Was ist <a,b> ?

08.08.2013, 22:21

Graf_Love

Was ist <a,b> ?

Huhu,
ich mache gerade ein Auslandssemester und es geht in Algebra um zyklische Gruppen. Nun stoße ich in einer Aufgabe (s. Bild Anhang Aufgabe 10) auf den Ausdruck
<a, b>
wobei a und b aus GL(2,Q) sind. Was ist das? Mit den anderen Aufgaben kam ich zurecht, ich denke also zu wissen was z.B. <a> ist (die 2-elementige zyklische Gruppe bestehend aus Einheitsmatrix und a).

Liebe Grüße!

08.08.2013, 22:33

watcher

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Hallo,

in der Gruppentheorie steht <A>, für A eine Teilmenge der Gruppe G, für die von A erzeugte Untergruppe, sprich die kleinste Untergruppe von G die A enthält.

Edit:

Zitat:

(die 2-elementige zyklische Gruppe bestehend aus Einheitsmatrix und a).

Nein. Wieso sollte in irgendeiner beliebigen 2-elementigen Gruppe die Einheitsmatrix enthalten sein?

08.08.2013, 22:34

micha_L

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RE: Was ist <a,b> ?
Hallo,

wegen $\begin{eqnarray*} \mathrm{GL}(2;\mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ bemühe google!

$\begin{eqnarray*} \langle.\rangle \end{eqnarray*}$ bedeutet je nach Kontext eine erzeugte Unterstruktur (hier also die von den entsprechenden Elemente erzeugte Untergruppe).

Mfg Michael

08.08.2013, 22:50

Reksilat

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Zitat:

Original von watcher
Edit:

Zitat:

(die 2-elementige zyklische Gruppe bestehend aus Einheitsmatrix und a).

Nein. Wieso sollte in irgendeiner beliebigen 2-elementigen Gruppe die Einheitsmatrix enthalten sein?

Das Element a ist in der Aufgabenstellung vorgegeben – insofern hat Graf_Love da recht mit der Einheitsmatrix.

Gruß
Reksilat

08.08.2013, 22:57

watcher

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@Reksilat:
Die stehen 2 Aufgaben, beide haben ein a in der Aufgabenstellung.
Ich sehe nirgendwo die Frage nach <a>.
Gut Graf_Love hat Aufgabe 10 dazugeschrieben, eindeutig find ich das aber nicht.
Aber anscheinend verstehe ich eh den ganzen Post falsch.

08.08.2013, 23:27

Graf_Love

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Hallo und danke für die schnellen Antworten, Reksilat hat mich richtig verstanden, ich habe mich auf das gegebene a aus Aufgabe 10 bezogen, hätte das mit Latex klargemacht, wenn ich hier nicht nur mit meinem Handy unterwegs wäre...

Meine einzige Frage ist die, was <a,b> bedeutet, gerne auch speziell für das gegebene a und b aus Aufgabe 10 (s.o.) und die wurde leider nicht beantwortet. Den Rest habe ich nur geschrieben, um Kontext zur Orientierung zu geben! :-)

Bei google und Wikipedia konnte ich leider nichts dazu finden, deshalb bitte ich nun euch um Hilfe!

09.08.2013, 04:04

Graf_Love

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Ich habe nochmal über watchers Antwort nachgedacht - heißt das, dass <a, b> mit Bezug auf Aufgabe 10 die von $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erzeugte Teilmenge von Q2x2 ist, die die Gruppe GL(2,<a,b>) bildet? Also die 6 Matrizen, die durch wildes beliebiges Kombinieren von a und b miteinander gebildet werden können? Diese Frage zielt auf meine Ursprungsfrage ab, was in Bezug auf Nummer 10 (siehe Bild Post #1) <a,b> bedeutet. Ich dachte, dass <X> und analog auch ein mir noch nicht verständliches <X,Y> immer eine zyklische Menge, die mit der gegebenen Verknüpfung eine $\begin{eqnarray*} zyklische \end{eqnarray*}$ Gruppe bildet, erzeugen muss!

Sorry, wenn das völliger Qutasch ist, aber ich weiß nicht, ob <a> nun eine Menge erzeugt, oder eine Menge mit Verknüpfung oder eine Menge mit Verknüpfung, die zusammen eine Gruppe bilden... Eine präzise Formulierung in einer Antwort wäre toll :-) Wenn immer noch unklar sein sollte, was ich meine (ich dachte ich hätte mich sehr deutlich ausgedrückt), dann sagt mir bitte wo es hakt! Danke soweit schonmal!

09.08.2013, 07:31

micha_L

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Hallo,

Zitat:

Original von Graf_Love
Ich habe nochmal über watchers Antwort nachgedacht - heißt das, dass <a, b> mit Bezug auf Aufgabe 10 die von $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erzeugte Teilmenge von Q2x2 ist, die die Gruppe GL(2,<a,b>) bildet? Also die 6 Matrizen, die durch wildes beliebiges Kombinieren von a und b miteinander gebildet werden können? Diese Frage zielt auf meine Ursprungsfrage ab, was in Bezug auf Nummer 10 (siehe Bild Post #1) <a,b> bedeutet. Ich dachte, dass <X> und analog auch ein mir noch nicht verständliches <X,Y> immer eine zyklische Menge, die mit der gegebenen Verknüpfung eine $\begin{eqnarray*} zyklische \end{eqnarray*}$ Gruppe bildet, erzeugen muss!

Sorry, wenn das völliger Qutasch ist, aber ich weiß nicht, ob <a> nun eine Menge erzeugt, oder eine Menge mit Verknüpfung oder eine Menge mit Verknüpfung, die zusammen eine Gruppe bilden... Eine präzise Formulierung in einer Antwort wäre toll :-) Wenn immer noch unklar sein sollte, was ich meine (ich dachte ich hätte mich sehr deutlich ausgedrückt), dann sagt mir bitte wo es hakt! Danke soweit schonmal!

Siehst du, und auch ich hatte doch gedacht, mich unmissverständlich ausgedrückt zu haben:
Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ irgendeine Algebra (Gruppe, Ring, Vektorraum, etc), $\begin{eqnarray*} X\subseteq A \end{eqnarray*}$ irgendeine Teilmenge, dann ist $\begin{eqnarray*} \langle X\rangle \end{eqnarray*}$ die kleinste Unteralgebra (also Untergruppe, Unterring, etc), die die Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ enthält.

In deinem Fall ist also tatsächlich $\begin{eqnarray*} \langle a,b\rangle \end{eqnarray*}$ die von den beiden Elementen erzeugte Untergruppe. Zyklisch kann diese nur dann sein, wenn zum Erzeugen schon nur eines der Elemente ausgereicht hätte. In den allermeisten Fällen dürfte so eine Untergruppe eben nicht mehr zyklisch sein.

Insbesondere wird also eine Menge erzeugt aufgrund einer gegebenen Verknüpfung, sodass eine (Unter-) Gruppe entsteht.

Sicher ist der Operator $\begin{eqnarray*} \langle.\rangle \end{eqnarray*}$ aber auch in eurer Vorlesung definiert worden. Ein Blick in die Mitschrift hätte eigentlich keine Frage offen lassen dürfen.

Mfg Michael

09.08.2013, 10:04

Graf_Love

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Danke für die Antworten, besonders dir, Micha, danke für's Zeitnehmen für eine solch ausführliche Antwort, die mir sehr weitergeholfen hat! Jetzt kann ich mich an's Beweisfinden machen. Einen guten Beweis und nicht einfach nur alle möglichen Kombinationen hinzuschmieren ;-)

Der Operator $\begin{eqnarray*} <.> \end{eqnarray*}$ erzeugt also eine Gruppe und für mehr als ein Element in $\begin{eqnarray*} <> \end{eqnarray*}$ i.d.R. keine zyklische. Um mich bezüglich der Mitschrift zu rechtfertigen: Der Operator wurde sehr dürftig beschrieben (s. Bild im Anhang). Da bleibt die Frage offen, was passiert, wenn man nicht bloß ein Element der Gruppe in den $\begin{eqnarray*} <> \end{eqnarray*}$ hat. Die Stelle ist die erste, an der er im Skript auftaucht. Ich nehme an, dass er bereits in einem vorangehenden Mathekurs vorkam, ich bin eben im Auslandssemester ziemlich in den Konflikt mit den Vorkenntnissen der anderen, die natürlich nicht gleich mit meinen aus den deutschen Kursen sind, reingeworfen. Für gewöhnlich gehöre ich zu den guten Studenten und bemühe mich immer sehr um ein gutes Verständnis, statt nur Klausuren zu bestehen ;-)

Liebe Grüße und danke nochmal!

10.08.2013, 18:31

mathinitus

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Zitat:

Original von micha_L
In deinem Fall ist also tatsächlich $\begin{eqnarray*} \langle a,b\rangle \end{eqnarray*}$ die von den beiden Elementen erzeugte Untergruppe. Zyklisch kann diese nur dann sein, wenn zum Erzeugen schon nur eines der Elemente ausgereicht hätte. In den allermeisten Fällen dürfte so eine Untergruppe eben nicht mehr zyklisch sein.

Warum das?

10.08.2013, 20:43

Reksilat

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Die Aussage stimmt nicht. So wird $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ erzeugt, aber keines dieser Elemente ist allein ein Erzeuger der ganzen Gruppe.

Gruß
Reksilat

10.08.2013, 20:44

mathinitus

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Zitat:

Original von Reksilat
Die Aussage stimmt nicht. So wird $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ erzeugt, aber keines dieser Elemente ist allein ein Erzeuger der ganzen Gruppe.

Gruß
Reksilat

Genau darauf wollte ich hinaus.

Wobei du sicherlich $\begin{eqnarray*} 2+6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3+6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ meintest.

11.08.2013, 13:26

micha_L

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Hallo,

tja, da war ich ein bisschen voreilig.
Eine von zwei (oder mehr) Elementen kann natürlich auch zyklisch sein, selbst wenn diese Untergruppe echt größer ist als diejenige(n) von den beiden Elementen allein erzeugten. geschockt

Trotz allem bleibt die Aussage korrekt, dass die von mehr als einem Element erzeugte Untergruppe im allgemeinen nicht mehr zyklisch ist, wofür man zum Beleg aber auf eine selbst nicht zyklische Gruppe zurückgreifen muss, da alle Untergruppen zyklischer Gruppen ja selbst wieder zyklisch sind.

@Graf_Love: Mir ist bei deinem Schnipsel noch eine Kleinigkeit aufgefallen. Du musst an die falsche Stelle des Scripts geschaut haben!
$\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \end{eqnarray*}$ ist nicht wirklich die Definition des Operators $\begin{eqnarray*} \langle.\rangle \end{eqnarray*}$ . Vielmehr wird in dieser Definition auf die von $\begin{eqnarray*} \langle X\rangle \end{eqnarray*}$ (mit einer Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ) zurückgegriffen.
Schau also an der entsprechenden Stelle nach, dort erfährst du letztlich die volle Definition. Der von dir angegebene Schnipsel spezialisiert nur auf von einem Element erzeugte Untergruppen. Und ja, die sind (definitionsgemäß) zyklisch.

Mfg Michael

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