Transformationsmatrizen

25.07.2013, 20:21	cocospalme	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrizen Hey, ich habe eine Aufgabe zu Basistransformation: Durch die Matrix $\begin{eqnarray} T:= \begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wird (bzgl. der Standardbasen) eine lineare Abbildung vom R³ in den R² beschrieben. Welche Darstellung hat sie bzgl. der Basen $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_1 = \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das kann man ja mit der Transformationsformel lösen: $\begin{eqnarray} T^{} = W^{-1}TV \end{eqnarray}$ Dafür muss man ja bloß die Inverse von W berechnen und alle Matrizen miteinander multiplizieren. In der Lösung steht noch ein anderer Lösungsansatz. Hier steht, dass man das Berechnen der Inverse umgehen kann, indem man W LR-zerlegt. Dann würde man wie in der Formel die Matrizen T und V mit einander multiplizieren und erhält: $\begin{eqnarray} TV = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt würde da stehen: $\begin{eqnarray} T^{} = W^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 7 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was man auch folgendermaßen schreiben kann: $\begin{eqnarray} T^{}= (W^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} , W^{-1} * \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix} , W^{-1} * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Jetzt zu meiner Frage:* Hier steht, dass so 3 lineare Gleichungssysteme entstanden sind. Mit der LR-Zerlegung von W kann man die Transformationsmatrix T^* einfach lösen. Wie meinen die das? Irgendwie verstehe ich diesen Teil nicht. Wie kann ich das jetzt mir der LR-Zerlegung und der letzten Gleichung lösen?
25.07.2013, 20:58	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrizen Willkommen im Board! ) Weißt du denn was eine LR-Zerlegung ist? Liebe Grüße
25.07.2013, 23:10	cocospalme	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrizen ich weiß nur, dass man eine Matriz (hier W) in eine linke obere Dreieckmatrix und in eine rechte untere Dreiecksmatrix zerlegen kann. Das macht man in dem man links die Einheitsmatrix hinschreibet und rechts die Matrix, die man zerlegen möchte. Dann muss man mit Gauß die Matrix "umformen", bis die Dreiecksmatrizen entstehen. Die LR-Zerlegung von W ist doch: $\begin{eqnarray} W = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ .
27.07.2013, 15:14	cocospalme	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrizen in wie fern ergibt sich jetzt ein lineares Gleichungssystem?

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