Eigenwerte/-vektoren 3x3 Matrix - Vereinfachung?

15.08.2013, 16:53	Captain Capri	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte/-vektoren 3x3 Matrix - Vereinfachung? Gegeben ist folgende Matrix $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich das char. Polynom $\begin{eqnarray} <br /> -(lambda)^{3} - (lambda)^{2} + 15(lambda) +21<br /> \end{eqnarray}$ Das zu berechnen bereitet mir eigentlich keine großen Probleme. Daraus dann die Eigenwerte abzulesen dann schon mehr - gerade wenn man dann in der Klausur sitzt und sowieso Zeitdruck ohne Ende hat. Durch ein paar Umformungen lässt sich die Matrix aber dankbarer weise auch auf eine (obere) Dreiecksmatrix bringen. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 0 & 3 & -9 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ An dieser kann man ohne Probleme die 3 Eigenwerte ablesen -> -2, 3 und -9. Diese sind auch die Nullstellen des char. Polynoms. Zu meiner konkreten Frage: Kann man dieses Verfahren für jegliche Matrizen anwenden oder war das nur Zufall? Habe jetzt schon mehrere Bücher durchgewühlt, deren Beispiele aber jeweils ausschließlich von Dreiecksmatrizen ausgehen.
15.08.2013, 18:22	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hää? Dein Beitrag verwirrt mich ziemlich. Weder ist das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} -\lambda^3-\lambda^2+15\lambda+21 \end{eqnarray}$ , noch sind $\begin{eqnarray} -2, 3, -9 \end{eqnarray}$ Nullstellen von diesem Polynom und auch nicht von dem richtigen charakteristischen Polynom $\begin{eqnarray} -\lambda^3-\lambda^2+21\lambda+45 \end{eqnarray}$ . Ich bin mir nicht ganz sicher, worauf du also hinaus willst.
15.08.2013, 18:37	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Der konstante Summand deines charakteristischen Polynoms ist falsch. Außerdem sind -2, 3 und -9 alles keine Nullstellen deines Polynoms, auch wenn du es richtig berechnet hättest. Ich nehme mal an, du meinst mit Umformungen Spalten- oder Zeilenumformungen. Solche Umformungen verändern im Allgemeinen die Eigenwerte einer Matrix. Um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu bestimmen, reicht bei Klausuraufgaben und Übungsaufgaben meistens alle ganzen Zahlen von -3 bis 3 durchzuprobieren und dann die passenden Faktoren rauszudividieren. Wenn man dann ein quadratisches Polynom hat, kann man ja seine Lieblingsformel benutzen. Manchmal hilft es auch das charakteristische Polynom über den Laplaceschen Entwicklungssatz zu berechnen (d.h. nach einer Zeile/Spalte entwickeln und dann die Unterdeterminanten berechnen), da man so möglicherweise passende Faktoren erhält, wo man die Nullstellen einfach ablesen kann.

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