Erwartungswert Standardnormalverteilung

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LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Standardnormalverteilung
Meine Frage:
Hey,
ich habe gerade versucht eine alte Klausuraufgabe zu lösen, bei der ich aber nicht mehr weiter komme...vielleicht kann mir jemand helfen...

Die Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt, die Wahrscheinlichkeitsdichte von X ist also gegeben durch [latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2*\pi } } *e^{-0,5x^{2} } [/latex] , x aus den reellen Zahlen.
Somit ist die Dichte von [latex]|X| [/latex] gegeben durch [latex]f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi } } *e^{-0,5x^{2} } [/latex] für x>0 und f(x)=0 sonst. Nun soll man den Erwartungswert von [latex]|X| [/latex] und [latex]E(|X|^2) [/latex] berechnen.

Meine Ideen:
[latex]E|X|=\sqrt{\frac{2}{\pi } } [/latex].
Probleme habe ich nun bei der Berechnung von [latex]E(|X|^2) [/latex]...
Mein Ansatz: [latex]E(|X|^2)= E(X^2) = \int_0^\infty  \! x^{2} * \sqrt{\frac{2}{\pi } } *e^{-0,5x^{2} }  \, dx  [/latex]
Ich bin jetzt schon auf die verschiedensten Weisen vorgegangen, aber das Integral wird immer komplizierter und ich weiß, dass 1 herauskommen muss (aber ein Lösungsweg zu der Klausuraufgabe ist nicht vorgegeben).
Vielleicht kann mir jemand sagen, wie ich am besten weitermachen kann, ohne dass das Integral immer komplexer wird ;-)

Vielen Dank schon einmal!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert Standardnormalverteilung
Versuch es mit partieller Integration und [l]x^2\mathrm e^{-\frac{x^2}2}=x\cdot x\mathrm e^{-\frac{x^2}2}[/l].
 
 
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert Standardnormalverteilung
Die Idee hatte ich auch schon.
Und ich versuche es auch schon die ganze Zeit, aber ich scheiter schon ganz früh...
Soll ich für die partielle Integration g(x)=x und f´(x)= [latex] x*\sqrt{\frac{2}{\pi } } *e^{-0,5x^{2} }  [/latex] setzen?
Oder gibt es einen geschickteren Weg? und wie leite ich dann auf sodass ich f(x) erhalte?

Sry aber ich bin echt gerade überfordert...
Vielen lieben Dank!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert Standardnormalverteilung
"Aufleiten" sollst du schonmal gar nicht. Das heißt "integrieren".
Und du hast doch schon zur Berechnung von [l]\mathbb E\lvert X\rvert[/l] eine Stammfunktion von [l]x\mathrm e^{-\frac{x^2}2}[/l] finden müssen.
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar...aber dort habe ich doch schon die Grenzen eingesetzt...und ich muss doch erst g*f berechnen bevor ich dann die Grenzen einsetzte, das ist gerade mein Problem...
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Und dort habe ich mit Substitution gearbeitet...und ich kann ja keine x und y vermischen...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Und welche Stammfunktion hast du da erhalten?
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Mein letzter Schritt bei der Berechnung des Erwartungswertes vom Betrag von X sah wie folgt aus:
[latex] \sqrt{\frac{2}{\pi } } \int_0^\infty  \! e^{-y}  \, dy/[/latex] da ich zuvor mit y= 0,5x^2 substituiert habe...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann bilde mal das unbestimmte Integral und setz [l]y=\frac{x^2}2[/l] wieder ein.
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. ich soll jetzt [latex]\int_0^\infty  \! 2y\sqrt{\frac{2}{\pi } }  \*e^{-y}*\frac{1}{2y}  , dy  [/latex] berechnen?
Da kann man ja zu [latex]\sqrt{\frac{2}{\pi } }\int_0^\infty  \! \sqrt{y} \  \*e^{-y}  , dy [/latex] vereinfachen oder?
Und wie gehe ich dann sinnvoll vor? Ich habe das Problem dass mich die Wurzel immer stört...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Wurzel stört mich auch. Wo bitte kommt die denn her?
Ist denn
[l]\frac{2y}{2y}=\sqrt y\,?[/l]

Edit: Außerdem ist das kein unbestimmtes Integral.
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, aber ich hab mich ausversehen schon oben vertippt...wenn man richtig substituiert dann steht da doch [latex]\int_0^\infty \! 2y\sqrt{\frac{2}{\pi } } \*e^{-y}*\frac{1}{\sqrt{2y} } , dy [/latex] oder bin ich falsch?
Und das würde doch dann auf die Zeile führen die ich danach getippt hatte oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@LisaFee

Die Substitution zu [l]y[/l] hin und zurück kannst du dir sparen. Erinnere dich lieber an das bekannte Gesamtintegral über die Standardnormalverteilungsdichte

[l]\int\limits_0^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x = \frac{1}{2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}[/l] .


EDIT: Ja klar, das war für den Schritt nach der partiellen Integration gedacht.
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich endgültig völlig verwirrt, also mein Ziel ist es doch [latex]E(|X|^2)= E(X^2) = \int_0^\infty \! x*x * \sqrt{\frac{2}{\pi } } *e^{-0,5x^{2} } \, dx [/latex] zu berechnen, und dass soll ich jetzt nicht mit einer Substitution machen? Wie soll ich denn jetzt beginnen? Mit einer partiellen Integration? Ich weis gar nicht wo ich das [latex]\int\limits_0^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x = \frac{1}{2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}[/latex] unterbringen soll...
Sry aber jetzt bin ich total verwirrt...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LisaFee
Mit einer partiellen Integration?

Ja, habe ich doch von Anfang an geschrieben.
Und dazu benötigst du eine Stammfunktion von [l]x\mathrm e^{-\frac{x^2}2}[/l]. Die kann man durch Substitution bestimmen oder einfach erraten (beachte die Kettenregel).
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Stammfunktion suche ich ja schon seit Anfang an...und die wäre -e^-0,5x^2?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Na bitte.
Schaffst du dann die restliche Rechnung?
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz habe ich es noch nicht verstanden...
Also ich setzte:
g(x)=x
g´(x)=1
f´(x)= [latex] x*\sqrt{\frac{2}{\pi } } *e^{-0,5x^{2} } [/latex]
f(x)=[latex] -e^{-0,5x^{2} } *\sqrt{\frac{2}{\pi } } [/latex]

D.h. nach partieller Integration ergibt sich:

[latex]\left[-x*e^{-0,5x^{2} } *\sqrt{\frac{2}{\pi } } \right]_{0}^{\infty }   -<br />
\int_0^\infty  \! -e^{-0,5x^{2} } *\sqrt{\frac{2}{\pi } } \, dx [/latex]...ist das richtig? Da kommt bei mir aber nicht 1 heraus...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was du jetzt tun kannst, hat dir Hal ja schon geschrieben Augenzwinkern
Bei mir kommt durchaus Eins raus.
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, stimmt vergessen, dann ist es klar, dann kommt 1 raus...

Vielen Dank für die Mühe!
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage hätte ich zum Abschluss noch, wie komme ich drauf dass [latex] \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x = 2*\pi [/latex] ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du die Wurzel vergessen.

Naja, dazu benutzt man meist mehrdimensionale Integralrechnung.
Ich habe mir hier aber mal den Spaß erlaubt, das mithilfe der Fourier-Transformation nachzuweisen.
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hab ich eben auch gemerkt...sry...
Wenn mans in die Dichtefunktion der Normalverteilung einsetzt kommt auch das richtige raus...;-)

Supi, danke!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LisaFee
Wenn mans in die Dichtefunktion der Normalverteilung einsetzt kommt auch das richtige raus...;-)

Hä, was? Begründest du den Wert dieses Integrals damit, dass [l]\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{x^2}2}[/l] eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist?
Letztere beweist man aber mit ersterem – nicht umgekehrt.
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Nein nein, aber in der Aufgabe ist doch am Anfang die Wahrscheinlichkeitsdichte von x schon gegeben...d.h. man muss ja nur noch einsetzen...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was setzt du worin ein, um was zu erhalten?
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Generell gilt ja dass das Integral über f(x) mit den Grenzen - und + unendlich = 1 ergibt und wenn man in diese Gleichung unser gegebenes f(x) einsetzt erhällt man doch das richtige Ergebnis...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und ich sagte ja, dass das so nicht funktioniert. Um zu wissen, dass [latex]\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{x^2}2}[/latex] eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, muss man zuerst wissen, dass [l]\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\frac{x^2}2}\dx=\sqrt{2\pi}[/l] ist.
Andersrum geht es nicht.
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Aber man weis doch dass das eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, das steht doch in der Aufgabenstellung...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Und was glaubst du, wieso die Aufgabensteller wissen, dass es eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist? Weil das so auf Wikipedia steht oder was? Augenzwinkern

Dass etwas in einer Aufgabenstellung behauptet wird, ist noch kein Beweis. (Edit: Obwohl du es dann natürlich benutzen darfst, wenn nicht anders gefordert)
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wenn das so in der Aufgabe steht darf ich das wohl in der Klausur voraussetzen...ich werd ja wohl nich noch mehr machen als ich eh schon zu bearbeiten habe ;-)
LisaFee Auf diesen Beitrag antworten »

Generell hast du natürlich recht, aber ich mache mir das Leben etwas einfacher ;-)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die genaue Formulierung der Klausuraufgabe ist LisaFee schuldig geblieben. Aber da von einer Wahrscheinlichkeitsdichte die Rede ist, sollte klar sein, daß das Integral über die volle Menge der reellen Zahlen [latex]1[/latex] ergibt. Es ist nicht Aufgabe, dieses herzuleiten.
Die Dichte [latex]\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2} x^2}[/latex] der Standardnormalverteilung erfüllt nach der Kettenregel die Differentialgleichung

[latex]\varphi'(x) = - x \cdot \varphi(x)[/latex]

Wegen der Geradheit von [latex]\varphi(x)[/latex] folgt weiter: [latex]\int_0^{\infty} \varphi(x) ~ \dd x = \frac{1}{2}[/latex]

Und wenn man jetzt den Tip von Che Netzer aus seinem ersten Beitrag beachtet, ist man mit partieller Integration schnell am Ziel:

[latex]\mathcal{E}(X^2) = \int_0^{\infty} x^2 \cdot 2 \varphi(x) ~ \dd x = 2 \int_0^{\infty} (-x) \cdot \varphi'(x) ~ \dd x = 2 \cdot \left( \underbrace{ \left. (-x) \varphi(x) \right|_0^{\infty}}_0 + \underbrace{\int_0^{\infty} \varphi(x) ~ \dd x}_{\frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1[/latex]

In der Rechnung braucht man, daß [latex]x \varphi(x)[/latex] für [latex]x \to \infty[/latex] gegen [latex]0[/latex] strebt. Das ist aber klar, weil in einem Produkt exponentielles Wachstum (Fallen) polynomiales Wachstum schlägt.
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