Approximationsfehler abschätzen

07.08.2013, 17:11

küb

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Approximationsfehler abschätzen

Meine Frage:
Hallo,

wir haben heute mit Taylorpolynomen angefangen und mussten auch Approximationsfehler abschätzen. Leider habe ich überhaupt nicht verstanden, wie das mit dem Abschätzen funktioniern soll:

Aufgabe:

Berechnen Sie für f(x)=ln(1+x) die Taylorpolynome 2. und 5. Grades mit Entwicklungpunkt x_0=0.
Schätzen Sie die Approimationsfehler für $\begin{eqnarray*} | x| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ab und vergleichen Sie diese miteinander.

Also die Taylorpolynome habe ich schon ermittelt:

$\begin{eqnarray*} T_{0} ^{(2)} = -\frac{1}{2}* x^{2} +x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{0} ^{(5)} = x - \frac{1}{2}* x^{2} + \frac{1}{3}* x^{3} - \frac{1}{4}* x^{4} + \frac{1}{5}* x^{5} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Abschätzung des Approximationsfehlers:

Erstmal für das eine:

$\begin{eqnarray*} R_{0} ^{(2)} = \frac{f^{(3)}( \xi) }{6} * x^{3} \end{eqnarray*}$

mit einem $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und x

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | = | \frac{2}{6*(x+1)^{2} } * x^{3} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | = | \frac{2}{(x+1)^{2} }| *| x^{3} | * \frac {1}{6} \end{eqnarray*}$

Und jetzt komme ich nicht weiter..

Im Unterricht sind wir erst irgendwie auf die Monotonie eingegangen..

Meine Ideen:

07.08.2013, 17:21

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen

Zitat:

Original von küb
$\begin{eqnarray*} R_{0} ^{(2)} = \frac{f^{(3)}( {\color{red}\xi}) }{6} * x^{3} \end{eqnarray*}$

mit einem $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und x

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | = | \frac{2}{6*({\color{red}x}+1)^{2} } * x^{3} | \end{eqnarray*}$

Beachte die rot markierten Stellen. Außerdem ist der Exponent im Nenner falsch.

Anschließend kannst du ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen Null und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also insbesondere in $\begin{eqnarray*} (-\frac12,\frac12) \end{eqnarray*}$ liegt.
Dann schätzt du den Faktor, der vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ steht, durch sein Supremum auf diesem Intervall ab. Dazu ist die Monotonie interessant.

Zitat:

Im Unterricht sind wir erst irgendwie auf die Monotonie eingegangen..

Ihr habt Vorlesungen und Tutorium; Unterricht gibt es in der Schule Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.08.2013, 17:36

Dopap

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Zur Schreibfigur: Das hochgestellte in Klammern sollten ja Ableitungen sein.

$\begin{eqnarray*} T_{2}(x,0) = -\frac{1}{2}* x^{2} +x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{2}(x,0) = \frac{f^{(3)}( \xi) }{6} * x^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{2}(x,0) = \frac 26 \cdot \frac{1}{(1+ \xi)^3 }\cdot x^{3} \end{eqnarray*}$

und jetzt den Betrag nach oben abschätzen.

07.08.2013, 17:42

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Stimmt, es müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} R_{0} ^{(2)} = \frac{f^{(3)}( \xi) }{6} * x^{3} \end{eqnarray*}$

mit einem $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und x

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | = | \frac{2}{6*( \xi+1)^{3} } * x^{3} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | = | \frac{2}{( \xi+1)^{3} }| *| x^{3} | * \frac {1}{6} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dann schätzt du den Faktor, der vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ steht, durch sein Supremum auf diesem Intervall ab. Dazu ist die Monotonie interessant.

Hm, stellt sich mir nur die Frage: Wie?

Also der größte mögliche Wert für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$

Dann wird der Faktor zu $\begin{eqnarray*} \frac {16} {27} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} f ^{(3)}(\xi)> 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |\xi| < \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$

Richtig so?

Zitat:

Ihr habt Vorlesungen und Tutorium; Unterricht gibt es in der Schule Augenzwinkern

Augenzwinkern

Okaaay, dann halt so Big Laugh

Big Laugh

07.08.2013, 17:44

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen

Zitat:

Original von küb
Also der größte mögliche Wert für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$

Aber du interessierst dich ja für den größtmöglichen Wert von $\begin{eqnarray*} \frac1{(\xi+1)^3} \end{eqnarray*}$ .

(wobei "größtmöglicher Wert" nur eine obere Schranke ist, kein Maximum)

07.08.2013, 18:07

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Dann müsste ich für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ja -0,5 einsetzen..?

Das wäre dann 8 und somit mein größtmöglicher Wert.

Dann hätte ich stehen:

$\begin{eqnarray*} f^{3} (\xi) > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} | \xi| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Edit: Reicht das jetzt aus, um schlusszufolgern, dass $\begin{eqnarray*} f^{3} (\xi) \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist?

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07.08.2013, 18:14

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Acht als Supremum ist richtig; dass $\begin{eqnarray*} f^{(3)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left[-\frac12,\frac12\right] \end{eqnarray*}$ monoton fällt, müsstest du aber noch näher begründen.

07.08.2013, 18:33

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Kann es sein, dass ich jetzt auch die 4. Ableitung mit ins Spiel bringen muss?
Ich glaube so haben wir es gemacht..

Dann wäre:

$\begin{eqnarray*} f^{4} (\xi) < 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} | \xi| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

07.08.2013, 18:36

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Das kannst du auch machen. Oder du bemerkst, dass $\begin{eqnarray*} (1+\xi)^3 \end{eqnarray*}$ im entsprechenden Intervall monoton steigend (und nullstellenfrei) und der Kehrwert damit monoton fallend ist.

07.08.2013, 18:57

Dopap

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schön, trotzdem solltest du die seltsamen Schreibweisen für das Restglied und das Taylorpolynom aufgeben.

siehe auch:

[Artikel] Taylorapproximation

07.08.2013, 18:58

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Ok, ich hab das ganze schnell auch für $\begin{eqnarray*} T_{0} ^{(5)} \end{eqnarray*}$ gemacht.

$\begin{eqnarray*} |R_{0} ^{(5)} | = | \frac{1}{(\xi+1)^{6} } | * | x^{6} | * \frac{-1}{6} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \xi = -0,5 \end{eqnarray*}$ hätte ich dann meinen größtmöglichen Wert 64.

Also:

$\begin{eqnarray*} f_{0} ^{(6)} > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |\xi| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die siebte Ableitung ist ebenfalls positiv ??? Was ist also mit der Monotonie?

Edit:

@Dopap: Wir haben das die ganze Zeit so gemacht.. geschockt

geschockt

07.08.2013, 19:12

Dopap

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RE: Approximationsfehler abschätzen

Zitat:

Original von küb
Edit:

@Dopap: Wir haben das die ganze Zeit so gemacht..

Totschlagargument !

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_{0} ^{(6)} > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |\xi| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

wenn hier hoch Klammer 6 die anerkannt 6-te Ableitung ist, dann kann man nicht dasselbe eine Zeile später als Index verwenden. Moniere das gelegentlich!

07.08.2013, 19:17

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen

Zitat:

Totschlagargument !

Jaaa, was soll ich denn machen xD Ich muss es ja so schreiben, wie der Tutor es will.. Sonst zieht er mir die Punkte ab..

Zitat:

wenn hier hoch Klammer 6 die anerkannt 6-te Ableitung ist, dann kann man nicht dasselbe eine Zeile später als Index verwenden. Moniere das gelegentlich!

Hab ich das irgendwo gemacht? geschockt

geschockt

07.08.2013, 19:18

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen

Zitat:

Original von küb
Die siebte Ableitung ist ebenfalls positiv ??? Was ist also mit der Monotonie?

Hier läuft doch alles genauso ab wie eben [attach]24103[/attach]

Edit: Wenn du bei der Abgabe dein Restglied mit einer eigenen Schreibweise definierst, darf dir da kein Punkt abgezogen werden.
Hochgestellte Indizes in Klammern sind doch aber gar nicht so ungewöhnlich. Auch wenn hier Verwechslungsgefahr mit der Ableitung besteht...

07.08.2013, 19:19

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Vorhin war die 3. Ableitung > 0 und die 4. Ableitung < 0

Jetzt ist die 6. Ableitung > 0 und die 7. Ableitung auch > 0

07.08.2013, 19:24

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Hier ist übrigens noch ein Vorzeichenfehler:

Zitat:

Original von küb
$\begin{eqnarray*} |R_{0} ^{(5)} | = | \frac{1}{(\xi+1)^{6} } | * | x^{6} | * \frac{-1}{6} \end{eqnarray*}$

Und wieso sollte die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac1{(\xi+1)^6} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (-\tfrac12,\tfrac12) \end{eqnarray*}$ positiv sein?

07.08.2013, 19:33

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen

Zitat:

Hier ist übrigens noch ein Vorzeichenfehler:
[quote]Original von küb
$\begin{eqnarray*} |R_{0} ^{(5)} | = | \frac{1}{(\xi+1)^{6} } | * | x^{6} | * \frac{-1}{6} \end{eqnarray*}$

Ich finde es nicht..

Zitat:

Und wieso sollte die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac1{(\xi+1)^6} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (-\tfrac12,\tfrac12) \end{eqnarray*}$ positiv sein?

Achso, ich hab immer die Ableitung meiner Anfangsfunktion benutzt.
Ok, dann also die Ableitung des Faktors immer verwenden..

Edit: Und wie kann ich die Approximationsfehler jetzt miteinander vergleichen?

07.08.2013, 20:18

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen

Zitat:

Original von küb
Ich finde es nicht..

Links steht ein Betrag, rechts steht etwas Negatives...

Zitat:

Ok, dann also die Ableitung des Faktors immer verwenden..

Ja, die von $\begin{eqnarray*} \lvert f^{(n+1)}\rvert \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Edit: Und wie kann ich die Approximationsfehler jetzt miteinander vergleichen?

Was willst du denn vergleichen?

07.08.2013, 20:32

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Achso die -1/6 müsste auch positiv sein.

Zitat:

Was willst du denn vergleichen?

Naja, in der Aufgabenstellung steht ja:

"Schätzen Sie die Approimationsfehler für $\begin{eqnarray*} | x| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ab und vergleichen Sie diese miteinander."

Ich weiß nicht, wie unser Tutor das gemacht hat, aber er hat, nachdem er die Monotonie untersucht hat, immer am Ende eine Zahl als Ergebnis gehabt.. Also ohne x usw.

07.08.2013, 20:37

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Welche Abschätzungen für die Approximationsfehler hast du denn nun überhaupt? Ohne die ist das Vergleichen ziemlich unmöglich.

07.08.2013, 20:38

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Wie mach ich das denn?

07.08.2013, 20:42

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
verwirrt

verwirrt

Ich hatte doch nur gefragt, welche Ergebnisse du bisher hast. Da verstehe ich deine Frage nicht ganz...

07.08.2013, 20:47

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Naja bis jetzt hab ich ja nur auf die Monotonie schließen können..

Ich könnte noch hinzufügen:

Da $\begin{eqnarray*} f^{3} (\xi) > 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist somit $\begin{eqnarray*} | f^{3} (\xi) | < f^{3} (-\frac{1}{2} ) \end{eqnarray*}$

und

Da $\begin{eqnarray*} f^{6} (\xi) > 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist somit $\begin{eqnarray*} | f^{6} (\xi) | < f^{6} (-\frac{1}{2} ) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich denn auf "Ergebnisse" ?

07.08.2013, 20:55

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Kümmer dich nochmal um die hochgestellten Indizes: Wie müssen die aussehen? Dann berechne die oberen Schranken auch explizit.

07.08.2013, 20:57

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Ich verstehe nicht genau, was ich machen soll..

Was ist denn mit den hochgestellten Indizes?

07.08.2013, 21:26

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Die Klammern fehlen.

07.08.2013, 21:29

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Achso

Da $\begin{eqnarray*} f^{(3)} (\xi) > 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist somit $\begin{eqnarray*} | f^{(3)} (\xi) | < f^{(3)} (-\frac{1}{2} ) \end{eqnarray*}$

und

Da $\begin{eqnarray*} f^{(6)} (\xi) > 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist somit $\begin{eqnarray*} | f^{(6)} (\xi) | < f^{(6)} (-\frac{1}{2} ) \end{eqnarray*}$

Und was ist jetzt der nächste Schritt? Ich verstehe nicht, wie ich jetzt abschätzen soll..

07.08.2013, 21:30

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Ja, mit der Monotonie stimmt es so.
Und was ist denn $\begin{eqnarray*} f^{(3)}\left(-\frac12\right) \end{eqnarray*}$ ?

07.08.2013, 21:37

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Für xi kann ich -1/2 einsetzen, aber was setze ich für x ein?

07.08.2013, 21:40

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Die Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(3)} \end{eqnarray*}$ hängt von einer Variable hat. Und für die setzt du $\begin{eqnarray*} -\frac12 \end{eqnarray*}$ ein.

07.08.2013, 22:10

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Aah, jetzt verstehe ich auch, wie unser Tutor auf sein Ergebnis gekommen ist Big Laugh

Big Laugh

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} f^{(3)}\left(-\frac12\right) = -1/3 \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} f^{(6)}\left(-\frac12\right) = -1/6 \end{eqnarray*}$

07.08.2013, 22:13

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Da hast du dich verrechnet. Eben meintest du auch noch, dass die beiden Werte positiv seien.

07.08.2013, 22:15

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Ja, hab gerade gemerkt, dass ich die Betragsstriche nicht beachtet habe..

Dann 1/3 und 1/6 als Ergebnis.

07.08.2013, 22:18

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Betragsstriche?
Es geht doch um die Berechnung bzw. Vereinfachung von
$\begin{eqnarray*} f^{(3)}\left(-\frac12\right)=\frac2{(1-\frac12)^3}\,. \end{eqnarray*}$
Wo sind da Betragsstriche? Und wo kommt da ein Drittel heraus?

07.08.2013, 22:22

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Hm, ok.. Dann ist

$\begin{eqnarray*} f^{(3)}\left(-\frac12\right) = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(6)}\left(-\frac12\right) = -7680 \end{eqnarray*}$ Das wird negativ.. verwirrt

verwirrt

07.08.2013, 22:29

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Glücklicherweise wird das sowieso alles in Betragsstriche gesetzt. Jedenfalls stimmen die Werte jetzt.

Hübscher fände ich
$\begin{align*} f^{(3)}\left(-\frac12\right)&=2!\cdot 2^3\,,\\f^{(6)}\left(-\frac12\right)&=-5!\cdot2^6\,. \end{align*}$
Das kannst du jetzt in die Restgliedabschätzungen einsetzen.

07.08.2013, 22:33

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Also in

$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | = | \frac{2}{( \xi+1)^{3} }| *| x^{3} | * \frac {1}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_{0} ^{(5)} | = | \frac{1}{(\xi+1)^{6} } | * | x^{6} | * \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

?

Ich frage lieber vorher nochmal, bevor ich wieder was falsch mache..

07.08.2013, 22:37

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Naja, da kannst du nun auch $\begin{eqnarray*} \xi=-\frac12 \end{eqnarray*}$ einsetzen, wenn du $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ schreibst.
Eigentlich meinte ich
$\begin{eqnarray*} \lvert R_0^{(2)}\rvert\leq\frac{\lvert f^{(3)}(-\frac12)\rvert}{3!}\lvert x\rvert^3 \end{eqnarray*}$
und die analoge Abschätzung für die Taylor-Approximation fünfter Ordnung.

Such es dir aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.08.2013, 22:42

küb

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RE: Approximationsfehler abschätzen
$\begin{eqnarray*} | R_{0} ^{(2)} | \leq | \frac{2}{( -0,5+1)^{3} }| *| x^{3} | * \frac {1}{6} \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt mit x^3 gewesen?

07.08.2013, 22:51

Che Netzer

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RE: Approximationsfehler abschätzen
Mit $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ war nie etwas verwirrt

verwirrt

Aber nun bring das Ding auf der rechten Seite mal in eine hübschere Form.
Die Approximationsfehler sollen durch eine Konstante mal $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert^3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt werden. Solche Konstanten solltest du inzwischen bestimmen können.

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