Satz der Dreieckszahlen - vollständige Induktion

20.07.2013, 16:24

Kimyaci

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Satz der Dreieckszahlen - vollständige Induktion

Der Satz der pytaghoreischen Dreieckszahlen:

Es gilt $\begin{eqnarray*} 2 (1+2+3+...+n) = n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ .

Nun kann ich den Beweis nicht ganz nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} P(n) = 2 \cdot (1+...+n) = n \cdot (n+1) \ \ \ (^*) \end{eqnarray*}$ .

1.: Sei M die Menge aller m mit (*).

2.: Sei $\begin{eqnarray*} n \in M \end{eqnarray*}$ . Dann ist (n++ = n+1).

So:

$\begin{eqnarray*} P(n) = 2 \cdot (1+2+...+n + (n+1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(n) = \underbrace {2 \cdot (1+...+n)} + 2 \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(n) = \ \ \ \ n \cdot (n+1) \ \ + 2 \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(n) = (n+1) (n+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(n) = (n+1) \left((n + 1)+1 \right) \end{eqnarray*}$

Ich bin erst neu in der Thematik, daher bitte ich um Verständnis. Die Rechenschritte sind mir klar, aber wie genau wurde hier der Satz bewiesen resp. wie interpretiere ich das Endergebnis? verwirrt

verwirrt

20.07.2013, 17:30

dastrian

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Hi!

Also, was du eigentlich beweisen willst, sind 2 verschieden Dinge:

1 gehört zu M.
FALLS eine beliebige natürliche Zahl n zu M gehört, DANN gehört auch n+1 zu M.

Zu 1. hast du noch gar nicht geschrieben, aber dieser sogenannt Induktionsanfang darf bei keiner Induktion fehlen! Er ist wie meistens hier ganz einfach: überprüfe, ob deine mit (*) bezeichnete Gleichung für n=1 gilt. (Ziemlich trivial!)

Die Gleichungen, die du am Ende geschrieben hast, sollen Punkt 2 beweisen, es müsste aber $\begin{eqnarray*} P(n+1) \end{eqnarray*}$ heißen! Wichtig ist dass folgende Verständnis:
DU setzt voraus, dass die Gleichung (*) für ein gewisses n gilt. Diese sog. Induktionsvoraussetzung benutzt du beim drittletzten Gleichheitszeichen!
Und das Endergebnis bedeutet einfach, dass die Gleichung (*) eben auch für n+1 gilt:

$\begin{eqnarray*} P(n+1) = 2(1+ 2 + ... +n + (n+1)) = (n+1)((n+1)+1) \end{eqnarray*}$

20.07.2013, 17:32

mYthos

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Das erscheint etwas undurchsichtig.
Weder ist die Menge M genauer beschrieben, noch kommt in der Folge n++ weiter vor.

Beweise den Satz doch einfach klassisch mittels vollständiger Induktion, also erst die Richtigkeit für ein bestimmtes n, danach IA (Satz sei richtig für n) und IS (Schluss von n --> n+1)

Danach müsste P(n+1) = P(n) + n + 1 = (n + 1)*(n + 2) für alle natürlichen n gelten.

mY+

20.07.2013, 17:52

Kimyaci

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Erst mal danke an euch beiden, dass ihr etwas Klarheit reinbringt.

@dastrian:

1. Für n = 1: Wie kommst du auf die Zahl 1? (Falls du "1.:" meinst -> sollte erster Schritt bedeuten). Müsste ich hierzu nicht einfach einsetzen in die Ursprungsgleichung?

2. Ok! Freude

Freude

20.07.2013, 17:57

Kimyaci

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Zitat:

Das erscheint etwas undurchsichtig.
Weder ist die Menge M genauer beschrieben, noch kommt in der Folge n++ weiter vor.

Tut mir leid, ich geb mein Bestes. Wenn ich mich nicht irre ist doch:

$\begin{eqnarray*} P(n+1) = \underbrace{(n+1)} (\underbrace{(n+1)}+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(n+1) = (n++) ((n++)+1) \end{eqnarray*}$

Also kommt n++ am Ende nochmal vor?

Zitat:

Beweise den Satz doch einfach klassisch mittels vollständiger Induktion, also erst die Richtigkeit für ein bestimmtes n, danach IA (Satz sei richtig für n) und IS (Schluss von n --> n+1)

Danach müsste P(n+1) = P(n) + n + 1 = (n + 1)*(n + 2) für alle natürlichen n gelten.

Das ist einfacher gesagt als getan. Was meinst du mit "Richtigkeit für ein bestimmtes n"?

20.07.2013, 18:03

Gast11022013

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Wobei für Kimyaci die Null eine natürliche Zahl ist.

Zitat:

Original von Kimyaci
Das fünfte Axiom wird folgendermaßen definiert:

Axiom 5: Let P(n) be any property pertaining to a natural number n. Suppose that P(0) is true, and suppose that whenever P(n) is true, P(n++) is also true. Then P(n) is true for every natural number n.

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20.07.2013, 18:18

Kimyaci

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Zitat:

(...) die Null eine natürliche Zahl ist.

Könnte ich denn nicht beweisen, dass für Null diese Eigenschaft (*) gilt?

Dann wäre:

$\begin{eqnarray*} P(0) = 2 \cdot (1+2+...+0) = 0 \cdot (0+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(0) = 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Da laut 5. Peano-Axiom der Nachfolger der natürlichen Zahl Null auch dieselben Eigenschaften hat, wäre das der Beweis dafür, dass jede natürliche Zahl die Eigenschaft (*) hat? verwirrt

verwirrt

20.07.2013, 18:25

Gast11022013

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Damit hatte ich mich eigentlich nur auf den Beitrag von dastrian bezogen.
In deinem Fall müsstest du zeigen, dass Null ein Element der Menge ist.

Du rechnest hier übrigens falsch. So wie du rechnest ist die linke Seite nicht Null.

$\begin{eqnarray*} P(0)=2\cdot 0=0\cdot (0+1) \end{eqnarray*}$

20.07.2013, 18:36

Kimyaci

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Stimmt, das war falsch gerechnet. Ich komm nicht mehr ganz mit.

Alsoo, dann etwas langsamer;

Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 0 \in M \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit das der Fall ist, muss Null die Eigenschaft (*) haben. D.h. ich müsste zeigen, dass Null diese Eigenschaft besitzt, soweit ok?

Und nun würde ich ganz einfach n = 0 setzen, aber da schein ich ja Fehler zu machen?

20.07.2013, 18:41

Gast11022013

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Ich wollte mich hier eigentlich gar nicht einmischen, aber du musst ja zwei Dinge zeigen, was dastrian ja schon sagte, nur das er nicht wusste, dass für dich die Null eine natürliche Zahl ist.

Du musst also zwei Dinge zeigen

1. $\begin{eqnarray*} 0\in M \end{eqnarray*}$

2. FALLS eine beliebige natürliche Zahl n zu M gehört, DANN gehört auch n+1 zu M.

Für 1. musst du eigentlich nur einsetzten (das hatte ich dir oben jetzt abgenommen) und dann eben noch den zweiten Schritt machen, was du ja in deinem ersten Post bereits hast.

Damit hättest du dann den Satz durch vollständige Induktion bewiesen. Du hast gezeigt, dass es für jeden beliebigen Nachfolger von n gilt.

Ich hoffe ich habe jetzt nichts falschen gesagt.

20.07.2013, 18:45

Kimyaci

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Ach soooooooo, okay!

Bezüglich "einmischen": Das "musst" du jetzt noch für einen Moment, da alle anderen off sind. Big Laugh

Big Laugh

Eine letzte Frage noch: Wieso ist bei deiner Rechnung:

$\begin{eqnarray*} (1+2+...+n) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Vielleicht verwirrt mich ja die Schreibweise mit dem "n", aber so ganz nachvollziehen kann ich das noch nicht.

20.07.2013, 18:49

Gast11022013

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Die beiden anderen Helfer sind mittlerweile wieder online.

Dieses (1+2+3+...+n) symbolisiert eigentlich nur eine Summe die "durchlaufen" wird.
Für n=1 wäre die Summe einfach

1

für n=2

1+2

für n=3

1+2+3

und für n=n schließlich

1+2+3+...+n

Wenn du nun n=0 hast, dann hast du auch sogesehen nichts was in der Summe steht, außer eben der Null.

Du summierst von der Null bis zu einer beliebigen natürlichen Zahl n auf.

Deshalb:

$\begin{eqnarray*} P(0)=2\cdot 0=0\cdot (0+1) \end{eqnarray*}$

20.07.2013, 18:50

mYthos

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Nö, niemand ist OFF
_________

Das gilt natürlich nur für n = 0 --> 0*(0 + 1)

20.07.2013, 18:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von Gmasterflash
$\begin{eqnarray*} P(0)=2\cdot 0=0\cdot (0+1) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} P(0) \end{eqnarray*}$ sollte eine Aussage bezeichnet werden, keine Zahl.

20.07.2013, 19:01

Kimyaci

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Zitat:

Dieses (1+2+3+...+n) symbolisiert eigentlich nur eine Summe die "durchlaufen" wird (...)

Ach soooooo, darin lag wohl eins meiner Verständnisprobleme! Dankeeeeee. smile

smile

Jetzt macht Mathematik wieder Spaß, haha.

@Che:

Das war ja mehr oder weniger meine Schuld, weil ich das weiter oben eingeführt habe mit "P(0)", ich dachte mir, wenn P(n) davor steht und n = 0 ist schreibe ich einfach P(0) - analog zu P(n++)? verwirrt

verwirrt

20.07.2013, 19:08

Gast11022013

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Zitat:

Original von Che Netzer
Mit $\begin{eqnarray*} P(0) \end{eqnarray*}$ sollte eine Aussage bezeichnet werden, keine Zahl.

Muss man nicht durch einsetzten den Wahrheitsgehalt dieser Aussage ermitteln?

20.07.2013, 19:47

Che Netzer

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Ja, ihr müsst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} P(0) \end{eqnarray*}$ gilt und dass $\begin{eqnarray*} P(n+1) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} P(n) \end{eqnarray*}$ folgt.
Aber $\begin{eqnarray*} P(0)=0 \end{eqnarray*}$ ergibt keinen Sinn (Aussage = Zahl?).

20.07.2013, 19:54

Kimyaci

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Und wie würde man es nun richtig notieren, für die Rechnung mit n = 0?

20.07.2013, 20:12

dastrian

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Hi Leute!
(Sorry, ich bin immer mal wieder kurz online, und immer wenn ich vorhin online war hatte Gmasterflash schon gute Antworten gegeben Big Laugh

Big Laugh

)

Ich glaube nicht, dass P(n) eine Aussage sein solle! Im allerersten Post stand
$\begin{eqnarray*} P(n) = 2(1 + ... + n) \end{eqnarray*}$
also hab ich P als eine auf den natürlichen Zahlen definierte Abbildung verstanden.
Die behauptete Aussage wurde mit (*) bezeichnet und lautet
$\begin{eqnarray*} P(n) = n (n+1) \end{eqnarray*}$

Das beweist man zunächst für die kleinste natürliche Zahl (sei diese nun 0 oder 1) und dann beweist man, dass, falls die Aussage für ein beliebiges n gilt, dann gilt sie auch für n+1 (oder n++).

Zitat:

Original von Kimyaci
... weil ich das weiter oben eingeführt habe mit "P(0)", ich dachte mir, wenn P(n) davor steht und n = 0 ist schreibe ich einfach P(0)...

Meiner Ansicht nach völlig richtig!

20.07.2013, 20:15

Kimyaci

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Für mich ist dieser Thread nun beendet (falls ihr euch noch die Köpfe einschlagen wollt ob nun P(0) stimmt oder nicht; das lese ich nur noch mit ohne mich zu äußern).

Alles klar, habs nun verstanden! Vielen, lieben Dank an alle für die Mühe! Freude

Freude

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