Verständnis Zusammenhänge der Eintrage in Butcher Array

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Clapeyron Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnis Zusammenhänge der Eintrage in Butcher Array
Meine Frage:
Hallo!

Meine Kommilitonen und ich lernen momentan für numerische Mathematik und es gibt Unstimmigkeit über die Zusammenhänge der Einträge in Butcher Arrays.

In der bekannten Darstellung:
Obere linke Spalte = Koeffizienten der Schrittweite
Obere rechte Spalten = Koeffizienten zur Berechnung der Zwischenschritte
Untere Zeile = Gewichtung der Zwischenschritte

Gibt es Fälle des Butcher Arrays in denen der größte Koeffizient der Schrittweite größer oder kleiner 1 ist?
Wenn das möglich ist, ist es korrekt, dass die Gewichtungen der Zwischenschritte in Summe gleich dem größten Koeffizienten der Schrittweite sein müssen?

Meine Ideen:
Die Frage kommt auf, da es Altklausuren gibt, in denen unvollständige Butcher Arrays vervollständigt werden sollen.
Wir sind zum einen nicht sicher ob im letzten Eintrag des Koeffizienten der Schrittweite immer 1 stehen muss, oder ob das Array beispielsweise nur bis zur Hälfte oder dem doppelten Betrag der Schrittweite definiert sein kann.
Davon hängt auch die Frage nach der Summe der Koeffizienten der Zwischenschritte ab.
Manche gehen davon aus, dass die Summe stets 1 sein muss, andere glauben, dass dies nicht immer der Fall sein muss, sondern sich am größten Koeffizienten der Schrittweite orientiert und somit wohlmöglich abweichen kann.
Wir haben bisher jedoch nur Aufgaben mit letztem = größten Koeffizienten der Schrittweite = 1 = Summe der Gewichte der Zwischenschritte gesehen.

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
Frehmen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Clapeyron

Die Summe der Gewichte sollte stets 1 sein, ansonsten ist das RK-Vefahren nicht konsistent (also völlig unbrauchbar). Ansonsten gibt es keine Forderungen an die Einträge des Butcher-Tableaus außer man will, dass das Verfahren zusätzliche Eigenschaften hat.

Ein RK-Verfahren ist invariant gegenüber autonomisierung genau wenn
Ein RK-Verfahren ist symmetrisch/reversibel genau wenn

Ist in euren tests nur ein unvollständiges Tableau gegeben?
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