Basis einer Linearen Abbildung bzw. Basis des Bildes |
| 31.07.2013, 10:31 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Basis einer Linearen Abbildung bzw. Basis des Bildes 1) Wenn ich eine Basis einer vorgegebenen Linearen Abbildung bestimmen soll bzw. die Basis des Bildes dieser Abbildung bestimmen soll, dann gehe ich wie folgt vor. Ich überführ die Lineare Abbildung 1:1 in eine Matrix und bring sie danach in Zeilenstufenform. Nun schau ich mir in Zeilenstufenform jede einzelne Zeile an und kreise jedes erste Element der Matrix ungleich Null jeder Zeile ein. Nun zieh ich von den Kreisen Rückschlüsse. Ich überleg mir einfach wie die Spalte am Anfang (Ausgangsmatrix) jeder eingekreisten Spalte aussieht. Exakt diese Spalten bilden eine Basis des Bildes der Linearen Abbildung. Ich habe das von hier: http://www.onlinetutorium.com/product_in...products_id=457 Ist das vollkommen richtig? 2) Kann mir jemand vielleicht sagen was die Dimension ist, ganz einfach am besten? Also ich weiss zwar wie man sie bestimmt kenn auch in und auswendig die Mathematische Formulierung, verstehe es jedoch nicht. |
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| 31.07.2013, 20:44 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
/push Außerdem würde mich interessieren ob ich die Basis auch wie folgt (Andere Methode bestimmen kann). Ihch überführ die Lineare Abbildung in eine Matrix. Transponiere, sodass die Zeilen die Vektoren des Bildes der Vektoren darstellen. Bringe sie auf Zeilenstufenform und schreibe am Enden in Zeilenstufenform die Zeilen als Vektoren heraus. Diese sind eine Basis des Bildes der Linearen Abbildung. |
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| 31.07.2013, 23:44 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich möchte eine Basis vom Bild={(2,1,0),(2,1,2),(2,1,1),(0,0,1)} bestimmen Es folgt: 2 2 2 0 1 1 1 0 0 2 1 1 -> 1 1 1 0 2 2 2 0 0 2 1 1 -> 1 1 1 0 0 2 1 1 0 0 0 0 Köpfe sind Markiert! Das heißt, Basis vom Bild={(2,1,0),(2,1,2)} Ist das vollkommen richtig und immer legetim anwendbar um die Basis des Bildes zu bestimmen? Möglichkeit zwei wäre: Siehe oben Post. |
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| 01.08.2013, 11:07 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kann mir jemand sagen welche Variante richtig ist ? |
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| 01.08.2013, 12:26 | dastrian | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Martin! Ich hatte bisher nicht geantwortet, weil ich nicht 100% sicher bin, ob ich deine Angaben richtig verstehe - aber bevor du hier gar keine Antwort bekommst (vllt. weils allen so geht...) 1) Meiner Meinung nach sind beide Methoden, die du angegeben hast, einfach Methoden, um aus einem Erzeugendensystem (in diesem Spezialfall handelt es sich um die Bilder der Standardbasis, und diese erzeugen ja immer das Bild der linearen Abbildung) eine unabhängiges Teilsystem auszuwählen. Beide Methoden sind nicht wesentlich verschieden und vollkommen richtig - wenn auch für kleinere Dimensionen relativ kompliziert. Suchst du nach einem Algorithmus für höherdimensionale Anwendungen oder tust du dich nur schwer, einfach nach der 08-15-Methode vorzugehen: Bild von e_1 bestimmen - Bild von e_2 bestimmen, falls linear abhängig von e_1: streichen - ... - Bild von e_n bestimmen, falls linear abhängig von der bisherigen Menge: streichen - fertig ist die Basis. 2) Was ist Dimension? Tja... Ich dachte immer, ein "Instinkt", was genau eine Dimension ist, kommt mit der Zeit, wenn man sich mal klarmacht, wie ein-, zwei- und dreidimensionale Räume aussehen, ... und wenn man sich klar macht, warum wirklich je zwei linear unabhängige Vektoren einen zweidimensionalen Raum erzeugen. (Damit meine ich: Zeichne dir mal in der x-y-Ebene die Vektoren (1,0) und (0,1) und dann mach dir klar, dass die genau denselben Raum erzeugen (nämlich die ganze Ebene) wie auch die Vekotren (1,2) und (2,1). Einfach mal zeichnen...) Hoffe, ich konnte helfen! |
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