Potentielle Eigenwerte sehen

29.07.2013, 00:18

Someguy

Potentielle Eigenwerte sehen

Meine Frage:
Hallo,

mir ist beim Ausrechnen einiger Eigenwerte etwas aufgefallen und ich würde gerne wissen, ob da etwas dahinter steckt.

Und zwar wenn ich eine Matrix gegeben habe wie bspw. folgende:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun hiervon das char. Polynom ausrechnen will, stelle ich ja $\begin{eqnarray*} (X-E_nA) \end{eqnarray*}$ auf:

$\begin{eqnarray*} X_A = \begin{pmatrix} x & 1 & -2\\ 0 & x+1 & -3 \\ -1 & 1 & x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das entsprechende char. Polynom lautet $\begin{eqnarray*} x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ . Nun würde ich die Eigenwerte davon berechnen. Und hier kommt meine Überlegung. Dadurch, dass das hier ein Polynom 3. Grades ist, muss ich eine Nullstelle erraten.

Meine Ideen:
Man weiß ja, dass bei normierten Polynomen mit ganzzahlingen Koeffizienten jede rationale Nullstelle ganzzahlig und damit ein Teiler von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ (der konstante Faktor) ist. Und da hier $\begin{eqnarray*} a_0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist, können die Nullstellen nur -1 oder 1 sein.
Nun habe ich auf der Diagonalen unter anderem $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ , was ja auch die Linearfaktor Schreibweise für die Nullstelle -1 wäre und -1 ist schließlich ein Teiler vom konstanten Faktor 1. Also habe ich mal versucht als erstes -1 zu testen und tatsächlich ist es ein Eigenwert.
Das gleiche habe ich auch bei 2-3 anderen Matrizen probiert, wo ich die ersten EW/Nullstellen raten musste und es ging auch dort.

Nun ist meine Frage, ob das tatsächlich so ist, dass die Nullstellen/EW auf der Diagonalen stehen, oder ob diese zumindest eine Hilfe sein können, welche Werte man versuchen sollte in das Polynom zu "werfen"?

29.07.2013, 03:17

Nougat

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RE: Potentielle Eigenwerte sehen
Hallo Someguy,

Ich glaube nicht, dass man so etwas bei jeder Matrix anwenden kann. Als Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hat als Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 =6, \ \lambda_2 =\sqrt2,\ \lambda_3=- \sqrt2. \end{eqnarray*}$

Aber wenn du eine "recht einfache" Matrix $\begin{eqnarray*} X_A \end{eqnarray*}$ hast, also eine Matrix, die in wenigen Schritten auf obere oder untere Dreiecksgestalt gebracht werden kann, dann hast du die Faktoren des charakteristischen Polynoms schon in der Diagonalen der umgeformten Matrix stehen. Denk nur daran, dass sich die Determinante einer Matrix verändern kann, wenn du bestimmte Zeilenoperationen machst (z.B beim Multiplizieren einer Spalte mit einem Faktor).

Ich hoffe, das konnte dir helfen,

Liebe Grüße,
Nougat

29.07.2013, 03:28

Someguy

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Ja ich habe auch an einigen weiteren Matrizen gesehen, dass das nicht immer hinhaut, dass ein Eigenwert auf der Diagonale sichtbar ist.

Aber stimmt denn zumindest die Aussage, dass wenn man sowieso alle Teiler vom konstanten Faktor des Polynoms testen sollte, dann doch mit einem anfangen kann, der auf der Diagonalen steht und auch ein Teiler ist?
Also wenn man jetzt normalerweise bspw. angefangen von -2 bis 2 testen würde weil a_0 = 2 ist, ob man dann statt mit -2 anzufangen mit 1 anfängt, weil (x-1) auf der Diagonalen steht.

29.07.2013, 21:12

Nougat

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Zitat:

Aber stimmt denn zumindest die Aussage, dass wenn man sowieso alle Teiler vom konstanten Faktor des Polynoms testen sollte, dann doch mit einem anfangen kann, der auf der Diagonalen steht und auch ein Teiler ist?
Also wenn man jetzt normalerweise bspw. angefangen von -2 bis 2 testen würde weil a_0 = 2 ist, ob man dann statt mit -2 anzufangen mit 1 anfängt, weil (x-1) auf der Diagonalen steht.

Dazu kann ich leider nichts sagen, weil ich noch nie davon gehört habe. Intuitiv würde ich behaupten, dass es einem außer in Ausnahmefällen nicht viel bringt, diese Stellen zuerst auszuprobieren.
In dem Gegenbeispiel oben ist das charakteristische Polynom:

$\begin{eqnarray*} \chi_A = -x^3+6 x^2+2 x-12 \end{eqnarray*}$

Nach deiner Aussage testest du alle Teiler von 12, d.h. 1,2,3,4,6,12, wenn du nun zuerst 1,2,3 testest, weil die auf der Diagonalen stehen, bringt dir das rein gar nichts, weil es keine Nullstellen sind.
Nullstellen sind $\begin{eqnarray*} 6, \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

LG,
Nougat

29.07.2013, 21:17

Someguy

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Schade, ich dachte ich hatte eine Methode gefunden solche Aufgaben etwas zu erleichtern.

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