Winkelfunktion nach alpha auflösen

05.08.2013, 18:35

Snapinator

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Winkelfunktion nach alpha auflösen

Meine Frage:
Hallo, ich rechne seit Tagen immer wieder an einer Aufgabe aus dem Bereich theoretische Mechanik. Den Term habe ich jetzt schon soweit wie möglich vereinfacht (siehe unten). Vorrausgesetzt, meine Gleichung stimmt bin ich nahe an der Lösung, drehe mich aber bei der Umstellung nach [latex]\alpha[\latex] im Kreis. Bitte helft mir, es sieht so einfach aus.

Meine Ideen:
Die Gleichung lautet:

[latex]\cos(\alpha ) - \sqrt{3} \cdot \sin(\alpha ) = \frac{5}{4} [\latex]

05.08.2013, 18:41

snape

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RE: Winkelfunktion nach [latex]\alpha[\latex] auflösen
Die Frage stammt von mir, habe wohl irgendwas beim eingeben falsch gemacht. Hier noch mal die Formel:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha ) -\sqrt{3} \sin(\alpha ) = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

05.08.2013, 18:56

grosserloewe

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RE: Winkelfunktion nach [latex]\alpha[\latex] auflösen
Wink

Wink

ein möglicher Weg:

1.)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3 } sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten addieren

2.)Quadrieren der Gleichung

3.) Umwandeln von

$\begin{eqnarray*} cos^2(\alpha )in <br /> <br /> sin^2(\alpha ) \end{eqnarray*}$

4) Substitution :

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha )= z \end{eqnarray*}$

5) Lösung der Quadratischen Gleichung

6.) Resubstution

05.08.2013, 19:00

HAL 9000

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Alternative ohne nichtäquivalente Umformungen (wie Quadrierungen): Division durch 2 ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{8} = \frac{1}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)\cos(\alpha) - \sin\left( \frac{\pi}{3} \right)\sin(\alpha) = \cos\left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) \end{eqnarray*}$

letzteres gemäß Additionstheorem.

05.08.2013, 19:12

snape

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Juppie

Danke. Auf Substitution bin ich gar nicht gekommen. Hammer

Hammer

Noch eine letzte Frage dazu, in der Hoffnung, das diese ohne weitere Vorkentnisse beantwortbar ist:

Ich erhalte nach der Substitution zunächst zwei z:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> z_{1} = -0,15<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> z_{2} = -0,931<br /> \end{eqnarray*}$
Nach der Kehrfunktion erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} <br /> \alpha_{1} = -8,63°<br /> \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> \alpha_{2} = -68,59°<br /> \end{eqnarray*}$
Laut Lösungsbuch ist 8,63° richtig ( ich habe das mit Minus-Vorzeichen herraus, da habe ich bestimmt einen Umstellungsfehler gemacht, muss ich nachher noch mal drüber schauen).
Meine Frage: woran erkenne ich, das Lösung 1 meine Lösung ist und nicht die 68,59°?

Der errechnete Winkel soll zwischen positiver y-Achse und einem Kraftvektor liegen, welcher vom Ursprung aus in den II.Quadranten gerichtet ist.

Danke schon mal!!

05.08.2013, 19:16

grosserloewe

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Wink

in dem Du die Probe machst.

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05.08.2013, 19:20

snape

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Danke auch an HAL 9000

jetzt stehe ich gerade wieder auf dem Schlauch.

Durch welche Regel wird aus

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{2} \cos(\alpha) <br /> <br /> <br /> \cos(\frac{\pi}{3} ) \cos(\alpha) ?<br /> \end{eqnarray*}$

05.08.2013, 19:22

snape

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An groserloewe

Ach so, okay. Ich dachte, da gibt es vielleicht noch irgendeine Regel. Aber Probe würde ich eh machen. Danke schön für's Beantworten!

05.08.2013, 19:22

micha_L

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Hallo,

der von dir berechnete Wert (-8,63... °) stimmt. Der Wert +8,63... ° ist falsch.
Vielleicht verlesen?

Mfg Michael

EDIT:
Zusatz: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ entsprechen 60 °. Verwende einen Taschenrechner, um $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ zu verifizieren.

Und noch etwas: HAL9000 hat es dir auch nicht unbedingt leicht gemacht, seiner Idee zu folgen. (Nichts für ungut.)
Er hat den linken Teil als Skalarprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachtet.
Die Polarkoordianten von letzterem sind eben $\begin{eqnarray*} \left(2;\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Mfg Michael

05.08.2013, 19:26

HAL 9000

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Die "Regel" ist, dass schlicht und einfach

$\begin{eqnarray*} \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2},\qquad \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

ist - Stichwort: spezielle Winkelfunktionswerte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.08.2013, 19:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von micha_L
HAL9000 hat es dir auch nicht unbedingt leicht gemacht, seiner Idee zu folgen. (Nichts für ungut.)

Ich verschwende nicht Zeit, wenn der Alternativweg sowieso nicht weiter verfolgt wird - und so sah es ja aus. Natürlich könnte ich auch gleich lang und breit ausführen, wie dieser Weg auch geeignet ist, die Gleichung $\begin{eqnarray*} u\cos(\alpha) + v\sin(\alpha) = w \end{eqnarray*}$ für beliebige Parameterwerte u,v,w zu lösen, aber das verschreckt erfahrungsgemäß Leute wie den Fragesteller. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.08.2013, 19:36

snape

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An micha L

ich weiß, das bei der Formel meine Lösung richtig ist, diese entstand jedoch durch Einsetzen vieler anderer Formeln. Dies war sozusagen mein vorläufiges Endergebnis (das ich bis dato nicht lösen konnte, dank kompetenter Hilfe hier nun doch). Vielleicht ist mir aber wärend der Vereinfachung zu diesem Term ein Fehler unterlaufen, der zum negativen Wert -8,63 führte. Das muss ich jetzt einfach noch mal nachprüfen. Aber danke, tut gut zu hören, das zumindest das Ergebnis des "falschen" Terms "richtig" war. (Blickt da jetzt noch einer durch? o.O)

an HAL 9000

oh man, ich komme wirklich nicht auf die einfachsten Sachen. Manchmal sehe ich so etwas einfach nicht. Mal sehen ob es irgendetwas gibt, was das Auge (und Gehirn) in die Richtung schult. Ich denke immer viel zu kompliziert und wollte schon wieder hunderte Sachen ersetzen und umformen!
Danke für's geduldige Erklären

05.08.2013, 19:40

snape

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Also wenn, dann möchte ich schon alle Antworten verstehen. Und ich muss sagen, HAL 9000 's Lösung ist faszinierend einfach. Die Frage ist, würde ich unter normalen Umständen selber darauf kommen? Antwort: Nein!.... Leider!

05.08.2013, 19:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von micha_L
Er hat den linken Teil als Skalarprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachtet.
Die Polarkoordianten von letzterem sind eben $\begin{eqnarray*} \left(2;\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Wenn du es so auffasst, dann aber bitte mit richtigem Winkelvorzeichen, d.h. $\begin{eqnarray*} \left(2;-\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.08.2013, 20:03

micha_L

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RE: Winkelfunktion nach [latex]\alpha[\latex] auflösen
Hallo,

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von micha_L
Er hat den linken Teil als Skalarprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachtet.
Die Polarkoordianten von letzterem sind eben $\begin{eqnarray*} \left(2;\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Wenn du es so auffasst, dann aber bitte mit richtigem Winkelvorzeichen, d.h. $\begin{eqnarray*} \left(2;-\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

@HAL 9000: Ups, tja, Schlampigkeit. Aber editieren kann ich's jetzt nicht mehr. Danke für den Hinweis!

Mfg Michael

06.08.2013, 03:17

Dopap

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das erinnert mich an eine Frage:

wozu soll ich auswendig Werte wissen, wenn ich einen TR habe.

Mathe ist nicht ausrechnen sondern der Versuch Strukturen zu erkennen.

ja, und wenn man $\begin{eqnarray*} \frac {0.5}{\frac 12} \end{eqnarray*}$ in den TR eingibt, dann fehlt in obigen Sinne einiges.

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