Integration einer e-Funktion

15.08.2013, 14:32

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Integration einer e-Funktion

Meine Frage:
\int_a^b \! e^(a*\sqrt{t} +b)dt

Meine Ideen:
Ich denke, dass ich mit der Substitution zum Ziel komme. Allerdings weiß ich nicht genau, was ich substituieren muss.

15.08.2013, 14:37

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RE: Integration einer e-Funktion
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^(a*\sqrt{t}+b ) \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 14:38

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RE: Integration einer e-Funktion
Das e ist die Basis und der Klammerausdruck der Exponent

15.08.2013, 14:44

Gast11022013

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Edit: Oh steht ja im ersten Beitrag wonach integriert werden soll.

$\begin{eqnarray*} \int e^{a\cdot \sqrt{t}+b}\, dt \end{eqnarray*}$

Um mehr in den Exponenten zu schreiben musst du geschweifte Klammern setzen

^{a\cdot \sqrt{t}+b}

15.08.2013, 14:46

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Es soll nach t integriert werden.
Danke für den Tipp mit den Klammern.

15.08.2013, 14:49

Gast11022013

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Substituiere $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{t} \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 15:35

Nullfolger

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auch wenn ich kein Profi bin und dieses Thema nicht erstellt habe, da im kommenden Semester sowas auf mich zukommt mutmaße ich hier mal bunt mit (wenn ich es sein lassen soll, einfach sagen - dann bin ich ruhig):

ist e^(a*\sqrt{t}+b)*2sqrt{t}/a

nicht einfach die Lösung in diesem Fall? Da die Variable, nach der integriert wird im Exponenten einer e Funktion ist muss man sie doch nur wieder hinschreiben und durch die Ableitung ihres Exponenten teilen? Richtig?

Gruß Nullfolger

15.08.2013, 15:39

Gast11022013

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Diese Regel funktioniert nur wenn der Exponent linear ist.

Das Integral von

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} \end{eqnarray*}$

ist ja auch nicht

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2x}e^{x^2} \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 15:40

Guppi12

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@Nullfolger, nein, das funktioniert nicht.
Leite dein Ergebnis mal ab. Du wirst sehen, dass nicht die ursprüngliche Funktion wieder herauskommt.

Wenn ihr hier beide rumratet, ist das vielleicht nicht so gut für den Fragesteller. Wir können das Thema gerne per PN weiter besprechen, wenn du möchtest, aber hier sollten wir nicht weiter posten, das sollten nur der Fragesteller und der Helfer.

15.08.2013, 16:54

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Ich komme leider nicht zum gewünschten Ziel.

Könnte jemand vllt ein paar Teilschritte erklären?

Das richtige Ergebnis lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{a^2}*e^{a\sqrt{t} +b} *(a\sqrt{t}-1)+c \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 16:57

Gast11022013

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Was hast du den bisher gerechnet?

Wie sieht deine Substitution aus? Danach musst du mit der Produktintegration weitermachen.

15.08.2013, 17:14

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$\begin{eqnarray*} z= \sqrt{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'= \frac{dz}{dt}= \frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dt=\frac{dz}{0,5t^{-0,5}} \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 17:16

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An dieser Stelle bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich integrieren soll.

15.08.2013, 17:18

Gast11022013

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Edit:

Das richtige Ergebnis muss natürlich

$\begin{eqnarray*} dt=2\sqrt{t} dz \end{eqnarray*}$

lauten, und nun eben noch für $\begin{eqnarray*} \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Den negativen Exponenten $\begin{eqnarray*} t^{-1/2} \end{eqnarray*}$ kannst du wieder in den Zähler schreiben und dadurch positiv machen.

Hatte gerade nicht aufgepasst.

Zitat:

An dieser Stelle bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich integrieren soll.

Setzte nun doch erstmal ein.
Dann fahre mit der Produktintegration weiter fort.

15.08.2013, 17:23

integration

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$\begin{eqnarray*} e^{az+b}= e^{az}*e^b \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich auf die partielle Integration kommen allerdings funktioniert das mit der e-Funktion nicht.

15.08.2013, 17:26

Gast11022013

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Ich habe es bereits editiert. Ich hatte etwas falsches in dein Ergebnis reininterpretiert. Das war natürlich korrekt.

15.08.2013, 17:38

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Oder welche Regel meinst Du?

15.08.2013, 17:40

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$\begin{eqnarray*} e^{az+b}= e^{az}*e^b \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich auf die partielle Integration kommen allerdings funktioniert das mit der e-Funktion nicht.

15.08.2013, 17:40

Gast11022013

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Wie sieht dein Integrand den bisher aus?

Ich meine die Produktintegration:

$\begin{eqnarray*} \int f(x) dx=u\cdot v-\int u\cdot v ' \, dx \end{eqnarray*}$

Am besten schreibst du jedoch erst einmal auf was du bisher hast.

15.08.2013, 17:45

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$\begin{eqnarray*} e^{az+b}*2\sqrt{t}dz \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehe.

15.08.2013, 17:50

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \int e^{az+b}\cdot 2\sqrt{t}\, dz \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ können wir ja noch durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ersetzen. Das haben wir ja gerade so substituiert.

Also:

$\begin{eqnarray*} \int e^{az+b}\cdot 2z\, dz \end{eqnarray*}$

Nun kannst du noch den Konstanten Faktor vor das Integral ziehen.
Außerdem bemerkst du nun, dass wir hier ein Produkt vorliegen haben, welches wir mit der oben genannten Formel integrieren müssen.

Kommst du nun weiter?

15.08.2013, 18:18

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$\begin{eqnarray*} e^{az+b} *2z-\int_a^b \! e^{az+b}*2 dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{az+b}*2z-az^2+bz*e^{az+b}*2z \end{eqnarray*}$

Müsste es so aussehen?

15.08.2013, 18:20

Gast11022013

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Nein.

Bestimme zu erst einmal u, u', v und v'

Nehme dabei für das u' den Teil mit der e-Funktion.

Außerdem kannst du vorher noch den konstanten Faktor 2 ausklammern. Dann musst du den nicht die ganze Zeit mitschleppen.

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