Grothendieck-Universum

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Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »
Grothendieck-Universum
Hallo,

mir ist nicht klar, wieso ein Grothendieck-Universum Menge sein kann. Wenn es ZFC erfüllt, wäre es doch die Menge aller Mengen und die gibt es doch nicht.

Bitte klärt mich auf!
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was ist denn deiner Meinung nach ein Grothendieck-Universum?
Die Wikipedia Definition beginnt mit:
Zitat:
Eine Menge U heißt Grothendieck-Universum
 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt ist eben, dass man für Grothendieck-Universen (mit größerer Mächtigkeit als Abzählbarkeit) die Existenz stark unerreichbarer Kardinalzahlen annehmen muss (was unabhängig von ZFC ist).
Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von watcher
Hallo,

was ist denn deiner Meinung nach ein Grothendieck-Universum?
Die Wikipedia Definition beginnt mit:
Zitat:
Eine Menge U heißt Grothendieck-Universum


Ich weiß, dass ein Grothendieck-Universum per Definition eine Menge ist. Und das soetwas tatsächlich existieren könnte, habe ich noch nicht ganz verstanden. Irgendwie denke ich, die Existenz eienr solchen Menge widerspricht sofort ZFC.

Wenn dieses Grothendieck-Universum Model für ZFC ist, müssten doch alle Kardinalzahlen drin enthalten sein. Also insbesondere Kardinalzahlen,m die größer sond als das Grothendieck-Universum selbst. Das geht doch nicht!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ein Grothendieck-Universum ist ein Modell für ZFC. Daher kann man in ZFC selbst auch nicht beweisen, dass ein Grothendieck-Universum existiert, das enthält. Um mit ihnen arbeiten zu können nimmt man dann zusätzlich das Universums-Axiom an: Jede Menge ist in einem Universum erhalten.

Man kann in ZFC beweisen, dass ein Grothendieck-Universum eine Menge aus der von-Neumann-Hierarchie sein muss. [Williams 69] Will man also nicht abzählbare Universen zulassen, so ist das Äquivalent zur Annahme der Existenz stark unerreichbarer Kardinalzahlen,
Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe es immernoch nicht. Man kann doch mit ZFC ganz leicht beweisen, dass es kein Grothendieck-Universum geben kann. Das müsste dann ja aus den Gründen von eben echte Klasse sein und ist daher keine Menge mehr.
Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »

Oder anders ausgedrückt: So wie ich alles verstehe, was ich zum Grothendieck-Universum lese, scheint die Annahme, dass ein solches Universum existiert, unabhängig von ZFC zu sein. Das heißt, ZFC impliziert weder die Existenz eines solchen Universums noch die Nichtexistenz.

So, wie ich die Sache sehe, impliziert ZFC aber nicht Nichtexistenz. Da ich jedoch mir weniger zutraue als den führenden Mathematikern, glaube ich, ich habe irgendwo einen Denkfehler gemacht und diesen würde ich gerne von euch aufgezeigt bekommen. Dazu dieser Thread!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grothendieck
Oder anders ausgedrückt: So wie ich alles verstehe, was ich zum Grothendieck-Universum lese, scheint die Annahme, dass ein solches [nicht abzählbares, zweiundvierzig] Universum existiert, unabhängig von ZFC zu sein.

Ja.

Zitat:
Original von Grothendieck
Man kann doch mit ZFC ganz leicht beweisen, dass es kein [nicht abzählbares, zweiundvierzig] Grothendieck-Universum geben kann.

Aha, wie denn?
Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von Grothendieck
Man kann doch mit ZFC ganz leicht beweisen, dass es kein [nicht abzählbares, zweiundvierzig] Grothendieck-Universum geben kann.

Aha, wie denn?


In meinem Skript steht, dass ein Grothendieck-Universum U mit eingeschränkt auf U wieder die Axiome der Mengenlehre erfüllt (ZFC). Die Axiome der Mengenlehre implizieren aber die Existenz von Ordinalzahlen, diese müssten also alle in U enthalten sein. Jedoch sind die Ordinalzahlen eine echte Klasse und können daher nicht in einer Menge enthalten sein. Widerspruch!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist der Widerspruch? In ZFC existiert die Menge aller Ordinalzahlen nicht (auch nicht die "Klasse" aller Ordinalzahlen, denn Klassen üerhaupt gibt es in ZFC nicht).

Es ist kein Widerspruch, dass eine Menge ein Modell für ZFC sein sollte. Es gibt sogar notwendig ein abzählbares Modell für FO-Mengenlehre, siehe Skolem-Paradoxon.
Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Wo ist der Widerspruch? In ZFC existiert die Menge aller Ordinalzahlen nicht (auch nicht die "Klasse" aller Ordinalzahlen, denn Klassen üerhaupt gibt es in ZFC nicht).

Es ist kein Widerspruch, dass eine Menge ein Modell für ZFC sein sollte. Es gibt sogar notwendig ein abzählbares Modell für FO-Mengenlehre, siehe Skolem-Paradoxon.


Ich dachte, wenn man ein Modell für ZFC hat, dann müssen in diesem Modell alle Mengen, die es laut ZFC gibt, enthalten sein (keine darf fehlen). Ansonsten weiß ich nicht, was es bedeutet ein Modell für ZFC zu sein. Was bedeutet es denn echt?

Wir haben übrigens für Grothendieck-Universen gefordert, dass Element des Universums sein muss. Mit der Definition dürfte es keine abzählbaren Universen geben.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grothendieck
Ich dachte, wenn man ein Modell für ZFC hat, dann müssen in diesem Modell alle Mengen, die es laut ZFC gibt, enthalten sein (keine darf fehlen). Ansonsten weiß ich nicht, was es bedeutet ein Modell für ZFC zu sein. Was bedeutet es denn echt?

Ja, das gilt, weil FO korrekt ist und ZFC eine FO-Theorie.

Ich denke, Dir ist der Unterschied zwischen "internen" und "externen Aussagen" nicht klar, den man in der Modelltheorie machen muss. (Deswegen hatte ich Dir auch den Proofwiki-Artikel verlinkt.) Intern ist jedes Modell für ZFC, wobei einer Menge ist, eine "echte Klasse" (aka keine Menge; über Klassen spricht ZFC nicht), denn im Modell erhalten wir ja immer Russells Paradoxon. Wir wissen aber, dass extern nach wie vor eine Menge ist. Die Bijektion, die das liefert, ist aber nicht in enthalten. Genau darum geht es beim Skolem-Paradoxon. Der Satz von Löwenheim-Skolem liefert, dass es sogar abzählbare Modell für ZFC gibt (die intern aber natürlich immer noch wie "echte Klassen aussehen).
Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Aber wie kann es abzählbare Modelle für ZFC geben? In jedem Modell von ZFC muss doch aufgrund des Potenzmengen- und Unendlichkeitsaxioms die Potenzmenge der natürlichen Zahlen enthalten sein und damit auch jedes der überabzählbar vielen Elemente dieser Potenzmenge.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau um diese Frage ging es in dem angegebenen Link.

Letztlich läuft es darauf hinaus: Man betrachtet ein abzählbares Modell für ZFC. Ein solches abzählbares Modell gibt es immer wegen des Satzes von Löwenheim-Skolem. Die üblichen Prädikate der Modelltheorie müssen nun in diesem Modell interpretiert werden (" ist eine Funktion", " ist eine Funktion und ist bijektiv", " ist abzählbar", usw.). Wenn wir über Elemente des Modells im Modell sprechen, müssen wir also Eigenschaften wie Abzählbarkeit etc. gemäß ihrer Interpretation, also relativ zum Modell verstehen. Denn , etc. können aus externer Sicht ganz verschieden interpretiert werden.

Es gibt in unserem Modell also eine Menge , sodass es keine Bijektion zu den "internen" natürlichen Zahlen gibt. Das sagt nichts über Abbildungen zwischen der Trägermenge und den natürlichen Zahlen aus der "externen" Sicht aus! Also kann man auch nicht schließen, dass es im Modell aus externer Sicht überabzählbar viele Elemente geben muss. Wie schon gesagt: in jedem Modell von ZFC gibt es intern betrachtet "Klassen-viele" Elemente (was nur bedeutet, dass das Universum nicht abgeschlossen unter Bildung der "Allmenge" ist), extern kann das Modell aber abzählbar sein und solche abzählbaren Modelle existieren notwendig. Beispielsweise gibt es auch überabzählbare Modelle für Peano-Arithmetik.
Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, ich beginne zu begeifen. Wäre ein solches abzählbares Modell dann nicht auch ein Grothendieck-Universum und damit die Existenz eines solchen Universums bewiesen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grothendieck
Vielen Dank, ich beginne zu begeifen.

Gern geschehen.

Zitat:
Original von GrothendieckWäre ein solches abzählbares Modell dann nicht auch ein Grothendieck-Universum und damit die Existenz eines solchen Universums bewiesen?

Nein, es gibt auch nicht-transitive Modelle für ZFC.

Aber ist ja bereits ein Grothendieck-Universum. Für alles weitere muss man die Existenz stark unerreichbarer Kardinalzahlen annehmen.
Grothendieck Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist ein Grothendieck-Universum? Es gilt doch , aber .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich hätte eher von einem "Grothendieck-Universum der Kardinalität " sprechen sollen.
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