Frage zum Beweis von unendlichen Primzahlen |
| 30.07.2013, 22:28 | Informatiker90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Frage zum Beweis von unendlichen Primzahlen Hallo! Ich bin gerade dabei für die Mathe Klausur zu lernen und bin beim Lesen des Buches auf folgenden Beweis von Euklid gestoßen (Ich hab das mal einfach kopiert was im Buch steht): Wir beweisen ein berühmtes Ergebnis, das von Euklid stammt. Es handelt sich um die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen, also Zahlen, die nur durch eins und sich selbst teilbar sind." Den Beweis führen wir mittels Widerspruch. Man nimmt an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Dann muss es eine größte geben, die wir mit p bezeichnen wollen. Nun bildet man das Produkt aller Primzahlen von zwei bis p und addiert eins: r = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · . . . · p + 1 Diese neue Zahl r ist durch keine der Primzahlen von zwei bis p teilbar, bei der Division bleibt immer ein Rest von eins. Es gibt also nur zwei Möglichkeiten: Entweder es gibt eine Primzahl, die größer ist als p und durch die r teilbar ist, oder r ist selbst eine Primzahl. In beiden Fällen erhalten wir einen Widerspruch zur Annahme, dass p die größte Primzahl ist. Formal wurden in diesem Beweis die beiden Aussagen A: p ist eine Primzahl B: Es gibt eine Primzahl p' mit p' > p betrachtet und die Implikation A => B durch einen Widerspruch gezeigt. Meine Ideen: Den Widerspruchsbeweis habe ich ja verstanden. Man nimmt einfach an, dass es eine größte Primzahl gibt und zu jeder angenommenen größten Primzahl finden man eine Zahl r die sich durch keine dieser Primzahlen bis p Teilen lassen. Also muss r ja eine Primzahl sein, die größer ist als p. Mich stört jedoch die Implikation. Die Implikation sagt ja, dass WENN p eine Primzahl ist, dass es auch dann eine Primzahl p' geben muss, die größer ist als diese. Also wenn Aussage A richtig ist, MUSS ja Aussage B richtig sein. Aber was wäre denn für den Fall wenn p keine Primzahl ist, also die Aussage A wäre falsch und Aussage B auch. Nach der Implikation wäre doch also A => B auch dann richtig, wenn beide Aussagen falsch sind. Dann kann es doch aber nicht sein, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, wenn die Implikation wahr ist? Ich weiß nicht wo mein Gedankenfehler ist. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :-) |
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| 30.07.2013, 22:38 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Frage zum Beweis von unendlichen Primzahlen Hallo, willkommen im Matheboard! 
Da steht ja eigentlich schon die Antwort. p ist "per Definition" eine Primzahl.
Dieser Fall kann also gar nicht eintreten. |
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| 10.08.2013, 18:19 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man nur weiß, dass es endlich viele Primzahlen gibt, heißt das noch nicht, dass es auch eine größte gibt, es könnte ja auch keine einzige und damit auch keine größte geben 
Man muss also erstmal die Existenz einer Primzahl nachweisen. Noch eine Frage zur Überschrift (Frage zum Beweis von unendlichen Primzahlen): Was ist eine unendliche Primzahl? |
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| 11.08.2013, 17:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2 ist eine Primzahl. Damit ist die "mathinitus-Beweislücke" geschlossen. |
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| 11.08.2013, 18:02 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du jetzt noch beweist, dass 2 wirklich prim ist, bin ich zufrieden 
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| 11.08.2013, 18:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2=1*2 ist die bis auf die Reihenfolge einzige Produktzerlegung von 2 in positive ganze Zahlen, also ist 2 eine ganzrationale Primzahl. 
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| 11.08.2013, 18:14 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja dass das die einzige ist, sollst du beweisen! |
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| 11.08.2013, 18:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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