Span - Vektorraum

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17.07.2013, 19:21	Clevermen	Auf diesen Beitrag antworten »
Span - Vektorraum Ich habe eine Frage zum span. Gegeben sei span{x1,x2,...xn}. Meine Fragen: 1)Ist der span, einfach nur ein Erzeugendensystem? Also damit dann ein span ein VR sein kann, muss sie bzgl Skalarmultiplikation verträglich sein, eine abelsche Gruppe sein und immer vollen Rang besitzen. Oder ist der span tatsächlich etwas anderes ? 2) Wie sieht es bzgl. der Vereinigung und dem Durchschnitt von spanns aus bzgl. Vektorräumen.. Welche Regelung gibt es den dort?
17.07.2013, 20:01	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Span - Vektorraum Schau mal Hier. Da steht eigendlich alles.. Liebe Grüßee
17.07.2013, 20:14	Clevermen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, klingt verwirrend, da ich das irgendwie im Zusammenhang mit der Linearkombination von den Vektoren der Menge {x1,x2,...,xn} bringe. Wo liegt den der Unterschied ?
17.07.2013, 20:23	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du also $\begin{eqnarray} \langle x_{1}, ..., x_{n} \rangle \end{eqnarray}$ mit deinem $\begin{eqnarray} \left\{ x_{1},...,x_{n} \right\} \end{eqnarray}$ ?
17.07.2013, 20:26	Clevermen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Oder andersausgedrückt, wo ist der Unterschied zwischen der Linearkombination und der Linearen Hülle
17.07.2013, 20:34	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Bei der linear Kombination kann man Vektoren endliche Vektoren und erhält dann eine Summe. und bei der Linearen Hülle betrachtet man die Menge aller endlichen Linearkombinationen (falls ich mich hier irre, kann gern jemand eingreifen) Liebe Grüße
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17.07.2013, 20:39	Clevermen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie untersuch ich den hier die Axiome bzgl VR. Welche Eigenschaft muss den die Teilmenge immer besitzen damit sie ein VR ist? Also ich weiss schon, dass sie ein spann bleiben muss, aber das sagt mir nicht viel aus
17.07.2013, 20:50	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß leider nicht worauf du mit Teilmenge jetzt hinaus willst, aber in einem Vektorraum ist die Linearkombination von Vektoren mit Koeffizienten aus dem Körper des Vektorraums wieder ein Element des Vektorraums. Der Nullvektor eines Vektorraums lässt sich immer als Linearkombination einer gegebenen Menge von Vektoren ausdrücken. Liebe Grüße
17.07.2013, 21:00	Clevermen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube du hast nicht verstanden was ich meine. Oder was hat das mit dem span zu tun? Oder anders ausgedrückt, wie untersuchst du ein span mit einer Menge von Vektoren bzgl. den VR-Axiomen. Welche Eigenschaft müssen diese Vektoren besitzen ? Linear abhängig sein/Unabhängig, Erzeugendensystem bilden.... Mir ist leider immer noch nicht klar was ein Span ist.
17.07.2013, 21:13	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums V ist ein Untervektorraum von V. Naja deine Vektoren müssen aus deinem Vektorraum sein ..Das hat doch hier nichts mit der Linearen Abhängigkeit bzw Unabhängikeit zu tun. Eine Linearkombination, ist ja quasi die Kombination von Vektoren mit einem Skalar. Die in der Linearen Hülle( Span) als eine Menge aufgefasst werden. Und die Lineare Hülle ist ein Untervektorraum und Da gibt es Unterraumkriterien: $\begin{eqnarray} U \subseteq \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ heißt Unterraum, wenn gilt: $\begin{eqnarray} U \neq \emptyset \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} X,Y \in U \end{eqnarray}$ folgt stets $\begin{eqnarray} X+Y \in U \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R, X \in U \end{eqnarray}$ folgt stets \lambda $\begin{eqnarray} X \in U \end{eqnarray}$
17.07.2013, 21:21	Clevermen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würdest du folgendes unteruschen: Ist der folgende Raum, ein IR-VR. ? A1:=span{(-1,9)}vereinigtspan{(6,0)} Also mir persönlich würde kein Gegenbeispiel einfallen, das ein span kein VR ist. Deshalb bin ich mir noch recht unsicher bzgl. dem span. Was wäre den ein Gegenbeispiel ?
17.07.2013, 21:38	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja der reelle Vektorraum. Es gilt ja: $\begin{eqnarray} span(M \cup N) = span(M) + span(N) \end{eqnarray}$ Es würde ja ergeben: $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \end{pmatrix} + \lambda_{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es liegen also die Vektoren so im Span. Wenn du weist das der Raum ein Vektorraum ist, und die Teilmenge davon ebenfalls musst du nur noch die Unterraum Axiome prüfen ob sie gelten... Jetzt hab ich mich warscheinlich veramscht ..
17.07.2013, 21:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigungen zweier Unterräume müssen im allgemeinen keine Unterräume sein (und sind genau dann welche, wenn einer der beiden Unterräume im anderen enthalten ist). Die lineare Hülle kann man zwar als Menge aller endlichen Linearkombination aus der gegebenen Menge definieren, aber auch als den kleinsten Unterraum, welcher die gegebene Menge enthält. Da besteht eine gewisse Analogie zur konvexen Hülle in einem Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ : Die lineare Hülle von $\begin{eqnarray} A\subset V \end{eqnarray}$ ist der kleinste Unterraum (d.h. der kleinste "lineare Raum") von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , welcher $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ enthält, und besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen von Elementen aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Die konvexe Hülle von $\begin{eqnarray} A\subset V \end{eqnarray}$ ist die kleinste konvexe Menge, welche $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ enthält, und besteht aus allen (endlichen) Konvexkombinationen von Elementen aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist der Spann/die lineare Hülle einer Menge stets ein Vektor-/Unterraum.
17.07.2013, 22:10	Clevermen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hilft mir nicht sehr das ganze besser zu verstehen. Kann man nicht irgendwelche Bedingungen ablesen? Und aus diesen Bedingungen dann rückschlüsse ziehen, dass er kein spann bildet. Also zb. a+b=c, wobei span{a,b}. Kann ich jetzt nicht irgendwelche Eigenschaften von c erkennen, die mir sagen das c gemeinsam mit a und b weiterhin ein span bildet bzw. analog nicht.
17.07.2013, 22:32	Cleverman	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich habe mir nochmal Gedanken um den span gemacht und komme zu folgendem Entschluss: Der spann einer Menge von Vektoren ist die Menge ihrer Linearkombinationen bzw. $\begin{eqnarray} span(v_{1}, ... , v_{n})= \left\{ \lambda_{1}v_{1} ... \lambda_{n}v_{n}\|\lambda _{1}, ... \lambda_{n}\in K\right\} \end{eqnarray}$ Das schaut nach mir so aus, das irgendwie jeder Vektor mit x-beliebigen anderen Vektoren ein spann bilden. Denn ich kann doch x-beliebige Vektoren als Linearkombination auffassen.
18.07.2013, 09:03	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
"Das schaut nach mir so aus, das irgendwie jeder Vektor mit x-beliebigen anderen Vektoren ein spann bilden" Skalaren bitte und die Vektoren eines Vektorraumes werden als Linearkombination aufgefasst. Liebe Grüße

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