Umgangston! DGL mit Wurzel und Betrag

25.07.2013, 19:23

FuzzyLogicGuy

DGL mit Wurzel und Betrag

Hallo,

Ich sitz jetzt schon ewig hier vor und komme einfach nicht auf die richtige Lösung.
Ich habe folgendes AWP:

$\begin{eqnarray*} x^\prime = \sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ , x(0) = 0

Ich versuche das Ganze mit Trennung der Variablen zu lösen, weiß aber nicht genau wo ich da eine Fallunterscheidung machen muss. Kann mir hier jemand einen Tip geben? Dann probier ichs nochmal ob ichs hinbekomme.

Ich probiere folgendes:

1. $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = (-2)*\sqrt{x} + c_1 = t + c_2 \end{eqnarray*}$ für x > 0
2. $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = (-2)*\sqrt{-x} + c_1 = t + c_2 \end{eqnarray*}$ für x < 0
3. $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = c_1 = t + c_2 \end{eqnarray*}$ für x = 0

also hab ich

1. $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{4}(t + (c_2 - c_1))^2 \end{eqnarray*}$ für x > 0
2. $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}(t + (c_2 - c_1))^2 \end{eqnarray*}$ für x < 0
3. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für x = 0

Stimmt das so?

Cheers,
Brick

25.07.2013, 19:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von FuzzyLogicGuy
und komme einfach nicht auf die richtige Lösung.

Ich verrat schon mal soviel: Die Lösung ist nicht eindeutig, d.h. es gibt eine ganze Schar von Lösungsfunktionen - trotz gegebener Anfangsbedingung.

25.07.2013, 19:36

FuzzyLogicGuy

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Das hab ich auch grad vermutet ^^ Ich hab mal meinen post ge-edited und meinen ersten Versuch dort gepostet.

25.07.2013, 19:41

HAL 9000

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Irgendwie ist eine Lösungsangabe

$\begin{eqnarray*} x = x(t) = \ldots \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

nicht sehr üblich bzw. verständlich. Es sollte doch wohl eher

$\begin{eqnarray*} x = x(t) = \ldots \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t>\ldots \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t<\ldots \end{eqnarray*}$

lauten - meinst du nicht auch?

Im übrigen reicht es, wenn du pro Zeile mit einer einzigen Integrationskonstanten arbeitest - das mit den $\begin{eqnarray*} c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ ist überflüssig.

25.07.2013, 19:47

FuzzyLogicGuy

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Okay, dann mal so:

1. ... für $\begin{eqnarray*} t > (c_2 - c_1) \end{eqnarray*}$
2. ... für $\begin{eqnarray*} t < (c_2 - c_1) \end{eqnarray*}$
3. ... für $\begin{eqnarray*} t = (c_1 - c_2) \end{eqnarray*}$

edit: Achso...muss ich dann aber für jeden Fall mit einer anderen rechnen?

25.07.2013, 19:51

HAL 9000

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Immer noch chaotisch in der Darstellung: Sag doch bitte ganz konkret und exakt, wie jetzt die Lösung(en) von

Zitat:

Original von FuzzyLogicGuy
$\begin{eqnarray*} x^\prime = \sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ , x(0) = 0

aussehen.

EDIT: Also Ok, ich nenne mal eine der vielen auf ganz (!) $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gültigen Lösungen deiner DGL, vielleicht inspiriert dich das in der Frage, wie die Lösungszweige zu kombinieren sind:

$\begin{eqnarray*} x(t) = \begin{cases} \frac{(t-3)^2}{4} & \;\mbox{für}\; t\geq 3 \\ 0 & \;\mbox{für}\; -1<t<3 \\ -\frac{(t+1)^2}{4} & \;\mbox{für}\; t\leq -1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

26.07.2013, 00:35

FuzzyLogicGuy

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Okay, jetzt bin ich leider etwas verwirrt. Ich hab meine verschiedenen Fälle vorher in Abhängigkeit vom Vorzeigen von x hergeleitet, aber ich sehe irgendwie nicht wie die Lösung von dem Bereich in dem t liegt abhängen kann, geschweige denn ob mein erster Ansatz überhaupt richtig war. Hast du die Anfangsbedingung verwendet?

26.07.2013, 07:40

HAL 9000

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OK, angesichts deiner verständnislosen Nachfragen, und deiner nicht gerade erkennbaren Sorgfalt bei der Betrachtung hier mal eine ausführliche Darstellung der Fallstricke bei dieser DGL, die es zu beachten gilt:

Du musst mal wirklich deine Lösung Schritt für Schritt durchgehen und bei jedem Schritt schauen, ob das wirklich eine äquivalente Umformung ist. Das geht schon beim allerersten Schritt los, der Division durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ , denn die ist nur für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ statthaft:

$\begin{eqnarray*} \frac{x'}{\sqrt{|x|}} = 1 \end{eqnarray*}$

D.h., was du hier

Zitat:

Original von FuzzyLogicGuy
3. $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = c_1 = t + c_2 \end{eqnarray*}$ für x = 0

für den Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ geschrieben hast, ist purer Unsinn.

$\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ verzweigt sich weiter in $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ . Bleiben wir erstmal bei $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , was heißt das überhaupt: Es bedeutet, dass wir eine Lösung $\begin{eqnarray*} x=x(t) \end{eqnarray*}$ der DGL untersuchen lokal in der Umgebung einer Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ , für die wir zunächst $\begin{eqnarray*} x(t_0)>0 \end{eqnarray*}$ annehmen. Dabei hast du dich hier

Zitat:

Original von FuzzyLogicGuy
1. $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|x|}} dx = (-2)*\sqrt{x} + c_1 = t + c_2 \end{eqnarray*}$ für x > 0

leider auch noch vertan mit dem Vorzeichen, denn es ist da ( $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ lass ich sowieso mal weg, s.o.)

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|x|}} ~ \dd x = \int \frac{1}{\sqrt{x}} ~ \dd x = 2\sqrt{x} = t + c_2 \end{eqnarray*}$

Bevor jetzt vorschnell quadriert wird, erstmal über $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{x} = t + c_2 \end{eqnarray*}$ nachdenken: Links steht was Nichtnegatives, d.h., das ganze kann überhaupt nur für $\begin{eqnarray*} t+c_2\geq 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} t\geq -c_2 \end{eqnarray*}$ gültig sein, d.h. nach Quadrieren hat man

$\begin{eqnarray*} x(t) = \frac{(t + c_2)^2}{4} \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} t\geq -c_2 \end{eqnarray*}$

Schaut man sich den linken Randpunkt an, so stellt man $\begin{eqnarray*} x(-c_2) = 0 \end{eqnarray*}$ fest, und für diesen Punkt (sowie links davon) gelten damit die vorangegangenen Überlegungen (die ja x>0 als Voraussetzung hatten) gar nicht mehr!

Ähnlich dann für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ : Hier müsste man rechnen

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|x|}} ~ \dd x = \int \frac{1}{\sqrt{-x}} ~ \dd x = -2\sqrt{-x} = t + c_2' \end{eqnarray*}$

mit einer ggfs. anderen Konstanten $\begin{eqnarray*} c_2' \end{eqnarray*}$ als oben. Hier ist nun die linke Seite $\begin{eqnarray*} -2\sqrt{-x} \end{eqnarray*}$ immer nichtpositiv, d.h. das ganze ist allenfalls für $\begin{eqnarray*} t + c_2' \leq 0 \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} t\leq -c_2' \end{eqnarray*}$ gültig. Quadrieren und Umstellen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ergibt demnach

$\begin{eqnarray*} x(t) = -\frac{(t + c_2')^2}{4} \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} t\leq -c_2' \end{eqnarray*}$

Auch hier gilt: Die Fortsetzung dieses Lösungszweiges klappt nur bis zum rechten Randpunkt $\begin{eqnarray*} t=-c_2' \end{eqnarray*}$ für den wiederum $\begin{eqnarray*} x(-c_2')=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn wir aus sowas nun eine gemeinsame, d.h. auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gültige Lösung basteln wollen, dann müssen wir diese Zweige kombinieren. Offenbar kann das nur bei Wahl von $\begin{eqnarray*} -c_2' \leq -c_2 \end{eqnarray*}$ klappen (da ja andernfalls im Intervall $\begin{eqnarray*} -c_2< t < -c_2' \end{eqnarray*}$ für die Funktionswerte zugleich $\begin{eqnarray*} x(t)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(t)<0 \end{eqnarray*}$ gelten müsste, was unmöglich ist).

Bleibt noch zu klären, was im Zwischenbereich $\begin{eqnarray*} -c_2'<t<-c_2 \end{eqnarray*}$ mit der Lösungsfunktion los ist: Sofern es die da überhaupt gibt, kann sie nach den vorangegangenen Betrachtungen nur gleich Null sein. Die unvermeidliche Probe (d.h. Prüfung der Differenzierbarkeit, insbesondere an den Intervallübergangsstellen, sowie Gültigkeit bei Einsetzen in die DGL) bestätigt dann, dass das tatsächlich so klappt! Insgesamt stellt man also fest, dass jede auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gültige Lösung der DGL die Struktur (mit Umbezeichnung $\begin{eqnarray*} a=-c_2',b=-c_2 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} x(t) = \begin{cases} -\frac{(t-a)^2}{4} & \;\mbox{für}\; t\leq a \\ 0 & \;\mbox{für}\; a<t<b \\ \frac{(t-b)^2}{4} & \;\mbox{für}\; t\geq b \end{cases} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

hat, wobei $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ sein muss. Allerdings muss man auch noch die Fälle $\begin{eqnarray*} a=-\infty,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (der linke untere Parabelast fehlt ganz), $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R},b=\infty \end{eqnarray*}$ (der rechte obere Parabelast fehlt ganz) sowie $\begin{eqnarray*} a=-\infty,b=\infty \end{eqnarray*}$ (beide Parabeläste fehlen, was der Konstantlösung $\begin{eqnarray*} x(t)=0 \end{eqnarray*}$ entspricht) mit einbeziehen.

Schlussendlich noch zur Frage, wie der Anfangswert $\begin{eqnarray*} x(0)=0 \end{eqnarray*}$ hier eingeht: Einfach dadurch, dass wegen des Funktionswerts Null die Stelle $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ im mittleren Zweig liegen muss, d.h. als Lösung des AWP kommen in (*) nur die Parameterwerte $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ in Frage, für die $\begin{eqnarray*} a\leq 0\leq b \end{eqnarray*}$ gilt, d.h. also $\begin{eqnarray*} a\in [-\infty,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in [0,\infty] \end{eqnarray*}$ .

26.07.2013, 12:20

FuzzyLogicGuy

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Gut erklärt aber vor allem solche Aussagen wie "dumme Frage", auch wenn es so ist, (ja ich hab deinen ersten Post gesehen den du jetzt geändert hast) kannst du dir sparen, da verzichte ich lieber auf eine Antwort. ***

Edit Equester: Stark entschärft geschockt

26.07.2013, 13:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von FuzzyLogicGuy
***

Diese Reaktion passt hervorragend zu diesem kürzlich gelesenen Artikel

Umgangsformen von Schülern: Ihr könnt mir gar nichts

Bei dir scheint in der Erziehung auch einiges danebengegangen zu sein. Viel Spaß noch in deinem Leben mit diesem Stil.

Edit Equester: Zitat entfernt.

26.07.2013, 13:36

Equester

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@FuzzyLogicGuy:

Ich sehe nicht einmal einen Ansatz der einen solchen verbalen Angriff deinerseits gegenüber einem unserem fachlich bestversierten Helfern rechtfertigt unglücklich

.
Ganz abgesehen von der ohnehin überhaupt nicht zulässigen Wortwahl.

Ich denke eine Entschuldigung ist hier durchaus angebracht! Erst recht wenn man bedenkt wie viel Mühe/Zeit in die Beiträge gesteckt wurden, speziell auf jenen welchen du so allergisch reagierst. Dass die ein oder andere direkte Klarstellung/Verwunderung zum Ausdruck gebracht wird...als Student sollte man das Aufnehmen können und sich verbessern unglücklich

26.07.2013, 13:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Equester
Ich sehe nicht einmal einen Ansatz der einen solchen verbalen Angriff deinerseits

Das kann ich erklären: Ich hatte vorher noch (sinngemäß) hingeschrieben

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von FuzzyLogicGuy
Hast du die Anfangsbedingung verwendet?

Dumme Frage: Setzt doch mal t=0 in die von mir angegebene Lösung ein, dann siehst du doch, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Aber das hatte ich wie oben zu sehen spätestens 9:13 entfernt (prima Gedächtnis übrigens, noch mehr als 3 Stunden später darauf herumzureiten), zugunsten der obigen ausführlich begründeten Lösung. Die von FuzzyLogicGuy natürlich gern mitgenommen wurde, mit seiner speziellen Art Dankesworten, die jetzt leider von dir zensiert worden. Soll doch jeder sehen, welcher Kinderstube dieser Herr entstammt.

26.07.2013, 13:53

Equester

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Danke für die Offenheit, HAL.
Damit wäre zumindest die Sache mit dem Ansatz geklärt.
Das ist aber kein Grund für den Fragesteller so ausfallend zu werden und alles obige von mir verbleibt weiterhin bestehen!

27.07.2013, 13:53

FuzzyLogicGuy

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Für meine Wortwahl würde ich mich gerne entschuldigen, eigentlich weiß ich dass es nie eine gute Idee ist etwas zu schreiben und abzuschicken wenn man gereizt ist, ohne es sich nach einiger Zeit nochmal durchgelesen zu haben, hier habe ich leider etwas voreilig gehandelt. Ich push den Thread jetzt nur noch ungern deswegen hoch aber es ist mir doch wichtig, da es von mir nicht fair war SO zu reden.

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