Lagebeziehung zwischen Gerade Ebene

06.08.2013, 20:16

Gast0

Lagebeziehung zwischen Gerade Ebene

Meine Frage:
Hallo alle miteinander!

Ich bin mir gerade etwas unsicher, was die Lösung folgender Aufgabe betrifft:

$\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 5 \\-1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E : \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -1\\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Prüfen Sie, wie die Gearde g zur Ebene verläuft.

Meine Ideen:
Mein Ansatz war nun die beiden zuerst gleichzusetzen:

(I) 5 = 2s - t
(II) -1 = s + 3t
(III) -2 = -s + 0t

(die 0 t mal der Übersicht wegen mithingeschrieben)

Hab dann zuerst t ermittelt:
2 * II - I:

= -7 = 7t
t = -1

Und mit t dann s bestimmt, indem ich es in (II) eingesetzt hab:

-1 = 1s -3
1s = 3 - 1
s = 2

Und jetzt s und t in die Ebenengleichung eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} E : \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 2 * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + -1 * \begin{pmatrix} -1\\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = Q = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht täusche, ist das ja der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene oder?

Auf die Frage bezogen: die Gerade g schneidet die Ebene E im Punkt Q.

Stimmt das?

Würd mich freuen, wenn mal jmd drübergucken könnte. smile

06.08.2013, 20:23

Bjoern1982

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Wo sind denn die ganzen r's geblieben ?

06.08.2013, 20:59

Gast0

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Danke für deine Antwort!

Ohje.. Da hab ich mir ja einen groben Patzer geleistet..

Stimmt dieser Ansatz (mit (3,0,-1) - (-1,5,0))

(I) 5r + 2s - t = 4
(II) -r + s + 3t = -5
(III) -2r - s + 0t = -1

?

Und dann r, s und t bestimmen, s und t in Ebenengleichung einsetzen und schauen, obs n Schnittpunkt gibt?

06.08.2013, 21:06

Bjoern1982

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Leider auch noch nicht so ganz, denn du musst ja auch die Terme mit s und t rüber bringen und nicht einfach so abschreiben.

Zitat:

Und dann r, s und t bestimmen, s und t in Ebenengleichung einsetzen und schauen, obs n Schnittpunkt gibt?

Naja wenn es eindeutige Lösungen für r,s und t gibt, dann gibt es ja automatisch auch einen Schnittpunkt.
Es kommt hier nur darauf an zu prüfen, ob das LGS genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.

06.08.2013, 21:14

Gast0

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2 Wochen Urlaub und schon soo vieles wieder von dem Thema vergessen.

Also muss ich die Vektoren auf lineare (un-)abhängigkeit hin untersuchen oder?

Habe hier eine Beispielrechnung dazu und dort wurde eine Variable einfach weggelassen verwirrt

Bin mir nun also nicht ganz sicher wie ich das LGS aufstellen muss.

06.08.2013, 21:18

Gast0

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Oder mom.. Muss ich dafür nicht die Vektoren alle = 0 setzen?
Also:

5r + 2s - t = 0
-r + s + 3t = 0
-2r - s + 0 = 0

?

06.08.2013, 21:54

Bjoern1982

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Hm du rätst jetzt und vermischt irgendwie alles.
Das mit dem Gleichsetzen war ja richtig.
Nur hast du das nicht richtig sortiert.
Widmen wir uns mal der ersten Zeile:

-1+5r = 3+2s-t

Wenn man das jetzt sortiert, dann hat man:

5r-2s+t = 4

06.08.2013, 22:30

Gast0

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Mhm da hast Du Recht. Ich versuche mich grad wieder an die ganzen Zusammenhänge zu erinnern und die Bruchstücke zusammenzusetzen die bei mir noch hängen geblieben sind.. Big Laugh

Aahh.. Ich glaub jetzt hab ich kapiert wo der Fehler ist.. Ich hab die VZW nicht beachtet.. Hammer

Also nochmal:

-1 + 5r = 3 + 2s - t
5 - r = 0 + s + 3t
0 - 2r = -1 - s + 0

Sortiert:

(I) 5r - 2s + t = 4
(II) -r - s - 3t = -5
(III) -2r + s = 1

Hoffe das stimmt soweit O.o

Und nun r, s und t bestimmen:

1. (3 * I) + II
=
(I) 5r - 2s + t = 4
(II) 14r - 5s - 0 = 7
(III) -2r + s - 0 = 1

2. II + (5 * III)
=
(I) 5r - 2s + t = 4
(II) 14r - 5s - 0 = 7
(III) 4r = 12

4r = 12
r = 3

r in (II) einsetzen:

42 - 5s = 7
-5s = -42 + 7
-5s = -35
s = 7

und nu r und s in (I) einsetzen:

15 - 14 + t = 4
t + 1 = 4
t = -1 + 4
t = 3

Und jetzt s und t in die Ebene E einsetzen:

$\begin{eqnarray*} E : \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 7 * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + 3 * \begin{pmatrix} -1\\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = Q = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 14 \\ 16 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

O.o ?

06.08.2013, 22:39

Gast0

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Hmm.. Mir fällt gerade wieder ein, dass ich den Schnittpunkt ja eigentlich nicht berechnen muss..

Sondern - wenn ich das in mein Unterlagen hier richtig verstehe - mit r, s und t eine der Gleichungen auf eine wahre Aussage hin überprüfen.

Also:

(III) -2r + s = 1

Einsetzen:

(-2 * 3) + 7 = 1
-6 + 7 = 1
1 = 1

Wahre Aussage, also verläuft die Gerade g parallel zur Ebene E.

Ist das so richtig?

Nochmal vielen dank für deine Hilfe!! smile

06.08.2013, 23:07

Bjoern1982

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Zitat:

Sortiert:

(I) 5r - 2s + t = 4
(II) -r - s - 3t = -5
(III) -2r + s = 1

Zitat:

(II) 14r -5s - 0 = 7

Hach schade, die rot gefärbten Zahlen sind leider falsch.

Ansonsten hast du es aber vom Prinzip her prima gemacht. Freude

Du musst übrigens im Falle einer eindeutigen Lösung nicht unbedingt in die Ebene einsetzen, um an den Schnittpunkt zu kommen.
Die Geradengleichung ist doch besser geeignet, denn da musst du nur einen Wert einsetzen und damit weniger zusammenrechnen.

Zitat:

Hmm.. Mir fällt gerade wieder ein, dass ich den Schnittpunkt ja eigentlich nicht berechnen muss..

Das hatte ich ja oben gemeint mit:

Zitat:

Es kommt hier nur darauf an zu prüfen, ob das LGS genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.

Nun noch zu dem hier:

Zitat:

Wahre Aussage, also verläuft die Gerade g parallel zur Ebene E. Ist das so richtig?

Nein das stimmt leider überhaupt nicht.
Du hast lediglich die Probe mit einer beliebigen Zeile gemacht.
Das sagt aber eigentlich nicht viel über die Lagebeziehung aus.

Edit:

Übrigens, wenn du das Gleichungssystem richtig löst, dann kommt in der Tat raus, dass g in E liegt.

06.08.2013, 23:59

Gast0

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Argh..

-1 + 5r = 3 + 2s - t
5 - r = 0 + s + 3t
0 - 2r = -1 - s + 0

Sortiert:

(I) 5r - 2s + t = 4
(II) -r - s - 3t = -5
(III) -2r + s = -1 ?

und

(II) 14r -7s - 0 = 7

verwirrt

Dann wieder: (3 * I) + II =

(I) 5r - 2s + t = 4
(II) 14r - 7s + 0 = 7
(III) -2r + s - 0 = -1

Wenn ich jetzt II + (7*III) rechne, komme ich auf eine Nullzeile.
Und da klingelt irgendetwas.. Das bedeutet doch, dass das GLS unendlich viele Lösungen hat oder? (Oder war es doch keine Lösung?)

Nur was bedeutet das nun für die Lagebeziehung zwischen g und E ? Lesen2

Sry für die doofen Fragen O.o

07.08.2013, 00:03

Gast0

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Hab grad doch noch was gefunden

"• Eine Gerade und eine Ebene können parallel sein
Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu keiner Lösung"

Das würde ja nun auf meine Aufgabe zutreffen...

Sehe ich das richtig? Dann hätte ich ja nun die Lösung.. smile

07.08.2013, 00:09

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn ich jetzt II + (7*III) rechne, komme ich auf eine Nullzeile. Und da klingelt irgendetwas.. Das bedeutet doch, dass das GLS unendlich viele Lösungen hat oder?

So ist die Argumentation genau richtig. Freude

Unendlich viele Lösungen bedeutet unendlich viele gemeinsame Punkte von Gerade und Ebene.
Und das kann ja nur der Fall sein, wenn die Gerade IN der Ebene liegt.

Keine Lösung würde keine gemeinsamen Punkte bedeuten und das geht ja nur, wenn Gerade und Ebene parallel zueinander liegen.

07.08.2013, 00:22

Gast0

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Achjaa...

Aber gut, nun hab ich ja die Lösung. smile

Ich bedanke mich nochmal für deine Hilfe und Geduld! smile

Wünsche noch einen schönen Abend!

07.08.2013, 00:31

Bjoern1982

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Danke, dir auch.
Und viel Erfolg weiterhin. Wink