Lokaler Diskretisierungsfehler Heun Verfahren

09.08.2013, 15:33	Moe.Lee	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokaler Diskretisierungsfehler Heun Verfahren Meine Frage: Hallo, Ich versuche mich gerade an Fehlerabschätzungen, bin mir aber ziemlich unsicher. Gegeben habe ich das Verfahren: $\begin{eqnarray} y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}h(f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n))) \end{eqnarray}$ Die Fehlerabschätzung habe ich definiert als: $\begin{eqnarray} \tau(t,x;h)=\frac{1}{h}(\psi_{t+h,t}(x)-\hat\psi(t,x;h))=\frac{1}{h}(\psi_{t+h,t}(x)-x)-\Phi(t,x;h) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi_{t+h,t}(x)=x+hf(t,x)+\frac{h^2}{2}\ddot x(t)+O(h^3) \end{eqnarray}$ Hier geht die Verwirrung schon los, da der Lokale Diskretisierungsfehler überall anders definiert zu sein scheint. Bei uns steht auch teilweise "Lokaler Entwicklungsfehler", ist das äquivalent? Meine Ideen: Ich habe das ganze mal ausprobiert, denke aber das ist so nicht richtig. $\begin{eqnarray} \tau(x,y;n)=\frac{1}{h}(y+h(f(x_n,y_n)+\frac{h^2}{2}y''+O(h^3)-y)-\frac{1}{2}(f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n)))<br /> =\frac{1}{2}f(x_n,y_n)+\frac{h}{2}y''+O(h^2)-\frac{1}{2}f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n)) \end{eqnarray}$ Nach einem Beispiel im Skript wäre der Fehler jetzt $\begin{eqnarray} O(h) \end{eqnarray}$ "weil $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ so schnell gegen Null geht wie der Term, der am langsamsten gegen Null geht (frac{h}{2}y'')" Damit wäre das Verfahren 1. Ordnung? Das Heun-Verfahren ist aber 2. Ordnung? Wie weit muss ich Taylor Entwicklung in $\begin{eqnarray} \psi_{t+h,t}(x)=x+hf(t,x)+\frac{h^2}{2}\ddot x(t)+O(h^3) \end{eqnarray}$ wählen? Bin für jede Hilfe Dankbar. Links zu verständlichen Definition nehme ich auch gerne. Gruß, Mohammed
10.08.2013, 12:06	Moe.Lee	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe das ganze nochmal neu probiert, und komme jetzt auf $\begin{eqnarray} O(2) \end{eqnarray}$ . Allerdings zweifel ich noch an der korrektheit der Lösung. $\begin{eqnarray} \psi_{t+h,t}(x)=y+hf(x,y)+\frac{h^2}{2}(\delta _x f(x_n,y_n)+D_y f(x_n,y_n)f(x_n,y_n))+O(h^3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi=\frac{1}{2}f(x_n,y_n)+\frac{1}{2}(f(x_n,y_n)+\delta_x hf(x_n,y_n)+hD_yf(x_n,y_n)f(x_n,y_n)+O(h^2)) \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} \tau(x,y;h)=f(x,y)+\frac{h}{2}(\delta _x f(x_n,y_n)+D_y f(x_n,y_n)f(x_n,y_n))+O(h^2)<br /> -[\frac{1}{2}f(x_n,y_n)+\frac{1}{2}(f(x_n,y_n)+\delta_x hf(x_n,y_n)+hD_yf(x_n,y_n)f(x_n,y_n)+O(h^2)) ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{h-1}{2}O(h^2) \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} O(2) \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Ergibt für mich schon einmal mehr Sinn, da nur noch Terme mit $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ vorhanden sind. Gruß, Mohammed edit: Irgendwie ist das doch wieder fast das gleiche wie die Konsistenzordnung?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »