Lineares Gleichungssystem

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EBSC Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem
Meine Frage:
Hi,
wäre nett, wenn mir jemand bei folgendem LGS behilflich sein könnte.
Gegeben is die Matrix
A =

Nun soll die Lösung A*x = 0 bestimmt werden. (x = )

Meine Ideen:
Ich habe die Matrix soweit Umgeformt:
A' =

Jetzt habe ich folgende Gleichungen:

x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 = 0
x4 + x5 + x6 = 0


Jetzt kann man doch x3, x4, x5, x6 beliebig wählen. (4 freie Variablen)

ist das soweit richtig? Wie macht man aber nun weiter?
Wenn ich die erste Gleichung nach x1 oder x2 auflöse, kann ich diese nirgends einsetzten?

Vielen Danke.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Paramtrisiere zunächst einmal und , dann stelle in Abhängigkeit dieser Parameter dar mit der zweiten Gleichung.

Dann kannst du noch und parametrisieren und dann in Abhängigkeit aller Parameter darstellen mit der ersten Glecihung.

Bei deiner Zeilenstufenform ist es nicht ratsam, zu parametrisieren.
yoyooyoyoyo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube wenn du die Matrix transponierst, wird dir einiges klarer.
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Okay, ich hab dann folgendes:

Parametrisierung:

x6 = a
x5 = b

Dann folgt: x4 = -a -b (Wegen 2ter Gleichung)


Parametrisierung:

x1 = c
x2 = d

Dann folgt: c + 2d + 3x3 - 3(a+b) + 4b + 5a

Also: 3x3 = -c -2(d+a) - b


Jetzt habe ich alle Unbekannten Parametrisiert, aber was nützt mir das?
Und vor allem woher weiß man welche Variablen man wählt? Z.b. hätte ich doch anstelle von x3 auch x1 parametrisieren können?
Danke.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da igrizu grad nicht da ist: Du hast nun deine Lösung.
Wenn Du die nach den Parametern ordnest, kannst Du sogar eine Basis des Lösungsraums ablesen.

Und ja: Anstelle von hättest Du auch nehmen können.
Die zweite Gleichung sagt Dir, dass Du von den letzten drei Variablen nur zwei wählen darfst. Da Du aber zur vollständigen Beschreibung aller Lösungen 6-2=4 Variablen wählen musst, bleiben von den ersten drei noch genau zwei wählbare.
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Oke, dass das nun meine Lösung ist, leuchtet mir nun auch ein.
(Es bedeutet ja einfach, dass man c, d, b, a beliebig wählen kann, oder?)

Es gilt dann also:

ker A =


Die Basis ist ja dann einfach:

{,,,}
wobei die Standardvektoren sind.

Wäre echt nett, wenn jemand nochmal drüber schauen könnte ob das soweit richtig ist, danke.


Um noch mal auf yoyooyoyoyo Antwort einzugehen:
Inwiefern sollte die Transponierte Matrix das Problem/die Aufgabe vereinfachen?

Nochmal großes Dankeschön an euch alle!
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da kein Lösungsvektor ist, kann das unmöglich eine Basis sein.
Du musst schon die einzelnen Parameter betrachten.
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

ooh...das war natürlich großer Unfug unglücklich , Tschuldigung.

Allerdings meine ich zu wissen, was nun die richtige Basis ist:
Und zwar:

B ={, , , }

So, ich hoffe, dass das nun endlich richtig ist..sonst macht mich das Gleichungssystem noch völlig fertig...


Kurze "Zwischenfrage" noch für den Fall, dass Obiges korrekt ist. Das ist ja ein Unterraum des R^6, wenn ich jetzt obige Basis zu einer Basis des R^6 ergänzen möchte, ist dies dann einfach mit den Standardvektoren e3 und e4 machen?

Auf der schnelle, hab ich nämlich folgendes "gedacht":

Angenommen e3 und e4 wären mit obiger Basis zusammen keine Basis des R^6, dann müsste man e3 bzw e4 durch B linear kombinieren können. Das heißt dann aber auch, dass e3 bzw e4 in der Linearen Hülle von B enthalten sind. Wenn dies der Fall wäre, müsste A*e3 bzw A*e4 Null sein, was allerdings nicht wahr ist. Also muss die Annahme Falsch sein und e3, e4 zusammen mit B bilden eine Basis des R^6.

Hoffentlich liege ich nicht schon wider falsch...


Danke für eure Bemühungen, speziell Helferlein's!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist auch nicht korrekt, sortiere, wie bereits geschrieben wurde, nach den Parametern.

Du kannst den vektorraum auch erst mal als Linearkombination darstellen:

EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Nein, das ist auch nicht korrekt [...]


Dann versuch ich das mal nachzuvollziehen.
Ich habe folgendes gemacht:
Meine falschen Basisvektoren habe ich in eine Matrix geschrieben und diese Umgeformt zu:


Das Problem, dass ich jetzt habe: Warum sind die vier Vektoren linear abhängig? Ich meine, dass die dritte und vierte Zeile Nullzeilen sind ist keine große überaschung, aber die restlichen vier Zeilen sind doch linear abhängig?



Zitat:
Original von lgrizu
Du kannst den vektorraum auch erst mal als Linearkombination darstellen:


Okay, das wäre dann:

x = + + +

hm...das soll jetzt meine Basis sein? Bzw die vier Vektoren nach den Skalaren a,b,c,d?


Irgendwie hat das bei mir ja nichts mehr mit Aufgabe Lösen zu tun unglücklich
Ich weiß jetzt auch nicht so recht, wie ich meine Lücken schließen kann. In meinen Aufzeichnungen steht relativ wenig dazu, deshalb bin ich selbst überrascht wie wenig ich eigentlich kann, da ich dachte diesen Teil verstanden zu haben.
Hat jemand vielleicht einen Tipp ob es ein Skript im Internet gibt, welches speziell solche Probleme behandelt? Ich werde mich auch mal auf die Suche begeben..

Danke schon mal.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein unglücklich

Grundlagen der Vektoraddition sollten bekannt sein....

Du hast doch richtigerweise:













Nun hast du



Jetzt durchsuchst du die Koordinaten nach den Skalaren, an der Koordinate taucht a wie oft auf? richtig, gar nicht, also ist der erste Eintrag von wohl die 0 usw...
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ein Trottel..

Nun:

y1 =

y2 =

y3 =

y3 =

Müssten die Gesuchten Vektoren sein.



Danke für deine Geduld!
KarlMax Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte da auch mal eine Frage. Wenn ich Gauß anwende komme ich auf



Wieso habe ich eine andere Stufenform? Kann mior jemand den Fehler nennen ...
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst von der dritten Zeile die zweite Zeile abziehen.
Also III - II

und dann von der ersten die zweite abziehen.
Also I - II
KarlMax Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man das machen? Wäre es ratsam? Es ist ja die Stufenform gefordert.. Würde mich brennend interessieren.

Ich denke aber es läuft auf dieselbe Lösungsmenge hinaus.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EBSC


y1 =

y2 =

y3 =

y3 =

Müssten die Gesuchten Vektoren sein.


So, nun ist es richtig.

Zitat:


Ich hätte da auch mal eine Frage. Wenn ich Gauß anwende komme ich auf



Wieso habe ich eine andere Stufenform? Kann mior jemand den Fehler nennen ...


Das ist keine vollständige Zeilenstufenform...

Zitat:



Muss man das machen? Wäre es ratsam? Es ist ja die Stufenform gefordert


Jap, wenn die Zeilenstufenform gefordert ist, muss man das machen
KarlMax Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal, war den nicht die Zeilenstufenform einfach nur eine Treppe oben links der Matrix nach unten rechts der Matrix? Immer mit ,,Abstand 1"?
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, machen musst du natürlich erstmal gar nichts, die Übungen sind freiwillig.

Nun, es ist natürlich klar, dass du bei deiner Matrix auch schon siehst wie viele Zeilen linear unabhängig sind. Deine Matrix hat aber meines Wissens keine Stufenform.
ALso wenn nach der Stufenform verlangt wäre, wäre es schon ratsam. Oder was meinst du?

Die Lösungsmenge ist auch die Selbe, da sich diese bei elemtaren Zeilen/Spaltenumformungen nicht ändert.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Treppe ja, aber der Abstand der Stufen muss nicht 1 sein, sondern, wie hier bei unserer Matrix, können die Stufen auch "länger" sein, wichtig sind halt die Stufen, wenn man es naiv sagen mächte, von Zeile 2 auf Zeile 3 existiert eine solche Stufe aber nicht....
KarlMax Auf diesen Beitrag antworten »

Oder kann es sein, dass außer dem Ziel der Stufenform außerdem gefordert wird, das in der letzten Teile alle Elemente der Matrix verschwinden bis auf das letzte Element ganz rechts? Ich bin jetzt wirklich verwirrt.
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wie du an "meiner" Matrix sehen kannst.
KarlMax Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gesagt das es das Ziel sein sollte. Selbstverständlich kann eine Nullzeile auftreten.
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

So Igrizu, wollte dir noch mal meinen Dank aussprechen für deine Geduld, im Nachhinein Betrachtet waren echt heftige "Böcke" dabei, vielen vielen Dank!!


Dennoch hätte ich noch ein Anliegen, vermute allerdings, das dass fast den Rahmen des Zumutbaren sprengt *Schäm*

Und zwar: Die Lösung hab ich soweit verstanden. Allerdings dachte ich auch nicht, dass mir eine solche Aufgabe so große Probleme bereitet, deshalb würde ich noch gerne eine zweite "Kontrollaufgabe" rechnen. Mein Problem ist nun: Ich finde immer nur Aufgaben ohne freie Variablen aber genau so eine Aufgabe bräuchte ich,
könntest du mir nun evtl. eine stellen?


Danke.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@ESBC: Denk Dir irgendeine x-beliebige Matrix aus, die mehr Spalten als Zeilen hat und löse dann Ax=0.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal ist das wirkölich unproduktiv, in einem bestehenden Thread irgendwelche Zwischenfrage zu stellen, eröffne das nächste Mal einen eigenen Thread oder warte, bis die Frage beantwortet bzw. die Aufgabe gelöst ist.

Zitat:
Original von KarlMax
Oder kann es sein, dass außer dem Ziel der Stufenform außerdem gefordert wird, das in der letzten Teile alle Elemente der Matrix verschwinden bis auf das letzte Element ganz rechts? Ich bin jetzt wirklich verwirrt.


Nein, Ziel ist es, eine "Treppe" zu bekommen, die kann von Fall zu Fall unterschiedlich ausschauen.
So ist zum Beispiel



oder




oder




eine Zeilenstufenform (ich habe erst mal nur Nullen und einsen als Einträge gewählt)

aber:




ist keine (auch wenn die letzten beiden zeilen nun linear unabhängig sind), denn das Element in Zeile 3, Spalte 4 kann noch eliminiert werden (und muss auch, wenn nach einer Zeilenstufenform gefragt ist).
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
@ESBC: Denk Dir irgendeine x-beliebige Matrix aus, die mehr Spalten als Zeilen hat und löse dann Ax=0.


Manchmal könnte ich mich selbst Ohrfeigenunglücklich

Nun, ich habe folgende Matrix "gewählt":



Diese habe ich umgeformt zu:


(Die Stufenform ist koreckt oder?)

Nun möchte ich A'*x = 0 lösen. (x =

x5 kann man direkt "ablesen" , also x5 = 0

Bleiben noch vier Unbekannte bei zwei Gleichungen, d.h. ich kann zwei unbekannte parametrisieren.
Genommen habe ich:
x3 = a
x4 = b

Dann folgt aus
2x2 + 5x3 + 3x4 = 0 <=> x2 =

und wegen
2x1 + 3x2 + 2x4 = 0 <=> x1 =


Mein Lösungsraum L ist also:

L =


Nun möchte ich eine Basis von L bestimmen, da dim L = 2 brauche ich zwei Vektoren, also:

L =


Soo, ich denke das müsste es gewesen sein.


Danke schon mal für eure Bemühungen!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EBSC


Nun, ich habe folgende Matrix "gewählt":



Diese habe ich umgeformt zu:


(Die Stufenform ist koreckt oder?)


Weri kommst du denn von A nach A' ?


Kannst du mal beschreiben, welche Umformungen du gemacht hast?
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann ich das beschreiben smile .. hätte ich besser gleich dazu schreiben sollen.

Nun, ich habe:

III - II : (Zeilen)



I - II: (Zeilen)



I - IV: (Spalten)


III - IV: (Spalten)


V - IV: (Spalten)


I - IV: (Spalten)


II - I: (Spalten)


III + IV: (Spalten)


I - III: (Zeilen)


II + 2IV: (Spalten)


IV + V: (Spalten)


I und III Tauschen: (Zeilen)


I + III: (Zeilen)


II + III: (Zeilen)


II - IV: (Spalten)


Und da habe ich schon einen Fehler entdeckt.. 2te Zeile, 2te Spalte gehört eine 1 und keine 2 wie gestern geschrieben, oder?


Danke
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du hast jetzt aber ein Problem:
Spaltenvertauschungen ändern die Namen von 2 Spalten etc...
Alle diese Vertauschungen ( Permutationen ) musst du protokollieren und am Ende auf die Zeilen in der Lösung anwenden oder den permutieren.
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
du hast jetzt aber ein Problem:
Spaltenvertauschungen ändern die Namen von 2 Spalten etc...
Alle diese Vertauschungen ( Permutationen ) musst du protokollieren und am Ende auf die Zeilen in der Lösung anwenden oder den permutieren.


geschockt Jetzt bin ich verwirrt?

Also du schreibst Spaltenvertauschung? Meinst du nicht etwa Zeilenvertauschung? Weil Spalten habe ich doch keine vertauscht?


Falls du Zeilenvertauschung meintest, warum "darf" man das nicht so ohne weiteres? Es ist doch eine elementare Zeilenumformung?


Falls du doch Spaltenvertauschung meintest, stehe ich vor einem noch größeren Problem. Ich dachte um die Stufenform zu bekommen, sind Spaltenumformungen genauso legitim wie Zeilenumformungen?


Danke dir schon mal Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EBSC
Natürlich kann ich das beschreiben smile .. hätte ich besser gleich dazu schreiben sollen.

Nun, ich habe:

I - II: (Zeilen)



I - IV: (Spalten)




also, dass ich Zeilenvertauschungen gemeint haben könnte ist wohl kaum möglich.
( Musst halt auch ein wenig bei den Daten des Schreibers schauen Augenzwinkern )

Ansonsten sehe ich gerade im Zitat oben, dass du nicht Spalten vertauscht hast, sondern mit denen gerechnet hast.
Das geht erst recht nicht. unglücklich

kann man "rechnen" ?
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Zitat:
Original von EBSC
Natürlich kann ich das beschreiben smile .. hätte ich besser gleich dazu schreiben sollen.

Nun, ich habe:

I - II: (Zeilen)



I - IV: (Spalten)




also, dass ich Zeilenvertauschungen gemeint haben könnte ist wohl kaum möglich.
( Musst halt auch ein wenig bei den Daten des Schreibers schauen Augenzwinkern )



Das versteh ich irgendwie nicht?
Ich habe nachgefragt, weil ich doch gar keine Spalten vertauscht habe?
Ich habe nur einmal die Erste und Dritte Zeile getauscht, aber das dürfte ja nichts falsches sein, nicht wahr?
Sry, dass ich nochmal nachhake, aber das wird mir irgendwie nicht so klar..?


Zitat:

Ansonsten sehe ich gerade im Zitat oben, dass du nicht Spalten vertauscht hast, sondern mit denen gerechnet hast.
Das geht erst recht nicht. unglücklich

kann man "rechnen" ?


So langsam wird mir bewusst, was ich für einen Blödsinn fabriziert habe.. unglücklich



Um bei einem Gleichungssystem (in Matrix) die Stufenform zu erreichen, darf man nur elementare Zeilenumformungen vornehmen

Handelt sich es sich allerdings bei der Matrix um eine lineare Abb. kann man elementare Zeilen und Spalten Umformungen machen. (Um z.B. den Rang zu bestimmen)

Ist das so richtig?



Danke, Danke smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EBSC

Um bei einem Gleichungssystem (in Matrix) die Stufenform zu erreichen, darf man nur elementare Zeilenumformungen vornehmen


Ja. Man darf und muss sogar manchmal Spalten vertauschen. Wenn du z.B. Spalte2 mit Spalte 4 vertauscht, dann lautet dein Lösungsvektor:



Zitat:

Handelt sich es sich allerdings bei der Matrix um eine lineare Abb. kann man elementare Zeilen und Spalten Umformungen machen. (Um z.B. den Rang zu bestimmen)


Du musst dir angewöhnen genaue Aussagen zu formulieren.
Obige Aussage stimmt nicht, der AussageTeil in der Klammer stimmt.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap

Zitat:

Handelt sich es sich allerdings bei der Matrix um eine lineare Abb. kann man elementare Zeilen und Spalten Umformungen machen. (Um z.B. den Rang zu bestimmen)


Du musst dir angewöhnen genaue Aussagen zu formulieren.
Obige Aussage stimmt nicht, der AussageTeil in der Klammer stimmt.


Nur noch ganz kurz:

Um den Rang zu bestimmen kann man Spaltenumformungen durchführen, da gilt Zeilenrang=Spaltenrang, des gilt aber nicht Zeilenraum=Spaltenraum, dazu hilft es, sich verschiedene Aussagen über die Dimension noch mal vor Augen zu halten.

Zu deiner Matrix:

Der erste Schritt kann hier lauten:

Zeile 1 minus 4 mal Zeile 2 und Zeile 1 minus 2 mal Zeile 3, wenn man das so angeht ist man auch nach zwei Schritten mit Gauss fertig....
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Zitat:
Original von EBSC

Um bei einem Gleichungssystem (in Matrix) die Stufenform zu erreichen, darf man nur elementare Zeilenumformungen vornehmen


Ja. Man darf und muss sogar manchmal Spalten vertauschen. Wenn du z.B. Spalte2 mit Spalte 4 vertauscht, dann lautet dein Lösungsvektor:




Das wird mir irgendwie nicht so ganz klar. Ich meine Spaltenumformungen sind doch etwas anderes als Zeilenumformungen.

Wenn man eine Zeilenumformung (speziell Zeilenvertauschung) vornimmt, zb:

A =

Zu: (Zeile I und Zeile III vertauscht)

A' =

dann brauche ich doch beim Lösungsvektor keine Komponenten vertauschen??


Mache ich allerdings bei A eine Spaltenvertauschung, zb

A zu A' indem Spalte II und Spalte III vertauscht werden, also

A' =

dann muss ich im Lösungsvektor ebenfalls die zweite und dritte Komponente vertauschen, oder?
(Hier gehe ich natürlich davon aus, dass A ein lineares Gleichungssystem beschreibt)
Ich hoffe, dass das nun endlich richtig ist..

Zitat:

Zitat:

Handelt sich es sich allerdings bei der Matrix um eine lineare Abb. kann man elementare Zeilen und Spalten Umformungen machen. (Um z.B. den Rang zu bestimmen)


Du musst dir angewöhnen genaue Aussagen zu formulieren.
Obige Aussage stimmt nicht, der AussageTeil in der Klammer stimmt.


Oke, ich versuche zu präzisieren:
Möchte ich den Rang einer Linearen Abbildung bestimmen, so darf ich bei der Zugehörigen Darstellungsmatrix sowohl elementare Zeilenumformungen als auch elementare Spaltenumformungen durchführen. Zu begründen ist dies durch die in Vorlesung bewiesene Aussage: Zeilenrang = Spaltenrang, d.h. der Rang ist wohldefiniert.
Oke soweit?

Um nun noch auf Igrizu's Bemerkung einzugehen. Zeilenraum != Spaltenraum (im Allgemeinen) ist mir natürlich bekannt. Allerdings müssen diese beiden Räume isomorph sein. Oder anders gesagt: Sie sind bis auf Isomorphie gleich.

Ist das nun soweit alles korrekt?



Möchte mich noch mal bei euch beiden für eure Hilfe bedanken Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

manchmal denke ich, dass Beiträge gar nicht gelesen werden.

Alles in obiger Post ist richtig, nur hatte ich das auch schon gesagt, oder wolltest du
es nur mit eigenen Worten beschreiben. Augenzwinkern

Und, wenn wir Zeilen-oder Spaltenvertauschung ansprechen, dann wissen wir schon Bescheid um was es geht!
EBSC Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
manchmal denke ich, dass Beiträge gar nicht gelesen werden.


Das tut mir sehr leid, wenn es den Anschein erweckt das ich deine Beiträge gar nicht lese, jedoch kann ich dir versichern, dass ich sehr wohl alles durchgelesen habe smile

Zitat:

Alles in obiger Post ist richtig, nur hatte ich das auch schon gesagt, oder wolltest du
es nur mit eigenen Worten beschreiben. Augenzwinkern

Das freut mich zu lesensmile

Nun, ich habe erstens alles noch einmal selbst aufschreiben um sicher zu gehen alles verstanden zu haben und zweitens, weil mich deine Formulierung etwas "verwirrt" hat. (Bitte nicht angegriffen fühlen :winksmile )


Zitat:

Und, wenn wir Zeilen-oder Spaltenvertauschung ansprechen, dann wissen wir schon Bescheid um was es geht!


Das habe ich auch nie in Abrede gestellt.

Es war für mich nur verwirrend, dass du auf meine Frage, ob man bei einem LGS zum erreichen der Stufenform nur nur Zeilenumformungen vornehmen darf mit "Ja" antwortest, im Anschluss aber direkt von Spaltenvertauschungen sprichst.
Ich hoffe du verstehst was ich meine Wink


So zum Schluss nochmals Danke, wart mir eine große Hilfe smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich fühle mich nie angegriffen , das ist der Vorteil meines Alters. Augenzwinkern
Es ist einfach sehr schwer für beide Seiten das jeweils Gesagte so zu konkretisieren, dass keine Zweifel möglich sind. Trotzdem schleichen sich immer wieder stillschweigende Annahmen ein.
Dagegen ist kaum ein Kraut gewachsen. Macht man es wasserdicht, dann schläft der Leser beim Lesen der 2 Seiten ein...

Deshalb ist wohl der konstruktive Dialog das einzig Sinnvolle.

Übrigens auch ein Problem in jeder Politikauseinandersetzung.

nur fehlt dort am Schluss der Konsens Wink
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