Charakteristisches Polynom & Eigenwerte & algebraische Vielfachheiten.... ????

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mckayser Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom & Eigenwerte & algebraische Vielfachheiten.... ????
Hallo!

Ich möchte vorherschicken, dass ich von Mathe keine Ahnung habe. Leider muss ich morgen meine Mathe Klausur im BWL Studium schreiben... Größtenteils komme ich zurecht, nur der ganze Teil mit Eigenräumen und Vektoren und char. Polynomen usw. hat sich mir noch nicht ganz erschlossen... traurig

Wenn ich in einer Aufgabe zeigen muss, dass das char. Polynom die Form hat, was muss ich dann tun?

Die dazugehörige Matrix ist zusammen mit dem Vektor .

Das GLS soll man in Teil a) mit Cramer lösen, aber sowas (einfaches) bekomme ich schon hin...

Wäre über eine Antwort sehr erfreut, Grüße, MC Kayser
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne folgende Determinante



Die Determinante dieser Matrix liefert dir das characteristische polynom

Zum Eigenwert

alle x != 0 mit



sind eigentvektoren.

Diese form ist äquivalent zu



Die Determinante liefert die Eigenwerte, die Lösung des Gleichungssystems zu den Eigenwerten die Eigenvektoren
mckayser Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ANtwort erstmal....

Wenn ich die Determinante "ausrechne" (mein Tun hat kaum den Ausdruck verdient), komme ich auf

Da kann doch irgendwas nicht stimmen, oder?? Wenn ich jetzt durch teile, kommt als Ergebnis meiner Polynomdivision raus, mit einem Rest von -22. Das ist doch alles schon wieder sehr fragwürdig, was ich da mache...

Hat noch wer Hilfe?? Ansonsten bleibt mir nichts übrig, ausser auf Gauß & Cramer & LaPlace zu hoffen... btw.: Wie bestimme ich die Definitheit einer Matrix?? Fragen über Fragen... Gott

Greetz, MC Kayser
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »



<=>



<=>



die restlichen Umformungen schaffst Du?


Was Definit heißt weiß ich nicht.

Wenn Du ein characteristisches Polynom ausrechnest versuche möglichst nicht alles aus zu multipizieren.
mckayser Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch mal trickreich. Die restlichen Umformungen habe ich hinbekommen.... Buschmann

Das wird mir schonmal weiterhelfen, denke ich.

Danke für die Hilfe!!

Greetz, MC Kayser
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
btw.: Wie bestimme ich die Definitheit einer Matrix?? Fragen über Fragen... Gott


Meinst du Definitheit im Zusammenhang mit Bilinearformen?
 
 
mckayser Auf diesen Beitrag antworten »

Was auch immer das sein mag...

Also die Aufgabe dazu lautet:

A=

-> Machen Sie eine Aussage über Diagonalisierbarkeit (lasse ich weg, durchblicke ich nicht), Invertierbarkeit (ist klar) und Definitheit(?) der Matrix A.

Greetz, MC Kayser
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Achso dann kannst du das mit Bilenarform wieder vergessen, läuft vermutlich auf dasselbe raus, aber hier gehts dann auch einfacher.

Wenn du eine Matrix in Diagonalgestalt hast, dann stehen auf der Diagonalen ja die Eigenwerte. Wenn die alle positiv sind, dann heisst die Matrix positiv definit, wenn alle negativ sind dann heisst die negativ-definit .(Dann gibts noch semidefinit und indefinit, aber das müsste ja auch irgentwo in deinem Script oder woraus du lernst stehen :P )
mckayser Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Gott, wie einfach doch diese kranken Formeln aus meinem Skript zu erklären sind, vielen Dank dafür...

Ich kann mit dem Formelkram einfach nichts anfangen, weiss auch nicht, wie ich da drangehen soll

:P

Greetz, MC Kayser
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

McKayser, studierst du in Duisburg?

Gruß vom Ben
mckayser Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider in Bielefeld... Das macht das Ganze nicht gerade leichter, da wir sehr mathelastig sind...

Greetz, MC Kayser
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich dachte meine Werbung hätte was gebracht traurig

Und bei uns schreiben die BWLer auch morgen Mathe.

Noch Fragen offen?
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein, leider in Bielefeld...

Bielefeld ist doch toll Augenzwinkern Ich studier auch da smile

EDIT: Hmm ich glaub mich zu errinern dass mir ein BWLer gesagt hat, dass fast allle BWler in Bielefeld unfreiwillig von der ZVS dahin gesteckt wurden :P
mckayser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Hm, ich dachte meine Werbung hätte was gebracht traurig

Und bei uns schreiben die BWLer auch morgen Mathe.

Noch Fragen offen?


bei mir sind einige Fragen offen, bei dem Angebot werde ich jetzt noch eine reinhauen... Erstmal das unmathematische: Ich habe mir Bielefeld auch noch selbst ausgesucht, weil ich (noch) hier wohne! Heute habe ich Informatik geschrieben und morgen gibts Mathe. Dann noch am Mittwoch BWL (I+F)...

navajo, Du kannst dann ja die Klausur morgen für mich schreiben Wink

Meine Frage: Wenn ich das charakteristische Polynom gegeben habe, und ALLE Eigenwerte von A angeben soll, was muss ich dann machen?

Muss ich den Teil des char.Pol. in die Diagonale der Matrix einsetzen (damit meine ich in dem Fall das - lambda) und dann ausrechnen oder was ist da gesucht??

Greetz, MC Kayser

P.S.: Noch eine extrem dumme Frage hinterher zum Thema Orthonormalbasis: Eine Orthonormalbasis aus mehreren Vektoren liegt doch vor, wenn diese Orthogonal sind (inneres Produkt = 0) und außerdem Einheitsvektoren sind (Länge = 1). Wie bringe ich denn einen Vektor z.B. auf einheitliche Länge?? :P
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Wenn du alle EWe finden sollst, musst du alle Nullstellen bestimmen. Nix mehr in die Matrix einsetzen.
Weißt du, wie du die Länge eines Vektors berechnest? Teile alle Einträge des Vektors durch seine Länge, dann hat er die Länge 1.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mckayser
Heute habe ich Informatik geschrieben und morgen gibts Mathe.


Willst du dann nich langsam mal schlafen gehen? verwirrt
mckayser Auf diesen Beitrag antworten »

@mathespezial: Ich versuche, noch so viel wie möglich zu durchschauen, bei möglichst wenig Müdigkeit morgen. Das kann man bestimmt auch irgendwie errechnen.

@Ben: Weiss leider nicht, wie man die Länge eines Vektors berechnet... Daher kann ich auch schlecht alle Einträge durch die Länge teilen... :-(

ist meine Matrix

a) Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom ist und bestimmen Sie alle Eigenwerte - ein Eigenwert ist - und deren algebraische Vielfachheiten! Hilfe

um die weiteren Nullstellen zu errechnen, muss ich da mit der Polynomdivision arbeiten, oder den vorhandenen Eigenwert irgendwie anders verarbeiten??? Ich glaube, das wird sich mir nie erschliessen...

Geretz, MC Kayser
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Polynomdivision ist richtig.

Länge des Vektors kommt gleich.

Edit: Die Länge des Vektors ist. Ich hoffe du erkennst das Schema Augenzwinkern
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
um die weiteren Nullstellen zu errechnen, muss ich da mit der Polynomdivision arbeiten, oder den vorhandenen Eigenwert irgendwie anders verarbeiten???


wie ic sagte, wenn du das characteristische Polynom berechnest möglichst wenig ausmultiplizieren, dann kommst du nämlich in den genuss von gleichungen wo man die Nullstellen bereits ablesen kann (faktor 0 etc.) und die grade der Polynome sind auch kleiner !
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Länge eines Vektors bekommt du durch:



Also die einzelnen Komponenten des Vektors quadrieren, aufaddieren und die Wurzel raus ziehen.

zu a) Da musst du nur die Nullstellen von dem Polynom ausrechnen. Das sind nämlich genau die Eigenwerte. Das kannst du mit Polynomdivison machen, indem du durch teilst.
Dann bekommt du eine quadratische Gleichung und deren Nullstellen kann man dann mit quadratischer Ergänzung oder pq-Formel ausrechnen. Die Nullstellen die man dann rauskriegt sind die gesuchten Eigenwerte.


Hmpf, jetzt wurd schon vorher alles gesagt, na egal hab ich davon wenn ich so langsam tippe Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt 11 Minuten an dem Beitrag getippt? geschockt
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du hast jetzt 11 Minuten an dem Beitrag getippt? geschockt

Hehe, krass oder :P Naja wenigstens hab ich nebenbei noch andere Sachen gemacht, sonst wärs echt peinlich, vor allem wo ich nicht wirklich viel geschrieben habe smile
mckayser Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja rührend, wie sich hier um mich gekümmert wird Gott So langsam lichtet sich das Dunkel ein wenig. Die Länge der Vektoren leuchtet selbst mir ein und kann im Zweifelsfall mal den ein oder anderen Punkt bringen, wenn wir mal was auf eins normieren sollen...

Und die Polynomdivision kann ich auch hinkriegen, denke ich, vielleicht bekomme ich dann Teilpunkte für den richtigen Ansatz :]

Aber mal im Ernst, vielen Dank für die Hilfe, wenn ich die Klausur bestehen sollte, muss ich wohl einen ausgeben.

Greetz, MC Kayser
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