Lehrsatz beweisen

14.08.2013, 19:50	Gast13	Auf diesen Beitrag antworten »
Lehrsatz beweisen Meine Frage: Hallo zusammen. Ich habe gerade ein ziemliches Problem damit folgende Aufgabe zu lösen: Beweisen Sie den Lehrsatz: In einem geraden Pyramidenstumpf mit rechteckigen Grund- und Deckflächen werden die Raumdiagonalen von ihrem gemeinsamen Schnittpunkt in demselben Verhältnis geteilt, in dem die entsprechenden Seiten der Grund- und Deckenfläche stehen. Meine Ideen: Tue mich generell schwer mit Beweisen und hab wohl auch aus diesem Grund leider überhaupt keinen Ansatz. Wäre für Hilfe dankbar!
14.08.2013, 22:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ist einmal $\begin{eqnarray} \vec c = \vec b - \vec a \end{eqnarray}$ Mit Hilfe der linearen Unabhängigkeit der Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ zeigst du, dass $\begin{eqnarray} s = r \end{eqnarray}$ gilt. Danach teilt der Schnittpunkt die Raumdiagonalen im Verhältnis $\begin{eqnarray} 1 : r = \vec a : (r \cdot \vec a) \ = \ 1 : s = \vec b : (s \cdot \vec b) \end{eqnarray}$ mY+
15.08.2013, 20:20	Gast13	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für deine Antwort! Aber leider verstehe ich noch immer nur Bahnhof $\begin{eqnarray} \vec c = \vec b - \vec a \end{eqnarray}$ Hmm.. Vllt gehe ich schon von Anfang an falsch an die Afg. ran, aber wenn ich mir die Abbildung so ansehe, wäre c dann nicht viel kürzer? Habe mal etwas gegoogelt und scheinbar wurde die Aufgabe schon ein paar mal gestellt. Irgendwo bin ich dann auf das Stichwort "Vektorzug" gestoßen. Und ein gewisser Steve schrieb dort folgendes: "du suchst dir eine ecke aus, an der du anfängst, gehst alle stecken entlang, die dich "interessieren" und endest in der anfangsecke. ein beispiel: (angefangen in der vorderen rechten ecke) a + c + cs + ra - bs - b = 0 " Das klingt logisch, nur wie kommt er darauf? Bzw. woher weiß er dass dies 0 ergibt, bzw. der Vektorzug dann geschlossen ist?
15.08.2013, 20:45	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du eine Besichtigung in einer Stadt machst und wieder auf Umwegen zurückfindest, dann ist das ein geschlossener Vektorzug. Und deine Ortsveränderung ist dann Null.
15.08.2013, 21:46	Gast13	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm.. Das klingt logisch^^ Aber woher weiß ich welche "Wege" ich dafür gehen muss? Also warum nicht z.B. auch so: b + sb - ra - sc - c - a = 0 ?
15.08.2013, 22:13	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, warum nicht ? Hauptsache der Weg enthält alle parametrisierten Vektoren.
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16.08.2013, 21:14	Gast13	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, Und das ist der ganze Beweis?? Das erscheint mir als zu schön um wahr zu sein.
17.08.2013, 06:02	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
so einfach ist es nicht. $\begin{eqnarray} \vec b + s\vec b - r\vec a - s\vec c - \vec c - \vec a = \vec 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec b (1+s) +\vec c (-1-s) + \vec a (-1-r)= \vec 0 \end{eqnarray}$ setzt man nun noch $\begin{eqnarray} \vec c=\vec b -\vec a \end{eqnarray}$ ein: $\begin{eqnarray} \vec b (1+s) +(\vec b -\vec a) (-1-s) + \vec a (-1-r)= \vec 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec b (1+s) +(-\vec b +\vec a-s\vec b +s\vec a) + \vec a (-1-r)= \vec 0 \end{eqnarray}$ jetzt Zusammenfassen und Ausklammern: $\begin{eqnarray} \underbrace {( \cdots \cdots )}_{=\lambda} \vec a + \underbrace {( \cdots \cdots )}_{=\mu} \vec b = \vec 0 \end{eqnarray}$ das enthält nur noch die erwiesenermassen linear unabhängigen Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b \end{eqnarray}$ Welcher Satz gilt jetzt bezüglich $\begin{eqnarray} \lambda , \mu \end{eqnarray}$ ?

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