Markovketten Stationäre Verteilung: Anfangsverteilung berücksichtigen

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Hcds Auf diesen Beitrag antworten »
Markovketten Stationäre Verteilung: Anfangsverteilung berücksichtigen
Meine Frage:
Hallo!
Ich habe zu einem gegebenen Markovgraphen (siehe Anhang), der aperiodisch ist, die stationären Wahrscheinlichkeiten berechnet (siehe Ideen)!

Nun meine Frage: Wie berücksichtige ich die Anfangswahrscheinlichkeiten dieser Knoten = Zustände dabei?


Meine Ideen:
1. ?F + ?G + ?H + ?I = 1
2.1. ?F= PIF * ?I = ?I
2.2 ?G = PFG * ?F = ½ * ?F
2.3 ?H = PGH * ?G + PFH * ?F = ?G + ½ * ?F
2.4 ?I = PHI * ?H = ?H

Soweit so gut:
?F = 0,285714
?G = 0,142857
?H = 0,285714
?I = 0,285714
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die homogene Markovkette irreduzibel und aperiodisch - und das ist hier der Fall - dann gibt es nur genau eine stationäre Verteilung, die zudem von der Anfangsverteilung der Zustände unabhängig ist.
 
 
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ist die homogene Markovkette irreduzibel und aperiodisch - und das ist hier der Fall - dann gibt es nur genau eine stationäre Verteilung, die zudem von der Anfangsverteilung der Zustände unabhängig ist.


Danke für deine Antwort. Also nochmal zusammenfassend, damit ich weiß,d ass ich es richtig verstanden habe:
-In irreduziblen Teilketten, die nicht aperiodisch sind, gibt es keine stationäre Verteilung (und somit auch keine stationären Zustände)
-In irreduziblen Teilketten, die aperiodisch sind gibt es nur eine stationäre Verteilung (d.h. die, die ich gefunden habe). D.h. alle Zustände in dieser irreduziblen Teilkette sind stationär. Diese stationäre Verteilung ist immer unabhänig von der Anfangsverteilung. D.h. wenn ich nun eine Anfangsverteilung festlegen würde, würden sich die stationären Zustandsverteilungen nicht ändern.

Das merkwürdige ist nur, dass ich hier in Aufgabe 1d:
http://www-bvs.informatik.uni-oldenburg.de/PDF/mkl2013.pdf
Angeben muss, welche stationären Zustandsverteilungen sich ergeben, wenn man eine Anfangsverteilung festlegt. D.h.wäre die Antwort hier, dass es dieselben sind?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hcds
-In irreduziblen Teilketten, die nicht aperiodisch sind, gibt es keine stationäre Verteilung (und somit auch keine stationären Zustände)

Das stimmt so nicht - es ist in dem Fall nur so, dass nicht für jede Anfangsverteilung die Zustandsverteilung gegen eine stationäre Verteilung konvergiert.

Einfachstes Beispiel: Übergangsmatrix

[l]A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}[/l]

ist irredzuibel und periodisch (Periode 2). Wählt man die Anfangsverteilung [l]p_0 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\[1ex] \frac{1}{2} \end{pmatrix}[/l], so ist auch die Zustandsverteilung [l]p_n = p_0[/l] zu jedem Zeitpunkt [l]n[/l], und das ist dann natürlich auch die Grenzverteilung. Für jede andere Anfangsverteilung ergibt sich allerdings keine Konvergenz der Zustandsverteilungen.

P.S.: Vielleicht verwechselst du auch die beiden Begriffe "stationäre Verteilung" und "Grenzverteilung"? Lies nochmal genau die Definitionen.
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Schön wäre, wenn ich noch ein Beispiel dazu hätte, wie die Anfangsverteilung Einfluss darauf hat, welche stationären Zustandsverteilungen sich ergeben.
Gibt es irgendeine Festlegung darüber, ab weann man eine stationäre Zustandsverteilung hat?

Den Begriff "Grenzverteilung" habe ich im Rahmen unserer Veranstaltung noch nie gehört.
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Noch gezielter gefragt:

1) Wenn ich eine Anfangsverteilung habe, d.h. Wahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt 0 für alle Zustände in einer Markovkette/einem Markovgraph.
Wie kann ich dann überprüfen, in welchen Bereichen dieser Kette sich eine stationäre Verteilung (d.h. stationäre) Zustände auftreten?

2) Sind die stationären Zustandswahrscheinlichkeiten immer unabhängig von den Anfangswahrscheinlichkeiten?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Grenzverteilung" ist auch nicht unbedingt ein offizieller Begriff. Ich meine damit (im Fall der Existenz) den Grenzwert der Zustandsverteilung [l]p_n[/l] für Zeithorizont [l]n\to\infty[/l].

Ansonsten bin ich etwas ermüdet, wenn jede Antwort mehrere neuer Fragen erzeugt, die du auch mit etwas Recherche selbst beantworten könntest.
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ansonsten bin ich etwas ermüdet, wenn jede Antwort mehrere neuer Fragen erzeugt, die du auch mit etwas Recherche selbst beantworten könntest.


Ehrlich gesagt finde ich es schlimm genug, dass ich das überhaupt recherchieren muss - weil es einfach nicht behandelt wurde (und es eh nur ein kleines Untergebiet in der Graphentheorie ist), aber dennoch gefragt wird und das Nicht-Mathematikern die von dem Thema noch nichts gehört haben. Für die bisherigen Antworten bin ich dir dankbar, aber die wichtigsten Fragen sind eben noch offen, & das sind die, die ich über diesem Beitrag gepostet hab.

Übrigens ist Recherche genau das was ich die ganze Zeit mache - mich aber nicht zum Erfolg führt.
Folgendes soll gelten:

[attach]31068[/attach]
Aber hier werden doch keinerlei Anfangswahrscheinlichkeiten berücksichtigt?
Kein Wunder, dass sich nun Nachfragen ergeben.

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen. Noch besser: Latex benutzen und Formel direkt im Beitrag aufschreiben.
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir jetzt anderweitig helfen müssen.

Schade, dieses Board ist nicht weiterzuempfehlen.
Da versuche ich einmal etwas nicht selbst herauszubekommen, merke aber, dass man hier keine große Hilfe erwarten kann (abgesehen von bescheuerten Kommentaren).
Obwohl ich meine Ideen und Ansätze präsentiere.

Danach kommt wohl nur noch die Lösung aber wenn man die hätte, müsste man die Fragen gar nicht erst stellen. Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hcds
Da versuche ich einmal etwas nicht selbst herauszubekommen, merke aber, dass man hier keine große Hilfe erwarten kann

Das ist zutiefst unfair, und das weißt du:

Ich stecke z.B. auch nicht so tief in der Materie drin, es ist Jahrzehnte her. D.h., ich hätte mich genauso erst wieder tiefer einlesen müssen. Also warum sollst du das nicht auch gleich selbst tun - was du ja nun auch erfreulicherweise getan hast. Erwartest du etwa, dass dieses Board dazu da ist, dir diese Arbeit abzunehmen und alles haarklein aufbereitet noch mal für dich darzubieten? Da bist du tatsächlich fehl am Platze, und nach diesem deinen Kommentar ist es wohl sowieso besser, wenn du verschwindest.
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Hcds
Da versuche ich einmal etwas nicht selbst herauszubekommen, merke aber, dass man hier keine große Hilfe erwarten kann

Das ist zutiefst unfair, und das weißt du:

Ich stecke z.B. auch nicht so tief in der Materie drin, es ist Jahrzehnte her. D.h., ich hätte mich genauso erst wieder tiefer einlesen müssen. Also warum sollst du das nicht auch gleich selbst tun - was du ja nun auch erfreulicherweise getan hast. Erwartest du etwa, dass dieses Board dazu da ist, dir dieser Arbeit abzunehmen und alles haarklein aufbereitet noch mal für dich dazubieten? Da bist du tatsächlich fehl am Platze, und nach diesem deinen Kommentar ist es wohl sowieso besser, wenn du verschwindest.


Was ich mir erwartet habe, ist das folgende:
Es wird auf meine Fragen eingegangen und sich nicht aufgeregt, wenn sich neue Fragen ergeben. Seid wann muss man "Angst" davor haben, Fragen zu stellen? Mir wurde seit der Grundschule beigebracht, dass es gar keine dummen Fragen gibt. Du scheinst das Gegenteil zu verbreiten und statt auf meine Fragen einzugehen wird gesagt, "du hast das Internet, find es selbst heraus".
Einen Tipp gebe ich nicht, das einzige was ich dir gebe ist ein Satz mit Grenzverteilung der keine offizielel Definition ist und mich nur weiter verwirtt.

Wie gesagt, wenn ich es selbst durch so wie du es rüberbringst "eifnache Recherche" herausbekommen hätte, die mich nicht den WIRKLICH ganzen Tag und heute ganzen Morgen gekostet hätte, hätte ich erst gar nicht versucht, mir dabei helfen zu lassen.

Ich erwarte/ oder erhoffte mir von diesem Board, dass mir in irgendeiner Form wie auch immer weitergeholfen wird, z.B. durch die Angabe einer zuverlässigen Quelle bei dir sich meine Fragen beantworten lassen. Meine Recherchen führte mich nie zu Anfangsverteilungen in Verbindung mit stationären Verteilungen, da konnte ich 20 Google Seiten durchblättern. Schlau zu sagen hast Google, mach mal war einfach nicht hilfreich.

Übrigens werde ich nicht verschwinden nur weil ich nun mit DIR schlechte Erfahrungen gemacht habe. So schnell eine Seite abzuschreiben wäre nicht sehr schlau. smile Auch wenn du das scheinbar gerne hättest und mich nun loswerden willst. Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hcds
Übrigens werde ich nicht verschwinden nur weil ich nun mit DIR schlechte Erfahrungen gemacht habe. So schnell eine Seite abzuschreiben wäre nicht sehr schlau. smile

So ist es, es könnte ja noch ein Markovketten-Experte auftauchen, der alles sofort selbst parat hat (es ist ja gerade Wochenende). Aber DU warst es ja, der so ungeduldig war und gleich

Zitat:
Original von Hcds
Schade, dieses Board ist nicht weiterzuempfehlen. [...] dass man hier keine große Hilfe erwarten kann (abgesehen von bescheuerten Kommentaren).

rumgemotzt hat.

Und übrigens bin ich auf deine Eröffnungsfrage eingegangen, wa du in der Undankbarkeit natürlich inzwischen vollkommen vergessen hast. Dass ich dann bei den immer ausufernderen Folgefragen, die dann fast auf eine Darbietung der gesamten Markovketten-Theorie hinauslief, die Waffen gestreckt habe, hättest du auch einfach mal akzeptieren könne. Stattdessen blödsinniges Rumgemaule, so als ob ich verpflichtet wäre, hier jetzt deinen Recherchesklaven zu spielen - so nicht. unglücklich
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Hcds
Übrigens werde ich nicht verschwinden nur weil ich nun mit DIR schlechte Erfahrungen gemacht habe. So schnell eine Seite abzuschreiben wäre nicht sehr schlau. smile

So ist es, es könnte ja noch ein Markovketten-Experte auftauchen, der alles sofort selbst parat hat (es ist ja gerade Wochenende). Aber DU warst es ja, der so ungeduldig war und gleich


Das hatte ich auch gehofft, bei so vielen Nutzern hier.
Übrigens war ich etwas in Zeitnot, was zugegeben nun meine Schuld war. smile
Nützlich wäre gewesen, wenn es eben wie gesagt jemanden gegeben hätte der eine nützliche Quelle parat hätte oder eben selbst das Wissen.

Wie auch immer - lass uns das nun begraben. Ich sehe ein, dass du mir anfangs helfen wolltest aber nicht in dem Thema eingearbeitet bist - insofern verständlich, dass du das nicht für mich machst oder eine Recherche durchführst. Das konnte ich aber schlecht wissen, bis du mir das nun eben mitgeteilt hast. Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, begraben wir es. Ich wollte nur noch sagen, dass ich gerade jenen Satz mit der "Ermüdung" als Einladung an jene Experten verstanden wissen wollte, sich hier zu engagieren: Es gibt hier nämlich Helfer im Board, die m.E. unnötige Zurückhaltung üben, um vermeintlich anderen Helfern nicht ins Handwerk zu pfuschen. Augenzwinkern
Bartolomeo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ist die homogene Markovkette irreduzibel und aperiodisch - und das ist hier der Fall - dann gibt es nur genau eine stationäre Verteilung, die zudem von der Anfangsverteilung der Zustände unabhängig ist.


Eine kleine Ergänzung: Es sollte noch erwähnt werden, dass der Zustandsraum endlich ist. Der Konvergenzsatz greift nur dann, wenn die HMK auch positiv rekurrent ist. Das ist aber bei irreduziblen HMK mit endlichem Zustandsraum immer der Fall.
Bartolomeo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der Ausschnitt des Graphen von Aufgabe 1.b) der verlinkten Seite? Falls ja, dann stimmt dein Teilgraph nicht. Es ist dann z.B. die Wahrscheinlichkeit von H nach G zu gelangen gleich 1 und nicht andersrum.
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bartolomeo
Ist der Ausschnitt des Graphen von Aufgabe 1.b) der verlinkten Seite? Falls ja, dann stimmt dein Teilgraph nicht. Es ist dann z.B. die Wahrscheinlichkeit von H nach G zu gelangen gleich 1 und nicht andersrum.


Nein der gehört nicht zur Aufgabe. Das Beispiel hatte ich mir selbst ausgedacht, weil es a-periodisch und irreduzibel ist.
Aber die Aufgabe ist gewissermaßen nun die Problemstellung. Ich habe in dem Graphen 4 starke Zusammenhangskomponenten identifiziert:
Sc1: ABCD
Sc2: IJLMK
Sc3: GH
Sc4: EF

Davon sind Sc3 und Sc4 irreduzibel (sie enthalten rekurrente Zustände).

Man darf die Anfangsverteilung ja frei wählen.
Ist die Lösung der Aufgabe nun zu sagen, dass bei Anfangswahrscheinlichkeiten von 0,5 für E und 0,5 für F und 0 für die restlichen Knoten des Graphens sich ein stationäres Gleichgewicht einstellt, obwohl die Teilkette Sc4 periodisch ist?
In den anderen Komponenten würde sich dann kein stationäres Gleichgewicht einstellen, da sie nie erreicht werden können?
Ich bin mir hier leider nicht sicher.
Oder könnte ich sagen, dass der Zustand G eine Anfangswahrscheinlichkeit von 1 bekommt und sich dann eine stationäre Zustandsverteilung in der Teilkette Sc3 ergibt?

Ich bin jetzt davon ausgegangen das beides möglich ist und hoffe richtig zu liegen mit der Annahme.
Bartolomeo Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir hießen deine starken Zusammenhangskomponenten Kommunikationsklassen (Ich kenne die Graphentheorie nicht).
Die Zustände in Sc1 und Sc2 sind transient, in Sc3 und Sc4 rekurrent. Das begründet sich allerdings daraus, dass Sc3 und Sc4 abgeschlossen und endlich sind und Sc1 und Sc2 nicht abgeschlossen sind.
Stationäre Zustände kenne ich nicht, nur stationäre Verteilungen.
Betrachtet man die Kommunikationsklassen nur für sich, d.h. die Anfangsverteilung enthält nur für solche Zustände positive Wahrscheinlichkeit, die die Kommunikationsklasse bilden, kann sich nur in Sc3 eine eindeutige, stationäre Verteilung ergeben, denn diese Teilkette ist aperiodisch, positiv rekkurrent und irreduzibel. Auf Sc4 ist HAL 9000 schon eingegangen.
Sc1 und Sc2 besitzen meiner Meinung nach keine stationären Verteilungen.
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bartolomeo
Bei mir hießen deine starken Zusammenhangskomponenten Kommunikationsklassen (Ich kenne die Graphentheorie nicht).
Die Zustände in Sc1 und Sc2 sind transient, in Sc3 und Sc4 rekurrent. Das begründet sich allerdings daraus, dass Sc3 und Sc4 abgeschlossen und endlich sind und Sc1 und Sc2 nicht abgeschlossen sind.
Stationäre Zustände kenne ich nicht, nur stationäre Verteilungen.
Betrachtet man die Kommunikationsklassen nur für sich, d.h. die Anfangsverteilung enthält nur für solche Zustände positive Wahrscheinlichkeit, die die Kommunikationsklasse bilden, kann sich nur in Sc3 eine eindeutige, stationäre Verteilung ergeben, denn diese Teilkette ist aperiodisch, positiv rekkurrent und irreduzibel. Auf Sc4 ist HAL 9000 schon eingegangen.
Sc1 und Sc2 besitzen meiner Meinung nach keine stationären Verteilungen.


Vielen Dank. smile
Heißt im großen und ganzen hatte ich es ja eiegnetlich so rausbekommen. - Auch wenn ich mir natürlich nicht sicher war.
Bartolomeo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber ohne Gewähr zu lesenAugenzwinkern
Hcds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bartolomeo
Das ist aber ohne Gewähr zu lesenAugenzwinkern


Alles klar - Nein. Ich werde dich nicht verklagen, wenn es nun doch nicht stimmt! Big Laugh
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