Basentransformationsmatrix

29.07.2013, 16:32	Maik1988	Auf diesen Beitrag antworten »
Basentransformationsmatrix Meine Frage: Hallo ich möchte Punktwolke in eine neue Basis umrechnen, sprich das ich die Koordinaten der Punkte (Vektoren) zur neuen Basis habe. Ich habe den Vektor zu einigen Punkten von der neuen und von der alten Basis aus. Meine Ideen: Meien Idee ist das ich zum bestimmen der Basistranformationsmatrix, die Punkte nehme, von denen ich Korrdinaten von beiden Basen aus habe. Dazu die erste Frage, wieviele Punkte im 3 dimensonalen Raum benötige ich um eine eindeutige Transformationsmatrix zu erhalten. Ich hätte jetzt an 3 Punkte gedacht? Desweiteren weis ich nicht wie ich jetzt aus den Vektoren die ich zu den Punkten habem, also zu jedem Punkt zwei Vektoren, weil Einmal von Basis A aus und einmal von Basis B aus, die Basistranformationsmatrix bestimmen kann. Sodass ich mit dieser später alle Punkte der Punktwolke verrechnen kann um sie in Relation zur Basis B zu bekommen.
03.08.2013, 10:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Vektor $\begin{eqnarray} v\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ habe bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} B=(b_1,b_2,b_3) \end{eqnarray}$ die Koordinaten $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} v=x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3 \end{eqnarray}$ und bezüglich der neuen Basis $\begin{eqnarray} B'=(b'_1,b'_2,b'_3) \end{eqnarray}$ die Koordinaten $\begin{eqnarray} x'_1,x'_2,x'_3 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} v=x'_1b'_1+x'_2b'_2+x'_3b'_3 \end{eqnarray}$ . Stellt man die Vektoren $\begin{eqnarray} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray}$ der Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Basis $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ dar, so erhält man $\begin{eqnarray} v=x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3=x_1(a_{11}b'_1+a_{21}b'_2+a_{31}b'_3)+x_2(a_{12}b'_1+a_{22}b'_2+a_{32}b'_3)+x_3(a_{13}b'_1+a_{23}b'_2+a_{33}b'_3)=<br /> =(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3)b'_1+(a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3)b'_2+(a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3)b'_3 \end{eqnarray}$ Durch Koeffizientenvergleich erhält man $\begin{eqnarray} x'_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, x'_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3, x'_3=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 \end{eqnarray}$ oder in Matrixschreibweise $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das habe ich alles nur bei Wikipedia "abgeschrieben" http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum) , nachdem ich in Google nach "basistransformationsmatrix" gesucht habe. Das hättest Du auch gekonnt.

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