Erzeugende Elemente und Untergruppen von zyklischer Gruppe

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Einwegflasche Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugende Elemente und Untergruppen von zyklischer Gruppe
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben und leider durch mein Skript nicht sonderlich viel Hilfestellung zur Lösung.

»Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung 12 mit dem erzeugenden Element z.
- Geben Sie die Anzahl der Untergruppen von G an.
- Geben Sie für jede Untergruppe U das erzeugende Element u in Abhängigkeit von z an.«

Meine Ideen:
Wie komme ich nun auf die Untergruppen? Meines Wissens nach muss ein Untergruppe unter den Gruppenoperationen (+,*) abgeschlossen sein.
Ich vermute nun also folgende 5 Untergruppen:


Ich nehme nun an, dass meine 5 Untergruppen korrekt sind.

Das erzeugende Element einer Gruppe soll durch potenzieren alle anderen Elemente der Gruppe erzeugen. Durch etwas überlegen und ausprobieren bin ich in der Obergruppe mit Ordnung 12 auf die Idee gekommen, dass das erzeugende Element z die 11 sein müsste.

Bei den vermuteten Untergruppen wäre es 0, 6, 3, 4 und 2. In irgendeiner weise habe ich nun also die Abhängigkeit zu z durch Wie komme ich nun auf die Untergruppen? Meines Wissens nach muss ein Untergruppe unter den Gruppenoperationen (+,*) abgeschlossen sein.
Ich vermute nun also folgende 5 Untergruppen:


Ich nehme nun an, dass meine 5 Untergruppen korrekt sind.

Das erzeugende Element einer Gruppe soll durch potenzieren alle anderen Elemente der Gruppe erzeugen. Durch etwas überlegen und ausprobieren bin ich in der Obergruppe mit Ordnung 12 auf die Idee gekommen, dass das erzeugende Element z die 11 sein müsste.

Bei den vermuteten Untergruppen wäre es 0, 6, 3, 4 und 2. In irgendeiner weise habe ich nun also die Abhängigkeit zu z durch Wie komme ich nun auf die Untergruppen? Meines Wissens nach muss ein Untergruppe unter den Gruppenoperationen (+,*) abgeschlossen sein.
Ich vermute nun also folgende 5 Untergruppen:


Ich nehme nun an, dass meine 5 Untergruppen korrekt sind.

Das erzeugende Element einer Gruppe soll durch potenzieren alle anderen Elemente der Gruppe erzeugen. Durch etwas überlegen und ausprobieren bin ich in der Obergruppe mit Ordnung 12 auf die Idee gekommen, dass das erzeugende Element z die 11 sein müsste.

Bei den vermuteten Untergruppen wäre es 0, 6, 3, 4 und 2. In irgendeiner weise habe ich nun also die Abhängigkeit zu z durch .
Doch kann ich das nicht formell in Abhängigkeit zu meinen Gruppen setzen.

Kann mir hier jemand weiterhelfen?
micha_L Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugende Elemente und Untergruppen von zyklischer Gruppe
Hallo,

zunächst einmal fällt mir auf, dass etliche Absätze deines postings irgendwie mehrfach auftauchen. Dadurch fällt das Lesen schwerer!
Weiters sprichst du von mehreren (?) Gruppenoperationen, oder verstehe ich schon das falsch?
Zitat:
Meines Wissens nach muss ein Untergruppe unter den Gruppenoperationen (+,*) abgeschlossen sein.


Mein Tipp zunächst (um auch Ordnung in des vermutete Chaos in deinem Kopf zu bringen) ist folgender:
Da jede zyklische Gruppe endlicher Ordnung durch eine Restklassengruppe repräsentiert werden kann (wie du auch schon versuchst hast), orientiere dich an , die ja bis auf Isomorphie die einzige derartige Gruppe ist.

Erzeugende Elemente hat diese mehrere, die Restklasse gehört sicher dazu. Es gibt aber noch mehr. Hinweis: ggT und euklidischer Algorithmus!

Da eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist, musst du dir also nur die von jedem Element (jeder Restklasse) erzeugte Untergruppe anschauen! Übrigens: Die ganze Gruppe ist auch eine Untergruppe ihrer selbst!

Mfg Michael
Einwegflasche Auf diesen Beitrag antworten »

Oh,

danke für den Hinweis. Da ist wohl beim Posten etwas schief gelaufen. Vielleicht kann da ein Moderator einfach mal die ersten beiden Kopien von »Meine Idee«
entfernen. Ich kann es leider nicht mehr.

Danke auch für den Hinweis bzgl. ggT und euklidischer Algorithmus.
Einwegflasche Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid für den Doppelpost, leider kann ich meinen alten Beitrag mal wieder nicht mehr editieren.

Ich stelle nun fest, meine Gruppe hat 6 Untergruppen einschließlich ihrer selbst.

Die Gruppe G hat auch ein erzeugenden Element z. Nun muss ich den Erzeuger u der Untergruppen U in Abhängigkeit von z beschreiben.

Mein Lösung hierfür ist nun .


Diese Lösung funktioniert derzeit leider für den Fall, dass . Da ich aber bisher keine anderen Erzeuger dingfest machen konnte, bin ich mir nicht sicher wie ich diese Formel allgemein für G und alle U aufstellen kann.
micha_L Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sicher ist dir klar, dass die Mächtigkeiten der Untergruppen jeweils Teiler der Mächtigkeit der gesamten Gruppe sind.
Fällt dir auch auf, dass es zu jedem Teiler der Gruppenordnung GENAU eine Untergruppe mit entsprechender Mächtigkeit gibt? (Das gilt genau für die zyklischen Gruppen!)

Ein Erzeuger von ist ja offenbar .
Schreib dir doch bitte mal alle möglichen Erzeuger einer Untergruppe in Abhängigkeit der Ordnung der Untergruppe auf. Fällt dir was auf?

Mfg Michael
Einwegflasche Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von micha_L
Schreib dir doch bitte mal alle möglichen Erzeuger einer Untergruppe in Abhängigkeit der Ordnung der Untergruppe auf. Fällt dir was auf?




Damit könnte ich das nun in darstellen als

Aber ich habe immer noch den Spezialfall .
Wie ich damit umgehen soll ist mir noch nicht klar. Wie soll ich denn damit umgehen? Oder benenne ich das einfach als Spezialfall?
 
 
micha_L Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

in gilt doch für alle .
Damit passt's doch wieder!

Mfg Michael
Einwegflasche Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von micha_L
in gilt doch für alle .

Ah, stimmt natürlich. Da war ich jetzt gedanklich nicht in der Restklasse.

Vielen Dank für die nette Hilfe
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