ziehen mit zurücklegen, wie lange ziehen bis schwarze Kugel kommt?

30.07.2013, 10:39

Gabi24

ziehen mit zurücklegen, wie lange ziehen bis schwarze Kugel kommt?

Urne mit p weißen und m schwarzen Kugeln. Es wird mit zurücklegen so lange gezogen, bis die erste schwarze Kugel kommt.
Frage ist, wie lange wird "im Durchschnitt" statistisch gesehen gezogen?

Mein Ansatz ist:
Wahrscheinlichkeit für weiß: p/ (p+m)
Wahrscheinlichkeit für schwarz: m/ (p+m)

Lösung: = E(von i=0 bis unendlich) i * p(i)

p(i) =( p/ (p+m)) ^i

Wie löse ich aber das Unendlichzeichen auf?

Grüße

Gabi

30.07.2013, 10:46

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} iq^i = \frac{q}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Dein p(i) ist falsch: Wenn du es im i-ten Versuch schaffst, hast du vorher genau i-1 Misserfolge und dann im i-ten Versuch aber Erfolg. Du hast so gerechnet, als gäbe es auch im i-ten Versuch einen Misserfolg. unglücklich

Genaueres siehe Geometrische Verteilung.

30.07.2013, 11:13

Gabi24

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Vielen Dank für die Hilfe.

Also wäre dann die Formel richtig, oder?

$\begin{eqnarray*} F(n)=\operatorname{P}(X \le n) = p\sum_{i=1}^n q^{i-1} = p\sum_{i=0}^{n-1}q^i = p\frac{q^n-1}{q-1} = 1-q^n = 1-(1-p)^n \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße

Gabi

30.07.2013, 13:18

Kasen75

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@Gabi24

Das ist leider die falsche Formel. Schau mal auf der verlinkten Seite etwas weiter unten nach. Und versuche nachzuvollziehen, warum dies dann mit der gestellten Frage zusammenpasst.
Das sieht mir sehr danach aus, dass du mehr oder weniger das Erstbeste genommen hast, was du finden konntest.

Alles Weitere von HAL 9000.

30.07.2013, 14:15

Gabi24

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Zitat:

Original von Kasen75
@Gabi24

Das ist leider die falsche Formel. Schau mal auf der verlinkten Seite etwas weiter unten nach. Und versuche nachzuvollziehen, warum dies dann mit der gestellten Frage zusammenpasst.
Das sieht mir sehr danach aus, dass du mehr oder weniger das Erstbeste genommen hast, was du finden konntest.

Alles Weitere von HAL 9000.

Ich Habe mir schon die ganze Seite durchgelesen. Bei der Beschreibung der Formel steht:

(Dass) sie die Wahrscheinlichkeit besitzt, dass man genau n Versuche benötigt, um zum ersten Erfolg zu kommen

Das ist ja das was ich suche.

Davon den Erwartungswert mit 1/p herleiten

Bitte verbessert mich, wenn ich flasch liege

Grüße

30.07.2013, 14:23

Kasen75

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Zitat:

Original von Gabi24

Davon den Erwartungswert mit 1/p herleiten

Das genau meinte ich. War wohl ein Missverständnis.
Wink

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