von SirJective nich gesehn.
@SirJective
Heißt das dann, dass f bei 2 stetig ist, weil gilt: Für jedes $[latex]\epsilon > 0[/latex]$ gibt es ein $[latex]\delta > 0[/latex]$ , sodass $[latex]|f(x_0) - f(x_0)| = 0 < \epsilon[/latex]$ für $[latex]x_0\ |\ |x_0-x_0| = 0 < \delta[/latex]$ ???

@mathemaduenn
Warum hast du in deiner Definition für den isolierten Punkt zwei Betragsstriche bei der Ungleichung unten gemacht??

04.08.2004, 14:24

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mathemaduenn

Hallo MSS,
Was du bei der Definition der Stetigkeit vergessen hast ist das die x alle aus dem Definitionsbereich der Funktion stammen müssen sonst ist ja f(x) nicht definiert. Wenn x aber aus dem Definitionsbereich kommen muß gilt ja dann sowas:
$[latex]||x-2||<0.5\Rightarrow x=2\Rightarrow||f(x)-f(2)||=0<0.5[/latex]$

gruß
mathemaduenn

Edit: Hab dein edit nicht gelesen
2 Betragsstriche bedeuten Norm in den Reellen Zahlen ist der Betrag eine Norm. Das ist im Prinzip ähnlich nur allgemeiner formuliert (aus Gewohnheit Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

04.08.2004, 17:21

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Philipp-ER

Hi SirJective.
Da begehst du aber einen großen Denkfehler, wenn ich dich richtig verstehe.
Auf keinen Fall darf man, wenn man den Grenzwert einer Funktion für x gegen x0 untersucht, die Folge (x0, x0, ...) zulassen, da der Funktionswert in x0 selbst doch vollkommen unbedeutend für den Grenzwert ist.
f:R->R
f(x)=1 für x=0
f(x)=0 sonst
hätte zum Beispiel für x->0 keinen Grenzwert, wenn man Folgen zuließe, die 0 als Wert annehmen, denn ich würde unter Umständen 1 als Grenzwert der Bildfolge erhalten (betrachte nur (0,0,...)).

Bei der epsilon-delta-Definition ist es genauso:
"Die Funktion f sei auf X definiert und $[latex]\xi[/latex]$ sei ein Häufungspunkt von X. Genau dann strebt $[latex]f(x)\rightarrow a[/latex]$ für $[latex]x\rightarrow \xi[/latex]$ , wenn es zu jedem $[latex]\epsilon>0[/latex]$ ein $[latex]\delta>0[/latex]$ gibt, so dass für alle x aus X mit
$[latex]0<|x-\xi|<\delta[/latex]$ immer $[latex]|f(x)-a|<\epsilon[/latex]$ ist."
Wichtig ist hier das 0<... vor der 1. Ungleichung, das garantiert nämlich, dass x nicht $[latex]\xi[/latex]$ sein kann, denn auch in diesem Fall hätte f von eben keinen Grenzwert für x->0 (es würde ja |f(0)-0|=1 gelten und damit könnte ich für epsilon=0.5 schon kein delta finden).
Bei der Stetigkeit fehlt diese 0, denn dort spielt der Funktionswert an der Stelle selbst ja auch eine Rolle, beim Grenzwert ist er aber völlig unbedeutend, ja, er darf gar nicht betrachtet werden.

Dass man für einen isolierten Punkt jede Zahl als Grenzwert bestätigen könnte, sieht man daran, dass man eine delta-Umgebung finden kann, in der außer $[latex]\xi[/latex]$ überhaupt keine Punkte des Definitionsbereiches mehr liegen und damit ist die Definition des Grenzwertes mit diesem delta auch schon für jedes epilson erfüllt, egal, was für eine Zahl ich als Grenzwert haben möchte, da es ja überhaupt keine x mit $[latex]0<|x-\xi|<\delta[/latex]$ gibt.

04.08.2004, 18:15

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mathemaduenn

Hallo

Zitat:

Original vonPhillip_ER
f:R->R
f(x)=1 für x=0
f(x)=0 sonst
hätte zum Beispiel für x->0 keinen Grenzwert

und wäre somit unstetig in 0 Wär doch prima.
Wollte nochmal ne andere Definition bringen Mathematik ist ja keine Einbahnstraße. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original aus Analysis 1 Otto Foster
Definition(Grenzwert bei Funktionen). Sei $[latex]f : D \rightarrow \mathbb{R}[/latex]$ eine reelle Funktion auf $[latex] D \subset \mathbb{R} [/latex]$ und $[latex]a\in R[/latex]$ derart, daß es mindestens eine Folge $[latex](a_n)_{n\in \mathbb{N}},a_\in D[/latex]$ gibt mit $[latex]\lim_{n \to\infty } a_n=a[/latex]$ .(Dies ist z.B. für $[latex]a \in D[/latex]$ erfüllt.) Man schreibt:
$[latex]\lim_{x \to a} f(x)=c [/latex]$
falls für jede Folge $[latex](x_n)_{n \in N},x_n \in D[/latex]$ mit $[latex]\lim_{n \to \infty } x_n=a[/latex]$ gilt:
$[latex]\lim_{n \to \infty } f(x_n)=c [/latex]$

Stetigkeit geht dann eben ziemlich schnell

Zitat:

Original aus Analysis 1 Otto Foster
Definition(Stetikeit). Sei $[latex]f : D \rightarrow \mathbb{R}[/latex]$ eine Funktion und $[latex] a \in D [/latex]$ . Die Funktion f heißt stetig im Punkt a falls
$[latex]\lim_{x \to a} f(x)=f(a) [/latex]$
f heißt stetig in D, falls f in jedem Punkt von D stetig ist.

gruß
mathemaduenn

04.08.2004, 20:09

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Philipp-ER

Ich kann nicht glauben, dass das so im Forster steht.
Die Funktion von oben, also f:R->R mit f(x)=1 für x=0 und f(x)=0 sonst soll für x->0 wirklich keinen Grenzwert haben?
Der Grenzwert für x->x0 von f mit x0 aus D_f soll nur existieren, wenn f in x0 stetig ist? Das kann doch nicht sein.

04.08.2004, 20:19

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Ben Sisko

@Phillip: Wo liest du denn heraus, dass nur die Funktionen einen Grenzwert in x0 hat, die dort stetig ist?

04.08.2004, 20:20

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mathemaduenn

Hallo Phillip_ER,
ich weiß auch, daß der Grenzwert manchmal anders definiert wird. Um auf Grundlage des Grenzwertes die Stetigkeit zu definieren ist's aber imho so am praktischsten.

Zitat:

Original von Philipp-ER
Ich kann nicht glauben, dass das so im Forster steht.

Deswegen hab ich's zitiert. Es ist die 4. Auflage.(ISBN 3-528-37224-9)
gruß
mathemaduenn

04.08.2004, 20:26

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mathemaduenn

Hallo Ben

Zitat:

Original von Ben Sisko
@Phillip: Wo liest du denn heraus, dass nur die Funktionen einen Grenzwert in x0 hat, die dort stetig ist?

wenn man das Argument von SirJective (die konstante Folge) mit dazunimmt kann man das schon so lesen.
gruß
mathemaduenn

04.08.2004, 20:30

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Philipp-ER

Zitat:

Original von Ben Sisko
@Phillip: Wo liest du denn heraus, dass nur die Funktionen einen Grenzwert in x0 hat, die dort stetig ist?

Naja, betrachte die Folge (x0,x0,...)
Ihr Grenzwert ist f(x0) und wenn der Grenzwert der Funktion existieren soll, müssen damit auch die Bildfolgen aller anderen Folgen mit der geforderten Eigenschaft gegen f(x0) konvergieren (siehe Definition des Grenzwertes) und das ist ja üblicherweise gerade die Stetigkeit der Funktion.

Alles in allem ist diese Definition ja genau das, was SirJective gesagt hat, damit hat er natürlich auch keinen Denkfehler begangen, Entschuldigung hierfür. Ich hätte nur niemals gedacht, dass es tatsächlich so eine Definition gibt, für mich war ganz klar, dass der Grenzwert nichts mit dem Funktionswert an der Stelle zu tun haben darf und deshalb dachte ich, das sei da übersehen worden.

Edit: Zu langsam.

04.08.2004, 21:55

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SirJective

Hallo Philipp,

man lernt nie aus :-)
Es gibt einen Grenzwertbegriff von f bei x_0, bei dem das Argument x_0 selbst von den Argumentfolgen ausgeschlossen ist.
Und es gibt den von mir beschriebenen.

Dito beim epsilon-delta-Kriterium: Mir käme nie in den Sinn, x = x_0 auszuschließen.
Es gibt jedoch Anwendungen, in denen das nötig ist, z.B. wenn man wissen will, ob eine Funktion in einen Punkt - vielleicht auch durch Ersetzung eines schon vorhandenen Funktionswertes - stetig fortgesetzt werden kann.

Wieder mal stellen wir also fest, dass derselbe Ausdruck je nach Autor verschiedene Bedeutungen hat, und man - wieder mal - genau dazusagen muss, was man meint.

Die Definition von Forster enthält übrigens genau die Redundanz, die ich beschrieben habe. Sie ist allerdings üblich, und so wie Stetigkeit im Forster definiert wird, ist sie auch mit deinem Begriff des Grenzwertes einer Funktion verträglich.

Die Indikatorfunktion von {0} ist also in 0 unstetig, und hat je nach Definition entweder den Grenzwert 0 in der 0, oder keinen Grenzwert.

Bei den Begriffen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert herrscht aber wohl Einigkeit, oder? (Da ist x_0 explizit ausgeschlossen.)

Gruss,
SirJective

04.08.2004, 22:26

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Ben Sisko

@mathemaduenn & Philllip: Alles klar, lange Leitung meinerseits.

Edit: Ich hätte übrigens aus dem Gefühl bzw. der Erinnerung heraus Philllip zugestimmt.

05.08.2004, 16:55

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Philipp-ER

Hi SirJective.
Ich hätte einfach nie gedacht, dass es für einen so grundlegenden Begriff der Mathematik tatsächlich so unterschiedliche Definitionen gibt, deshalb kam mir auch gar nicht in den Sinn, dass es die von dir angesprochene Definition tatsächlich geben könnte.

Noch zu den einseitigen Grenzwerten:
Wie ist es denn mit folgendem Satz (nicht streng mathematisch formuliert, aber ich denke, wir verstehen uns; x0 soll zum Beispiel ein "braver" Punkt sein, also kein Randpunkt und auch nicht "nach rechts oder links isoliert" etc, ich spare mir das):
$[latex]\lim_{x\to x_0}f(x)[/latex]$ existiert genau dann, wenn $[latex]\lim_{x\to x_0+}[/latex]$ und $[latex]\lim_{x\to x_0-}[/latex]$ existieren und übereinstimmen.

Der gilt dann also bei dieser Definition des Grenzwertes nicht?

05.08.2004, 17:56

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mathemaduenn

Hallo Phillip_ER,
Du könntest den Grenzwert im Satz auch so formulieren
$[latex]\lim_{\begin{matrix} x \to x_0 \\x\in D\setminus{x_0} \end{matrix}} f(x)[/latex]$
Sieht nicht so schön aus aber jeder weiß welche Definition des Grenzwertes Du meinst.
gruß
mathemaduenn

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