Basis zum Kern von Linearer Abbildung |
| 22.07.2013, 03:48 | yooyooyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Basis zum Kern von Linearer Abbildung Zunächst schau ich welche Dimension den überhaupt der Kern der Linearen Abbildung hat. Sagen wir dim(Ker[f])=2. Nun heißt das, dass es speziell zwei Vektoren meines Kerns gibt, die eine Basis (Minimaes Erzeugendensystem bzw. Linear Unabhängiges Erzeugendensystem) darstellen. Wie lese ich dann von der Lösungsmenge Ax=0 eine Basis mit der dimension 2 ab? |
||||||||
| 22.07.2013, 09:30 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Entweder durch "scharfes Hinsehen" oder Anwendung des Gaußalgorithmus. |
||||||||
| 22.07.2013, 13:49 | yoyooyooyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mithilfe Gauß? Wie den genau? Ich nutze ja bereits Gauß um die Lösungsmenge des Kerns zu bestimmen. |
||||||||
| 24.07.2013, 21:15 | yoyooyoyooy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kannst du bitte das mit Gauß etwas präziser erklären? |
||||||||
| 25.07.2013, 08:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zur Bestimmung einer Basis des Kerns brauchst du die frei wählbaren Variablen. Dazu nimmt man einen kleinen Umweg, indem man zuerst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt. Wenn sich die Matrix in Zeilenstufenform befindet, sind die nicht frei wählbaren Variablen genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar. Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig. |
||||||||
| 25.07.2013, 12:28 | yoyooyooyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, könntest du dazu bitte ein Beispiel machen mit z.b. der dim(Kern[A])=2 und den vorgegebenen Vektoren {v1,v2,v3}. Also das anhand einer selbstgewählten Lösungsmenge dann kurz zeigen wie ich in diesem Fall mit dim vom Kern=2, genau 2 Vektoren des Kerns entnehmen kann die eine Basis aufspannen. |
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 25.07.2013, 12:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie wäre es mit der Abbildung zur Matrix ? |
||||||||
| 25.07.2013, 13:09 | yoyooyoyoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das sieht gut aus.. Wie könnte ich nun zu der Lösungsmenge Ax=0 eine Basis ablesen mit der dim Kern=2 (Abgesehen davon ist hier die Dimension des Bildes 2, was impliziert das die dim. vom Kern =1 ist) |
||||||||
| 25.07.2013, 13:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das habe ich oben beschrieben.
Da liegst du falsch. 
|
||||||||
| 25.07.2013, 19:57 | yoyooyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, es gilt: x=labmda 1 y=lambda 2 z= lambda 3 oder einfach Ax=0 impliziert x={(x,y,z)} Und jetzt ? |
||||||||
| 26.07.2013, 08:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. Wenn du den Kern bestimmen willst, mußt du das Verfahren anwenden, wie ich es oben beschrieben habe. |
||||||||
| 26.07.2013, 09:25 | yooyooyoyoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Lösungsmenge von deiner genannten Matrix war das und wenn ich mich nicht irre sind alle drei Variablen frei wählbar. Da Dim2 für Kern gilt, kann ich eine Basis zum Kern wie folgt angeben Basis={(0,0,1),(0,1,0)} ? Ich hab das gar nicht verstanden mit sukzessiv erst ne eins und danach alles nullen einsetzen. |
||||||||
| 26.07.2013, 09:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier widersprichst du dich selbst. Entweder sind alle drei Variablen frei wählbar, dann ist die Dimension des Kerns = 3. Oder die Dimension des Kerns ist 2, dann ist eine Variable nicht frei wählbar.
Wie man leicht nachrechnet, ist keiner dieser Vektoren ein Element vom Kern.
Dann bring doch erst mal die Matrix in Zeilenstufenform und bestimme die frei wählbaren Variablen. |
||||||||
| 26.07.2013, 09:45 | yooyooyoyoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stufenform: x y z 0 1 1 0 0 0 0 0 0 III) 0z=0 -> z=lambda1 III in II) 0y=0 -> y= lambda2 III,II inI) 0x + y+z=0 <-> y=z Was ist mit x? Existiert der überhaupt? Muss nicht oben links ne 1 stehen = |
||||||||
| 26.07.2013, 10:09 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist falsch.
Nee, wieso? Du hast jetzt die Matrix in Zeilenstufenform gebracht. OK. Du hast aber nicht gesagt, was die freien bzw. die nicht freien Variablen sind. Ohne dies bringt die ganze Rechnerei nichts. |
||||||||
| 26.07.2013, 10:13 | yooyooyoyoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wieso ist das falsch? Wenn y=lambda1 und z=lambda2 freiwählbar sind und ich sie in folgende Gleichung einsetze: 0x + y+z=0 -> lambda1+lambda2=0 -> y+z=0 <-> y=-z bzw. z=-y So ok mir ist ein fehler unterlaufen jetzt richtig oder? |
||||||||
| 26.07.2013, 10:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auch das ist schon falsch. Du weigerst dich leider hartnäckig, der von mir beschriebenen Anleitung zu folgen. 
|
||||||||
| 26.07.2013, 10:26 | yooyooyoyoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich versuch gerade den Kern zu bestimmen. Was soll ich den machen ? Und wieso ist das falsch ? |
||||||||
| 26.07.2013, 10:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier steht, was zu tun ist:
Wo ist denn jetzt pro Zeile das erste Nicht-Nullelement? Das zu finden, kann doch nicht so schwer sein, oder? |
||||||||
| 26.07.2013, 11:08 | yoyooyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo mich würde interessieren wieso meine Antwort bzgl "Zur Bestimmung einer Basis des Kerns brauchst du die frei wählbaren Variablen. Dazu nimmt man einen kleinen Umweg, indem man zuerst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt. " falsch ist. z=-y <-> y=-z Ansonsten kann ich hinzufügen, dass in der ersten Zeile (Spalte y) ein ungleich Null element auftaucht. Was heißt das jetzt ? |
||||||||
| 26.07.2013, 11:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weil du einleitend schreibst: "Wenn y=lambda1 und z=lambda2 freiwählbar sind" Richtig müßte es heißen: z=lambda2 ist frei wählbar, daher ist y = -z = -lambda2
Das heißt, das y nicht frei wählbar und folglich x und z frei wählbar sind. Nun setzt du davon eine Variable = 1, die andere = 0 und bestimmst den Rest (also das y). |
||||||||
| 26.07.2013, 11:40 | yoyooyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, ich weiss leider immer noch nicht was für x gilt (Hätte nebenbei auch den Kern gerne bestimmt).Also vorab, wie bekomme ich sukzesiv nun heraus was x ist ? y und z sind ja bereits bestimmt wurden. Da y=-z und z=-y gilt, gilt für x: 0x+y+z=0 0x-z-y=0 <-> 0x=y+z Wie bekomm ich nun noch x heraus ? |
||||||||
| 26.07.2013, 12:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das habe ich doch beschrieben.
Also: a) setze x=1, z=0 bestimme y b) setze x=0, z=1 bestimme y Die jeweils entstehenden Vektoren bilden eine Basis des Kerns. |
||||||||
| 26.07.2013, 12:14 | yoyooyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da der Kern die Dimnsion zwei hat oder ? Und y wird bestimmt, da y di Spalte ist mit dm ersten ungleich Null Element. Wenn nun z.b. eine 1 ganz oben rechts wäre, dann wären y und z vorggebn und man müsste x bestimmen oder ? |
||||||||
| 26.07.2013, 12:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du kannst ja mal die Matrix posten, die du damit meinst. |
||||||||
| 26.07.2013, 12:36 | yooyoyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sry, ich meine ganz oben Links z.b. 1 1 3 0 0 5 0 0 0 Dann müste man x bestimmen oder? Ich habe leider immer noch nicht so recht verstanden was die komplette Lösungsmenge unserer Matrix 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ist. Das y=-z und z=-y ist, ist mir klar. Aber bevor ich nun die Basis vom Kern bestimmen will, will ich erstmal den kompletten Kern bestimmen. Und bisher habe ich nur -y und -z. |
||||||||
| 26.07.2013, 12:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier ist y die einzige freie Variable. Also setzt du y=1 und berechnest den Rest.
Was willst du mit diesen y und z-Rechnungen? Mach doch einfach, was ich sage:
|
||||||||
| 26.07.2013, 12:46 | yooyoyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich möchte gerne ersteinmal den Kern der Abbildung bzw. der Matrix bestimmen und danach eine Basis des Kerns. |
||||||||
| 26.07.2013, 12:58 | yooyoyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, bitte vergess ersteinmal die Basis des Kerns. Ich habe ein wichtige Frage. Die Zahl der Dimension des Kerns gibt doch die Anzahl von Vektoren an, die ich aus dem Kern einer Abbildung herauslesen muss, die eine Basis aufspannen oder ? Also sagen wir dimension vom Kern ist 3, d.h. dann brauch ich auch exakt 3 Vektoren vom Kern die eine Basis aufspannen? |
||||||||
| 26.07.2013, 13:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist doch quasi dasselbe. Man gibt den Kern an, indem man davon eine Basis angibt. Wenn du eine Basis v_1, ..., v_n hast, dann ist der Kern =
Ja. |
||||||||
| 26.07.2013, 13:10 | yooyoyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich würde wirklich gerne erst den Kern hier bestimmen. Und danach eine Basis vom Kern betrachten. Wie bekomme ich den nun x raus ? |
||||||||
| 26.07.2013, 13:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was dir das bringen sollte und warum du so scharf darauf bist. Aber wenn du meinst, das wäre einfacher und du kommst damit weiter: setze x = lambda_1 und z = lambda_2 und bestimme y. |
||||||||
| 26.07.2013, 13:59 | yoyooyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, ich denke man könnte die Basis auch vom Kern ablesen. Das Ergebnis A*x muss ja Null zur Kontrolle ergeben. Ich habe nun folgende Lösungsmenge für den Kern (x,y,z): ? -z -y x fehlt mir immer noch. Wieso soll ich x lamba 1 setzen, wobei wir y vorhin als lambda 1 definiert haben ? Wenn ich kein Rückschluss auf x ziehen kann wie z.b. bei 0x+y+z=0 dann kann ich auch das selbe mit der zweiten Zeile machen oder? Es folgt 0x+0y+0z=0 -> 0x+0*(-z)+0*(-y)=0 -> 0x=0 ->x=lambda3 und deshalb ist x auch freiwählbar ? Ich möchte mich nochmals aufdringlich für die Hilfsbereitschaft bedanken, den ich weiss gerade ,,happert" es etwas. 
|
||||||||
| 26.07.2013, 14:01 | yoyooyoyo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Kern lautet wie folgt: Ker(A):={x,y,z}{x,-z,-y} |
||||||||
| 26.07.2013, 14:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was heißt hier "wir haben das"? Du willst das in Unkenntnis der Gemengelage von frei wählbaren und nicht frei wählbaren Variablen machen. Also wir setzen x = lambda_1 und z = lambda_2 . Aus der ersten Gleichung: 0*x + 1*y +1*z = 0 erhalten wir: y = -z = - lambda_2 Die beiden anderen Gleichungen sind eh immer erfüllt. Damit ist der Kern gleich der Menge der Vektoren mit lambda_1 und lambda_2 aus dem Körper K. (Was du da als Kern hast, ist einfach nur Schrott.) |
||||||||
| 26.07.2013, 15:07 | yoyooyoyoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, kann es sein das mit der vorgegebenen Dimension 2 des Kerns unserer Abbildung bzw. hier Matrix folgende Vektoren eine Basis des Kerns sind: |
||||||||
| 26.07.2013, 15:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das wäre bei Anwendung dieses Verfahrens:
herausgekommen. 
|
||||||||
| 26.07.2013, 15:23 | yoyooyoyoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich habe das gerade gelöst indem ich einfach eine Lineare Hülle gebildet habe mithilfe dem Kern Lineare Hülle bilden. Die Skalare sind unsere Freiwählbaren Parameter. Dann einfach die Vektoren abgelesen. Das ist richtig und dasselbe oder? Kannst du nochmal bitte erklären wie du auf diesen Kern kommst? Wenn ich suksseziv von unten nach oben die Gleichungssysteme der Zeilenstufenform löse und nacheinander einsetze komm ich nur bekauf y=-z und z=-y. Ich komm nicht auf denselben Kern. |
||||||||
| 26.07.2013, 15:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also nochmal laut und deutlich: setze x=1 und z=0 in die 1. Gleichung ein. Bestimme nun das zugehörige y. Was bekommst du raus? |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
