Gewöhnliche lineare DGL n-ter Ordnung

06.08.2013, 14:50

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Gewöhnliche lineare DGL n-ter Ordnung

Meine Frage:
Hallo Forum,
Beim lernen für eine Klausur bin ich beim Thema der DGL n-ter Ordnung angelangt.
Ich habe leider vergeblich versucht mir das aus Büchern oder aus dem Internet beizubringen. Häufig wird das für mich alles viel zu kompliziert dargestellt.
Für die Klausur muss ich einen Aufgabentyp lösen können, z.bB. folgende Aufgabe:

Gegeben sei folgende Anfangswertaufgabe:
$\begin{eqnarray*} y'''-27y=3*(e^{3x}+3+9x) \end{eqnarray*}$

a)Bestimmen sie ein Fundamentalsystem und die allgemeine Lösung yh der homogenen DGL.

b)Bestimmen sie eine partikuläre Lösung yp der inhomogenen DGL.

c)Geben sie die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL an.

Meine Ideen:
Unter den eigenen Ideen kann ich leider nicht ganz so viel bieten. Allerdings möchte ich dazu sagen, dass es mir nicht konkret jetzt um diese Aufgabe geht und ich die nur für eine Hausaufgabe gelöst haben möchte, sondern ich möchte das System bzw. die Schritte zum lösen der Aufgabe verstehen.

zu a) Ich weiß leider nicht, wie man so ein Fundamentalsystem aufstellt. Aus Büchern und dem Internet werde ich darüber nicht schlau.
Da es hier um die homogene DGL geht, muss man wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} y'''-27y=0 \end{eqnarray*}$ verwenden.

zu b und c) Ich denke mal DGL n-ter Ordnung funktionieren so ähnlich wie DGL 1. Ordnung und ich brauche für die Aufgaben bestimmt die Lösung aus a.

Es wäre wirklich super, wenn mir jemand hierbei helfen könnte smile

smile

Danke!

Gruß

06.08.2013, 15:04

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (a): Ja, das ist der homogene Teil. Man kann durch Überführen in ein geeignetes System linearer Gleichungen zeigen, dass sich ein Fundamentalsystem durch Lösen der charakteristischen Gleichung ergibt wie folgt. Was ist denn hier die charakteristische Gleichung, was sind die Nullstellen und demnach ein Fundamentalsystem?

Edit: Übrigens fehlt bei Dir der Anfangswert, wenn das ein Anfangswertproblem sein soll. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Gegeben sei folgende Anfangswertaufgabe: [...]

07.08.2013, 11:04

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Aber ich werde aus diesem Artikel nicht so wirklich schlau. Das steht da alles viel zu kompliziert.
Was ich daraus erfahren habe ist, dass ich noch ein charakteristisches Polynom bilden muss.

Aber wie genau mach ich das?

Sorry, wenn ich mich vielleicht etwas blöd anstelle :/

Stimmt da fehlt der Anfangswert. Komisch, das ist ja eine Aufgabe aus einer Probeklausur, aber dort steht echt kein Anfangswert. Dann streichen wir die Anfangswertaufgabe.^^

07.08.2013, 11:39

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es steht doch ziemlich genau da. Wir gehen von einer DGL der Form $\begin{eqnarray*} y^{(n)} - (a_{n-1}y^{(n-1)} + a_{n-2} y^{(n-2)} + \ldots + a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y)= 0 \end{eqnarray*}$ aus. Erkennst Du, dass unsere homogene DGL diese Form hat?

Das charakteristische Polynom entsteht durch formales Ersetzen der Ableitungen $\begin{eqnarray*} y^{(k)} \end{eqnarray*}$ durch Potenzen $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ einer Variable $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Dies liefert die sog. charakteristische Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda^n - (a_{n-1}\lambda^{n-1} + a_{n-2} \lambda^{n-2} +\ldots + a_2 \lambda^2+ a_1 \lambda + a_0)= 0 \end{eqnarray*}$ Wie sieht die charakteristische Gleichung in unserem Fall aus?

Es gilt nun diese Gleichung zu lösen, was in unserem Fall nicht schwierig ist.

07.08.2013, 14:50

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok.

Dann ist das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} \lambda ^3 -27=0 \end{eqnarray*}$ .

Diese Gleichung hat eine Lösung bei 3.

07.08.2013, 14:53

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

~~Genau. Was bedeutet das jetzt für unsere Lösungen (siehe Artikel)?~~

Edit: Ja, da hat HAL natürlich recht

Anzeige

07.08.2013, 14:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Makiaveli
Diese Gleichung hat eine Lösung bei 3.

Das ist aber nicht die ganze Wahrheit: Zur vollständigen Lösung der DGL benötigst du alle komplexen (!) Lösungen dieser charakteristischen Gleichung, und das sind außer der richtigen Lösung 3 noch zwei weitere, echt komplexe Lösungen...

07.08.2013, 16:19

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,
die zwei anderen komplexen Lösungen müssten doch

-1,5+2,6i und -1,5-2,6i sein, oder?

07.08.2013, 16:26

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

ja stimmt .kannst aber auch allgemein den Ausdruck stehen lassen, braucht nicht so speziell mit dem Rechner ausgerechnet werden.

smile

smile

07.08.2013, 16:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Makiaveli
die zwei anderen komplexen Lösungen müssten doch

-1,5+2,6i und -1,5-2,6i sein, oder?

Ich halte nichts von überflüssiger Rundung in einem Frühstadium der Rechnung: Runden kann man immer noch beim Endergebnis, so es denn (vielleicht wegen einer Anwendungsaufgabe) dann sinnvoll ist.

Hier und jetzt lauten die beiden anderen komplexen Nullstellen

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2} \pm \frac{3\sqrt{3}}{2} i \end{eqnarray*}$ .

08.08.2013, 13:36

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast recht. Ich hab zum üben einen alten Taschenrechner benutzt, der hat mir nur die Dezimalzahl angezeigt.

Also, jetzt habe ich die drei Lösungen. Die komplexe Lösung ist ein konjugiert komplexes Paar.

In diesem Artikel steht ja wie man das Fundamentalsystem bilden soll.
Vom Prinzip her verstehe ich das einigermaßen, aber wirklich bilden kann ich das nicht.
Kann mir das jemand vielleicht allgemeiner erläutern?

Tut mir Leid, wenn ich mich hier so doof anstelle, aber ich hab das vorher noch nicht gemacht. Der Prof hat leider seine Themen, im Vergleich zum Vorsemester, leicht verändert :/

08.08.2013, 13:46

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Aus der obigen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{3} -27=0 \end{eqnarray*}$

folgt dann:

$\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(\lambda ^{2} +3\lambda +9)=0 \end{eqnarray*}$

dann betrachtest Du die beiden Faktoren jeweils einzeln und setzt diese 0

und kommst auf die Lösungen.

Danach muß mit Hilfe der Eulerschen Formel dieser komplexe Ausdruck
in einen mit Cosinus und Sinus umgewandelt werden.

Die Eulersche Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} e^{\alpha +\beta } =e^{\alpha } \cos(\beta ) + i e^{\alpha } \sin(\beta ) \end{eqnarray*}$

Schreib doch mal bitte hin, wie die gesamte homogene Lösung aussieht,
mit den komplexen Ausdrücken.

08.08.2013, 14:31

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungen sind ja $\begin{eqnarray*} \lambda _{1} =3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _{2} =-\frac{3}{2}+\frac{3*\sqrt{3} }{2}i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _{3} =-\frac{3}{2}-\frac{3*\sqrt{3} }{2}i \end{eqnarray*}$ .

Ich hab jetzt mal versucht die komplexen Lösungen umzuwandeln:

$\begin{eqnarray*} 2,2*(cos(60)\pm i*sin(60)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = r*(cos(\alpha )+i*sin(\alpha )) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=| z |=| x+i*y | =\sqrt{x^{2}+y^{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha =arctan(\frac{y}{x} ) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

08.08.2013, 15:04

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Ich meine etwas anderes

Lamda 2 und Lamda 3 haben doch die Form

Alpha + i Beta

Das braucht nur noch in die Eulersche Formel eingesetzt werden.

(Sorry mein Formeleditor geht leider im Moment nicht)

08.08.2013, 15:21

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, so einfach^^

Also dann $\begin{eqnarray*} e^{\frac{3}{2}+\frac{3*\sqrt{3} }{2}} = e^{\frac{3}{2}} *cos(\frac{3*\sqrt{3} }{2})+i*e^{\frac{3}{2}}*sin(\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$ oder?

08.08.2013, 15:34

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, allerdings hast Du ein Vorzeichen fallengelassen. Wie sieht denn nun erstmal ein komplexes Fundamentalsystem aus? (Benenne konkret die drei Funktionen.) Dann überlegen wir uns, wie man daraus ein reelles macht.

09.08.2013, 14:12

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, dann
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}+\frac{3*\sqrt{3} }{2}} = e^{-\frac{3}{2}} *cos(\frac{3*\sqrt{3} }{2})+i*e^{-\frac{3}{2}}*sin(\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}+\frac{3*\sqrt{3} }{2}} = e^{-\frac{3}{2}} *cos(\frac{3*\sqrt{3} }{2})-i*e^{-\frac{3}{2}}*sin(\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$
doch auch noch oder?

Tut mir Leid, aber drei Stück kann ich nicht benennen :/
Aber kann es sein, dass man nun die Eigenvektoren braucht?

09.08.2013, 14:16

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Und abermals erinnere ich nochmal an den Wikipedia-Artikel. Was steht denn dort zum Thema Fundamentalsystem im Fall unseres Gleichungstyps und wie lässt sich das hier übertragen?

Edit: Und bei der Übertragung der Eigenwerte im letzten Posting ist nun einiges schiefgegangen.

09.08.2013, 15:37

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn jetzt schiefgegangen? du meintest es fehlt ein Vorzeichen. Das einzige Vorzeichen was ich nicht übertragen haben war das Minus vor den 3/2.

Jetzt könnte ich theoretisch die komplex konjugierten Lösungen des komplexen Fundamentalsystems durch reele Lösungen ersetzen und kommt so auf das reelle Fundamentalsystem.

09.08.2013, 15:43

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Makiaveli
du meintest es fehlt ein Vorzeichen. Das einzige Vorzeichen was ich nicht übertragen haben war das Minus vor den 3/2.

Ja, und die imaginären Einheiten sind auch verlorengegangen.

Zitat:

Original von Makiaveli
Jetzt könnte ich theoretisch die komplex konjugierten Lösungen des komplexen Fundamentalsystems durch reele Lösungen ersetzen und kommt so auf das reelle Fundamentalsystem.

Stimmt. Und wie genau geht das?

10.08.2013, 12:57

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}} = e^{-\frac{3}{2}} *cos(\frac{3*\sqrt{3} }{2})+i*e^{-\frac{3}{2}}*sin(\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}} = e^{-\frac{3}{2}} *cos(\frac{3*\sqrt{3} }{2})-i*e^{-\frac{3}{2}}*sin(\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$

so? Oder kommt bei des cos auch noch ein i hin?

Ich bin mir nicht sicher, aber funktioniert das etwa so?

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}}=cos(-\frac{3}{2}*\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}}=sin(-\frac{3}{2}*\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$

10.08.2013, 23:22

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Makiaveli
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}} = e^{-\frac{3}{2}} *cos(\frac{3*\sqrt{3} }{2})+i*e^{-\frac{3}{2}}*sin(\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}} = e^{-\frac{3}{2}} *cos(\frac{3*\sqrt{3} }{2})-i*e^{-\frac{3}{2}}*sin(\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$

Ja, das stimmt.

Zitat:

Original von Makiaveli
Ich bin mir nicht sicher, aber funktioniert das etwa so?

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}}=cos(-\frac{3}{2}*\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}}=sin(-\frac{3}{2}*\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$

Nein, wie kommst Du denn darauf? unglücklich

unglücklich

Es geht jetzt darum, ein Fundamentalsystem zu finden, also ein System linear unabhängiger Lösungen für den homogenen Teil der DGL. Fangen wir mit dem reellen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 3 \end{eqnarray*}$ an. Was ist die naheliegende hiervon induzierte Lösung?

11.08.2013, 13:48

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stehe bei diesem Schritt irgendwie voll auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

Ich versuche ja schon die ganze Zeit es selber zu lösen, aber das steht auch nirgends mal verständlich beschrieben wie das genau geht.

11.08.2013, 22:19

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wikipedia
Seien $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\ldots,\lambda_k \end{eqnarray*}$ die (paarweise verschiedenen) Nullstellen von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit Vielfachheiten $\begin{eqnarray*} \mu_1,\ldots,\mu_k \end{eqnarray*}$ . Dann trägt die Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ zum (komplexen) Fundamentalsystem die $\begin{eqnarray*} \mu_i \end{eqnarray*}$ linear unabhängigen Lösungen
$\begin{eqnarray*} y_{i,1}(x) = e^{\lambda_i x}\ ,\ y_{i,2}(x) = xe^{\lambda_i x}\ ,\ \ldots\ ,\ y_{i,\mu_i}(x) = x^{\mu_i-1}e^{\lambda_i x} \end{eqnarray*}$ bei.

Was verstehst Du hieran nicht?

12.08.2013, 14:29

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mit solchen formalen Definitionen immer meine Schwierigkeiten.

Also wir haben jetzt die komplexe Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda _{i} = e^{-\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}} = e^{-\frac{3}{2}} *cos(\frac{3*\sqrt{3} }{2})+i*e^{-\frac{3}{2}}*sin(\frac{3*\sqrt{3} }{2}) \end{eqnarray*}$ .

Was ist jetzt die Vielfachheit? 1, weil es diese Nullstelle nur einmal gibt oder 2, weil es noch eine konjugierte Nullstelle gibt?

Hab ich die linear unabhängigen Lösungen nicht schon oben gebildet?
Nur das x fehlt.

Kannst du mir das bitte nicht einmal an einer Nullstelle zeigen, wie man das in reelle Fundamentalsystem überträgt? So kann ich das wohl am besten verstehen und nachvollziehen.

12.08.2013, 17:51

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich hab mit solchen formalen Definitionen immer meine Schwierigkeiten.

Das ganze Gebiet ist aber nunmal formal, da bleibt die Beschäftigung mit formalen Definitionen nicht aus.

Was die Vielfachheit einer Nullstelle eines Polynoms ist, kann man wissen, wenn man sich mit Differentialgleichungen beschäftigt...

Wir haben hier ein Polynom dritten Grades mit drei verschiedenen Nullstellen $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray*}$ , also haben alle Vielfachheit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und tragen jeweils eine Lösung zu einem Fundamentalsystem bei, nämlich $\begin{eqnarray*} \varphi_i(t) = e^{\lambda_i t}, i = 1,2,3 \end{eqnarray*}$ . Wie sieht das dann in unserem Fall aus?

12.08.2013, 18:38

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \varphi_i(t)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{3t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{e^{-\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}}t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{e^{-\frac{3}{2}-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}}t} \end{eqnarray*}$

So etwa?

12.08.2013, 18:53

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Meintest Du wirklich, was Du geschrieben hast?

12.08.2013, 19:09

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \varphi_i(t)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{3t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}t} \end{eqnarray*}$

Ach ich hatte das e noch drin. So jetzt?
Vom Prinzip her doch e hoch die Nullstelle * t oder nicht?

13.08.2013, 00:02

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt an sich, aber Du solltest die Funktionen schon sauber als $\begin{eqnarray*} \varphi_1(t) = \ldots, \end{eqnarray*}$ usw. notieren.

Zwei der drei Funktionen sind nun echt komplexwertig. Weißt Du, wie Du aus diesen reelle Funktionen als Elemente eines neuen Fundamentalsystems erhalten kannst?

13.08.2013, 09:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Makiaveli
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{3}{2}-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}t} \end{eqnarray*}$

So geschrieben ist das falsch, die Klammern sind hier zwingend erforderlich! D.h.

$\begin{eqnarray*} e^{\left( -\frac{3}{2}+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}\right) t} = e^{-\frac{3}{2}t+i\frac{3*\sqrt{3} }{2}t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\left( -\frac{3}{2}-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}\right) t} = e^{-\frac{3}{2}t-i\frac{3*\sqrt{3} }{2}t} \end{eqnarray*}$

13.08.2013, 09:12

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, wie habe ich geschlafen. böse

böse

13.08.2013, 14:21

Makiaveli

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktioniert die Umwandlung vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} \varphi'_2(t)= \varphi_2(t)+\varphi_3(t) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \varphi'_3(t)= i*(\varphi_2(t)-\varphi_3(t)) \end{eqnarray*}$

Wenn dem so ist, habe ich grad Schwierigkeiten die e-Funktionen zu addieren.

14.08.2013, 18:14

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht solltest Du statt des Symbols $\begin{eqnarray*} ' \end{eqnarray*}$ lieber $\begin{eqnarray*} \widetilde{} \end{eqnarray*}$ o.ä. nehmen.

Zitat:

Wenn dem so ist, habe ich grad Schwierigkeiten die e-Funktionen zu addieren.

Dann denk mal an Sinus und Kosinus.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »