Vertretersystem Äquivalenzrelation

05.08.2013, 10:55

steviehawk

Vertretersystem Äquivalenzrelation

Meine Frage:
Hallo Leute, ich arbeite mich gerade durch mein Algebra Skript und stoße auf den doch nicht ganz unwichtigen Begriff des "Vertretersystems". Der Professor hat den Begriff einfach verwendet ohne ihn zu definieren, daher fällt mir es schwer ihm da ganz zu folgen.

Kann mir bitte jemand eine Definition geben? Und vielleicht ein simples Beispiel?

Im Netz finde ich nur Awendungen und keine Def.

Meine Ideen:
Vielen Dank!

05.08.2013, 11:06

Leopold

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Eine Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zerfällt in nichtleere paarweise disjunkte Teilmengen $\begin{eqnarray*} X_i, i \in I \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} X = \bigcup_{i \in I} X_i \end{eqnarray*}$

Jetzt nimm aus jedem $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ . Dann bilden die $\begin{eqnarray*} x_i, i \in I \end{eqnarray*}$ ein Vertretersystem.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} X = \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ wird in die Restklassen modulo 3 zerlegt:

$\begin{eqnarray*} X_0 = 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots,-9,-6,-3,0,3,6,9,\ldots \}, \ X_1 = 1 + 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots,-8,-5,-2,1,4,7,\ldots \}, \ X_2 = 2 + 3 \mathbb{Z} = \{ \ldots,-7,-4,-1,2,5,8,\ldots \} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} 12,-14,17 \end{eqnarray*}$ ein Vertretersystem.

05.08.2013, 11:25

steviehawk

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okay, das hilft mir schon mal sehr weiter.

Ich betrachte das nun in Bezug auf Gruppen.

Jede Gruppe zerfällt ja in disjunkte Linksnebenklassen (sind das auch Teilmengen der Gruppe?)

Aus jeder Nebenklasse nehme ich ein Element $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i = 1...r \end{eqnarray*}$

dann gilt ja $\begin{eqnarray*} T = \left\{ t_1,...,t_r\right\} \end{eqnarray*}$ ist mein Vertretersystem.

Weiterhin gilt dann: $\begin{eqnarray*} G = \bigcup_{i=1}^r t_iU \end{eqnarray*}$

Ich verstehe, das jetzt so, dass dieses Vertretersystem in erster Linie hilft die Anzahl der Äquivalenzklassen fest zu machen. Würde ich nur: $\begin{eqnarray*} G = \bigcup aU \end{eqnarray*}$ also von disjunkten Linksnebenklassen, hätte ich ja nicht viel gewonnen, und ich könnte im Beweis von Satz von Lagrange nicht so schön verwenden:

$\begin{eqnarray*} |G| = \sum_{i=1}^r | t_iU | = \sum_{i=1}^r | U | = r |U| \end{eqnarray*}$ Also: $\begin{eqnarray*} |U| | |G| \end{eqnarray*}$

Danke für die schnelle Hilfe.

05.08.2013, 11:48

Leopold

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Zitat:

Original von steviehawk
Jede Gruppe zerfällt ja in disjunkte Linksnebenklassen (sind das auch Teilmengen der Gruppe?)

... bezüglich einer vorgegebenen Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$

Ansonsten stimmen deine Ausführungen.
Du beschreibst eine wichtige Möglichkeit, eine Gruppe in disjunkte Teilmengen zu zerlegen. Es gibt aber auch noch andere (Konjugationsklassen,...).

Bei jeder Äquivalenzrelation kann man Vertretersysteme bilden. Das hat zunächst einmal nichts mit algebraischen Strukturen zu tun. Dein Beispiel ist sozusagen eine Anwendung dieses allgemeinen Prinzips. In deiner Situation ist das Besondere, daß alle Äquivalenzklassen (das sind hier die Linksnebenklassen) gleich viele Elemente besitzen (so kommt es gerade zum Satz von Lagrange). Im allgemeinen muß das natürlich nicht so sein.

24.08.2013, 12:39

steviehawk

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Ich wärme das mal noch mal auf hier..

Oben steht ja, dass man z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ in die Restklassen modulo 3 zerlegen kann.

Ich habe dann: $\begin{eqnarray*} 3 \mathbb Z \leq \mathbb Z \end{eqnarray*}$

jetzt wähle ich das Vertrtersystem: $\begin{eqnarray*} T: = \left\{ 0,1,2\right\} \end{eqnarray*}$ etwas naheliegender als das obige smile

wobei das sicherlich nur eine Möglichkeit aufzeigen sollte..

Und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z = \bigcup t_i + 3\mathbb Z \end{eqnarray*}$

passt das?

Wollte damit jetzt nur nochmal bisschen Verständnis schaffen Wink

24.08.2013, 13:15

Leopold

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Ich würde um das Summenglied noch eine Klammer setzen. Und dann könnte man auch einfacher

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} = \dot{\bigcup_{0 \leq k \leq 2}} \left( k + 3 \mathbb{Z} \right) \end{eqnarray*}$ oder mit mehr Symmetrie $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} = \dot{\bigcup_{-1 \leq k \leq 1}} \left( k + 3 \mathbb{Z} \right) \end{eqnarray*}$

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