Ausgleichsproblem im R³ mit Kugeln und Ebenen

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Ausgleichsproblem im R³ mit Kugeln und Ebenen
Hallo,

ich bin auf der Suche nach einer effezienten vorgehensweise für folgendes Problem:

Gegeben: N Körper der Anfangsmenge {Kugel, Ebene}. Alle Berechnungen spielen sich im R³ ab. Die Körper können beliebig im Raum liegen, sich schneiden oder auch nur berühren. Alle Lagemöglichkieten sind somit erlaubt.


Gesucht: Ziel ist es einen Raumpunkt zu finden, der zu allen Körpern dieser Anfangsmenge die geringste Summe der Abstandsquadrate aufweist. (Stichwort: Methode kleinster Quadrate)

Noch ein paar Erleuterungen:
Der Abstand ist sodefniniert, dass er die Stecke der direkten Sichtlinie von einem Punkt zum nächstgelegenen Objektpunkt ist. Bei der Kugel wäre dies demnach der Kugeloberflächenpunkt der zu einem Punkt am nächsten liegt.
Bei der Ebene wäre es der Schnittpunkt einer Ebene mit einer Geraden die senkrecht auf der Eben steht und durch den Punkt dessen Abstand zur Ebene berechnet werden soll geht.

Das Verfahren soll letzten Endes in ein Programm gegossen werden.

Deshalb habe ich mir bis jetzt folgenden Ansatz überlegt:

Da es sich um ein sehr komplexes Problem handelt, habe ich versucht dem Prinzip teile und herrsche Rechnung zu tragen indem ich das Gesamtproblem in Teilprobleme aufgeteilt habe:

Ich betrachte immer zwei dieser Objekte. Kugel vs. Kugel; Kugel vs. Ebene; Ebene vs. Ebene.
Zu diesem Teilproblem berechne ich immer den Körper der zu beiden Körpern den geringsten Abstand aufweist.
Dies können einzelne Punkte sein zB. wenn zwei Kugeln sich nicht schneiden aber auch Schnittkreise, wenn sich die Kugeln schneiden. Insgesamt können so sechs verschiedene Figuren entstehen:

1. Kugel (gegeben)
2. Kreis (Schnittkreis Kugel mit Kugel)
3. Ebene (gegeben)
4. Gerade (Schnitt Ebene mit Ebene)
5. Doppelpunkt (Schnitt Kreis mit Kugel)
6. Einfacher Punkt (Kreis mit Kreis; Kreis mit Ebene; etc...)

Die Aufzählung bei welchen Objektlagen zu einander welches Objekt entsteht ist nicht abschließend kann aber einfach hergeleitet werden.

Diese Vereinfachnung führe ich "alle mit allen" Körpern durch um so einen Ergebnismenge von diesen sechs Körpern zu erhalten. Auf diese wird das gleiche dann wieder angewendet, so lange bis nur noch Einzelpunkte über bleiben. Die Ergebnismenge expandiert sehr schnell...

Meine Probleme/Fragen:

1. Konvergiert das in jedem Fall zu einem Punkt?
2. Wie oft muss ich im schlimmsten Fall iterieren.
3. Ist das auf diese Weise überhaupt zu lösen?
4. Gibt es bessere Alternativen?
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