Automorphismengruppen

06.08.2013, 18:27	meister_quitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppen Aufgabe: Bestimmen Sie die Automorphismengruppe der $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ und der $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ Hallo Freunde der Mathematik, ich habe folgenden Ansatz in einem Buch gefunden zu diesem Thema der besagt, dass die Anzahl der Elemente n mit selbiger Ordnung n!-mal die Anzahl der Automorphismen wiedergibt. Is dieser Ansatz grundsätzlich korrekt? {a, b, ab, 1}= $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ a, b, und ab haben jeweils die Ordnung 2. Da dies 3 Elemente derselben Ordnung sind, müssten duch 6 (=3!) Abbildungen zustande kommen. Liebe Grüße Christoph
06.08.2013, 18:56	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar ist zunächst nur: Da die 3 Elemente der Ordnung 2 permutiert werden, ist die Automorphismengruppe eine Untergruppe der $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ und hat somit höchstens 6 Elemente. Dass aber auch andersrum jede beliebige Permutation wirklich einen Homomorphismus liefert, steht auf einem anderen Blatt. Das kann man von Hand nachrechnen, oder man argumentiert damit, dass die erzeugenden Elemente von $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ keine Relation außer $\begin{eqnarray} x^2=e \end{eqnarray}$ erfüllen. Diese Relation bleibt bei jeder Permutation erhalten. Bei der $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ solltest du zunächst mal zeigen, dass die $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ triviales Zentrum hat. Daher gilt $\begin{eqnarray} S_3 = Inn(S_3) \leq Aut(S_3) \end{eqnarray}$ . Dass Gleichheit herrscht, sieht man, wenn man die 3 Transpositionen betrachtet.
07.08.2013, 01:06	meister_quitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, danke für deinen Beitrag. Was meinst du mit dem Begriff "triviales Zentrum" und was hat es mit der schreibweise "Inn()" auf sich? Das habe ich noch nie gehört. Vielleicht war ich da auch krank, als dies in der Vorlesung besprochen wurde. Vielleicht ist meine Lösung trotzdem richtig, selbst wenn ich vom Obigen noch nie gehört habe. Die Drehungen der $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ haben die Ordnung 3. Das sind also 2 Elemente mit derselben Ordnung. Demzufolge wären ja nur 2!=2 Abbildungen möglich. Kommt das überein, mit dem was du mir erklärt hast? Liebe Grüße Christoph
07.08.2013, 11:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die kleinsche Vierergruppe also abgehakt? Zu jedem $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ gibt es immer die Konjugation $\begin{eqnarray} \sigma_g: x \mapsto gxg^{-1} \end{eqnarray}$ . Dies liefert einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} G \to Aut(G), g \mapsto \sigma_g \end{eqnarray}$ . Offensichtlich ist der Kern gerade das Zentrum von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Im Falle der $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ ist der Homomorphismus injektiv. Das solltest du mal zeigen. PS: Das Bild dieses Homomorphismus nennt man die "inneren Automorphismen". Normalerweise (insbesondere natürlich bei abelschen Gruppen) sind das noch nicht alle Automorphismen. Aber in dem Fall schon. Wie du das zeigen kannst, habe ich ja schon im ersten Beitrag geschrieben.
08.08.2013, 02:09	meister_quitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, ich denke jetzt ist klarer geworden. Wenn ich das richtig sehe, muss man also gucken, ob jene Elemente mit derselben höchsten Ordnung ein Normalteiler ist? Gilt das Verfahren dann bei allen nichtzyklischen Gruppen? Liebe Grüße Christoph
08.08.2013, 09:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo hab ich dieses Vorgehen denn suggeriert? Es gibt kein allgemeines Verfahren.
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08.08.2013, 17:25	meister_quitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, nun suggeriert hast du dies nirgends. Ich habe mir nur eigene Gedanken gemacht. Wie schaffst du es solche Aufgaben zu lösen, wenn es dafür kein Verfahren gibt? Wonach orientierst du dich? Liebe Grüße Christoph

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