implizierte eulersche Polygonzugverfahren

18.07.2013, 11:21	heli89	Auf diesen Beitrag antworten »
implizierte eulersche Polygonzugverfahren Hey Leute hab da mal ne prüfungsfrage vl könnt ihr mir ja weiterhelfen. und zwar es ist ein anfangswertproblem y´(t) + 3*y(t) = 2 y(0)=2 gegeben. als fixe schrittweite hab ich mal 0,1 angenommen Frage: Man zeige die Konvergenz der Folge von Näherungswerten und bestimme den Grenzwert ? Antwort: wenn ich die Vorschrift für den implizierten Euler anwende erhalte ich durch leichtes umformen der Vorschrift die folgenden Näherungswerte y0=2 ; y1=7,3 ; y2=25,1 ; ..... wenn ich das so weiter mache werden doch die lösungen immer größer ??? oda hab ich da die vorschrift falsch umgeformt lg
25.07.2013, 00:36	Ändru	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, nein deine Lösungen werden nicht immer größer, sondern kleiner! Das muss ja auch gelten wenn du zeigen sollst dass es konvergiert. Wende doch einfach mal die Formel für den impliziten Euler an, dann siehst du bestimmt was Es gilt doch für den impliziten Euler: $\begin{eqnarray} y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_{i+1}, y_{i+1}) \end{eqnarray}$ und für deine Funktion $\begin{eqnarray} f(x_{i+1}, y_{i+1}) = 2-3y_{i+1} \end{eqnarray}$ dann musst du es nur noch einsetzen mit $\begin{eqnarray} y_0 = 2 \end{eqnarray}$ . Somit ist dann $\begin{eqnarray} y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_{i+1}, y_{i+1}) = y_i + h \cdot (2-3y_{i+1}) = \frac{y_i + 2h}{1+3h} \end{eqnarray}$ Wenn du dann mal $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ ausrechnest bekommst du: $\begin{eqnarray} y_1 = \frac{2 + 2h}{1+3h} = 2\left(\frac{1 + h}{1+3h}\right) \end{eqnarray}$ dann siehst du dass der Nenner minimal größer ist und somit für alle $\begin{eqnarray} h > 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Grüße PS: Im Anhang findest du ein kleines Matlab-File und das zugehör. Diagramm dazu

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