Schnitt von Sylow Untergruppen

15.08.2013, 11:55

steviehawk

Schnitt von Sylow Untergruppen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe eine Frage zu Sylow - Untergruppen.

Ich habe eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |G| = pq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ sind prim und $\begin{eqnarray*} p < q \end{eqnarray*}$ Zudem ist $\begin{eqnarray*} q \not\equiv 1 mod p \end{eqnarray*}$

Ich habe auch schon raus gefunden, dass je eine p - Sylow - Untergruppe und eine q - Sylow - Untergruppe gibt. Diese sind also auch Normalteiler. Ich nenne sie mal $\begin{eqnarray*} P , Q \end{eqnarray*}$ Ich weiß auch, dass die beiden zyklisch sind, da sie Primzahlordnung haben und damit sind sie auch abelsch.. soweit so gut

Ich weiß auch, dass wenn beim Produkt zweier Untergruppen eine der beiden Untergruppen ein Normalteiler ist, dass das Produkt dann wieder eine Utergruppe ist, also: $\begin{eqnarray*} P \cdot Q \leq G \end{eqnarray*}$

Jetzt steht in der Lösung dabei, dass $\begin{eqnarray*} P \cap Q = {1} \end{eqnarray*}$ ist.

Woran liegt das genau?

Meine Ideen:
Ich habe 3 Möglichkeiten woran es liegen könnte:

1) Das ist immer so bei Sylow - Untergruppen
2) Das ist immer so bei Normalteilern
3) Das ist immer so bei zyklischen Gruppen

Danke für die Hilfe!!

EDIT:

Also ich konnte folgendes beweisen:

Zwei Sylow - Untergruppen, zu verschiedenen Primzahlen haben trivialen Schnitt.

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} a \in P \cap Q \end{eqnarray*}$ dann existieren $\begin{eqnarray*} j,l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} x^l = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^k = a \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ die erzeugenden Elemente der zyklischen Gruppen $\begin{eqnarray*} P,Q \end{eqnarray*}$ sind.

Es gilt dann: $\begin{eqnarray*} x^l =y^k \end{eqnarray*}$ dann folgt:

$\begin{eqnarray*} (x^l)^p = (y^k)^p \Leftrightarrow e = y^{kp} \Rightarrow kp = q \Rightarrow p | q \end{eqnarray*}$ Widerpsruch!

Also muss $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ sein.

15.08.2013, 12:10

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Na überleg mal, was für Elemente in $\begin{eqnarray*} P \cap Q \end{eqnarray*}$ gelten muss, wenn $\begin{eqnarray*} |P| = p \ne q = |Q| \end{eqnarray*}$ .

15.08.2013, 12:18

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

schau mal meinen Edit an hoffe mal das passt. Im Allgmeinen haben zwei Untergruppen mit teilerfremder Ordnung einen trivialen Schnitt..

Jetzt verstehe ich aber folgendes nicht:

In einer anderen Aufgabe war: $\begin{eqnarray*} |G| = 56 = 2^3 \cdot 7 \end{eqnarray*}$

Hier bekommt man für die Menge der 7 - Sylow - Untergruppen =: $\begin{eqnarray*} Syl_7(G) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |Syl_7(G)|=8 \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} Syl_7(G) = \left\{ P_1,P_2, ... , P_8 \right\} \end{eqnarray*}$

Der Prof. hat dann auch hin geschrieben: $\begin{eqnarray*} P_i \cap P_j = \left\{ 1 \right\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \neq i \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich jetzt nicht, denn es gilt ja: $\begin{eqnarray*} |P_i| = |P_j| \end{eqnarray*}$ ich bekomme also nicht wieder den Widerspruch, den ich in meinem Beweis hatte.

15.08.2013, 12:40

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beweis ist problematisch. Sylowgruppen müssen nicht zyklisch sein, vgl. etwa $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2^2 \end{eqnarray*}$ .

Ganz allgemein gilt: wenn $\begin{eqnarray*} P,Q \end{eqnarray*}$ Sylow-Untergruppen zu unterschiedlichen Primzahlen sind, dann teilt $\begin{eqnarray*} |P \cap Q| \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} |P| = p^k \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} |Q|=q^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} P \cap Q = \{1\} \end{eqnarray*}$ .

Edit:

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} |Syl_7(G)|=8 \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} Syl_7(G) = \left\{ P_1,P_2, ... , P_8 \right\} \end{eqnarray*}$

Der Prof. hat dann auch hin geschrieben: $\begin{eqnarray*} P_i \cap P_j = \left\{ 1 \right\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \neq i \end{eqnarray*}$

Du weißt, dass es acht verschiedene $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ gibt und kennst die Mächtigkeit je einer 7-Sylowuntergruppe. Welche Möglichkeiten gibt es dann für $\begin{eqnarray*} |P_i \cap P_j| \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i \ne j \end{eqnarray*}$ ?

15.08.2013, 12:45

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade fällt es mir in die Hand, Lagrange hilft also weiter!

Und was ist mit dem zweiten Beispiel? Da habe ich ja Sylow - Untergruppen zur gleichen Primzahl.

15.08.2013, 13:55

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass der Schnitt von Zwei Untergruppen wieder eine Untergruppe ist.

Ist denn $\begin{eqnarray*} P_i \cap P_j \leq P_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_i \cap P_j \leq P_i \end{eqnarray*}$

Oder ist nur $\begin{eqnarray*} P_i \cap P_j \leq G \end{eqnarray*}$ ??

15.08.2013, 14:27

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von steviehawk
Ist denn $\begin{eqnarray*} P_i \cap P_j \leq P_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_i \cap P_j \leq P_i \end{eqnarray*}$

Ja...

15.08.2013, 14:40

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh okay, das war mir nicht bewusst!

Dann $\begin{eqnarray*} |P_j \cap P_i| | 7 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} |P_j \cap P_i| \in \left\{ 1,7\right\} \end{eqnarray*}$

Ich kenne aber alle Gruppen der Ordnung 7 bereits (das sind gerade meine 8 Sylow - Untergruppen, oder kann es da noch mehr geben?? )

Also kann nur $\begin{eqnarray*} |P_j \cap P_i| = 1 \end{eqnarray*}$ sein und so: $\begin{eqnarray*} |P_j \cap P_i| = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 14:49

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von steviehawk
ahh okay, das war mir nicht bewusst!

Das folgt aus der Definition des Schnitts...

Zitat:

Original von steviehawk
[...] oder kann es da noch mehr geben?? )

Nein, das lieferte doch per Definition weitere 7-Sylowuntergruppen.

Zitat:

Original von steviehawk
Also kann nur $\begin{eqnarray*} |P_j \cap P_i| = 1 \end{eqnarray*}$ sein und so: $\begin{eqnarray*} |P_j \cap P_i| = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$

Ja, aber Deine Formulierung zur Begründung ist da auch noch zu indirekt:

Zitat:

Original von steviehawk
Ich kenne aber alle Gruppen der Ordnung 7 bereits [...]

Aus $\begin{eqnarray*} |P_i \cap P_j| = 7 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \ne j \end{eqnarray*}$ folgt direkt $\begin{eqnarray*} P_j = P_i \end{eqnarray*}$ und das kann eben nicht sein.

15.08.2013, 14:56

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann habe ich das jetzt endlich mal Wink

Neue Frage »

Antworten »

Schnitt von Sylow Untergruppen

Verwandte Themen