Umformung - Trigonometrie

17.08.2013, 13:08

Kimyaci

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Umformung - Trigonometrie

Bewiesen (bzw. durch Umformungen) werden sollen folgende Aussagen

$\begin{eqnarray*} 1) \ \frac{sin(4x)}{1+cos(4x)} \cdot \frac{cos(2x)}{1+cos(2x)} = tan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \ cos(\frac{\pi}{65})cos(\frac{2\pi}{65})cos(\frac{4\pi}{65})cos(\frac{8\pi}{65})cos(\frac{16\pi}{65})cos(\frac{32\pi}{65}) = \frac 1 {65} \end{eqnarray*}$

Für 1) hab ich so angefangen

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(4x) \ cos(2x)}{(1+cos(4x)) \cdot (1+cos(2x))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(4x) \ (cos^2(x)-sin^2(x))}{(1+cos(4x)) \cdot (1+cos(2x))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(4x) \ cos^2(x)- sin(4x) \ sin^2(x)}{(1+cos(4x) \cdot[ cos^2(x) (\frac{1}{cos^2(x)}+1-\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}) ]} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(4x) \ cos^2(x)- sin(4x) \ sin^2(x)}{(1+cos(4x) \cdot[ cos^2(x) (1+tan^2(x)+1-tan^2(x))]} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(4x) \ cos^2(x)- sin(4x) \ sin^2(x)}{(1+cos(4x)) \cdot 2 cos^2(x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(4x) \ cos^2(x)- sin(4x) \ sin^2(x)}{ cos^2(x) (2cos(4x)+2) } \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich die Ausdrücke werden wieder zu kompliziert...

17.08.2013, 13:18

alterHund

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es könnnte vorteilhaft sein
$\begin{eqnarray*} \sin u\cdot cos v = \frac{1}{2}\left(\sin (u+v)+\sin (u-v)\right) \end{eqnarray*}$
zu benutzen;
auch für andere Produkte gibt es Formeln

17.08.2013, 13:20

Kimyaci

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RE: Umformung - Trigonometrie
Okay:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(4x) \ cos(2x)}{(1+cos(4x)) \cdot (1+cos(2x))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1 2 (sin(4x+2x) + (sin(4x-2x)) }{(1+cos(4x)) \cdot (1+cos(2x))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1 2 sin(6x) + \frac 1 2 sin(2x) }{(1+cos(4x)) \cdot (1+cos(2x))} \end{eqnarray*}$

Soll ich den Nenner ausmultiplizieren?

17.08.2013, 13:25

alterHund

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und $\begin{eqnarray*} 1+\cos 4x = 2\cdot \cos^2 2x \end{eqnarray*}$ dürfte übrigens günstiger sein

17.08.2013, 13:37

Kimyaci

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RE: Umformung - Trigonometrie
Das hatte ich ja auch schon im Anfangsthread benutzt, aber

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1 2 sin(6x) + \frac 1 2 sin(2x) }{2cos^2(2x)+2cos^2(2x) \cdot cos(2x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1 2 sin(6x) + \frac 1 2 sin(2x) }{2cos^2(2x)+2cos^3(2x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ sin(6x) + sin(2x) }{4cos^2(2x)(cos(2x)+1)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? verwirrt

verwirrt

17.08.2013, 13:38

HAL 9000

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Gliech von vornherein behutsam vorgehen hilft, die Monsterterme zu vermeiden:

Es ist $\begin{eqnarray*} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(2t) = 2\cos^2(t)-1 \end{eqnarray*}$ . Angewandt auf $\begin{eqnarray*} t=2x \end{eqnarray*}$ folgt für den ersten Term

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(4x)}{1+\cos(4x)} = \frac{2\sin(2x)\cos(2x)}{2\cos^2(2x)} = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \end{eqnarray*}$ .

Damit wird der gesamte linke Term deiner Behauptung zu $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} \end{eqnarray*}$ . Nun das ganze nochmal mit $\begin{eqnarray*} t=x \end{eqnarray*}$ ...

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17.08.2013, 13:41

alterHund

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sorry, nur den Nenner umformen, im Zähler nur den sin4x durch 2sin2x cos2x ersetzten,
kürzen, Gleichung einebnen, ==> ... = sinx

17.08.2013, 13:45

Kimyaci

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(4x)}{1+\cos(4x)} = \frac{2\sin(2x)\cos(2x)}{2\cos^2(2x)} = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \end{eqnarray*}$ .

Bis hierhin okay, dann folgt daraus

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \tan(2x) \end{eqnarray*}$

Aber wie kommst du auf

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} \end{eqnarray*}$ .

Die +1?

Zitat:

sorry, nur den Nenner umformen, im Zähler nur den sin4x durch 2sin2x cos2x ersetzten,
kürzen, Gleichung einebnen, ==> ... = sinx

Langsam verwirrt mich das Ganze.

17.08.2013, 13:51

HAL 9000

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Was hältst du von simplen Kürzen ?

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(4x)}{1+\cos(4x)} \cdot \frac{\cos(2x)}{1+\cos(2x)} = \frac{\sin(2x)}{{\color{red}\cos(2x)}} \cdot \frac{{\color{red}\cos(2x)}}{1+\cos(2x)} = \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kimyaci
$\begin{eqnarray*} 2) \ cos(\frac{\pi}{65})cos(\frac{2\pi}{65})cos(\frac{4\pi}{65})cos(\frac{8\pi}{65})cos(\frac{16\pi}{65})cos(\frac{32\pi}{65}) = \frac 1 {65} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht, das richtige Resultat ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{64} \end{eqnarray*}$ .

17.08.2013, 13:54

alterHund

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ok HAL9000, mach Du den Rest

17.08.2013, 13:57

Kimyaci

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Zitat:

Was hälts du von simplen Kürzen?

Ach so, du hast auch schon den zweiten Term mit benutzt - das hab ich falsch verstanden, sorry.

Zitat:

Das stimmt nicht, das richtige Resultat ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{64} \end{eqnarray*}$ .

Oh, hast recht.

Okay dann

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(2x)}{1+cos(2x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2sin(x)cos(x)}{2cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(x) \end{eqnarray*}$

Sooo, das wäre schon einmal geschafft.

Bei 2) gibt es sicher eine einfache Rechenregel, ich weiß nicht wie ich das zusammenfasse?

17.08.2013, 14:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kimyaci
Ach so, du hast auch schon den zweiten Term mit benutzt - das hab ich falsch verstanden, sorry.

Dieses miserable Lesen der Beiträge muss ich leider immer wieder beobachten - dabei habe ich es doch sehr deutlich kenntlich gemacht:

Zitat:

Original von HAL 9000
Damit wird der gesamte linke Term deiner Behauptung zu [...]

Also bitte besser lesen, so was macht mich nämlich stinksauer.

-------------------------------------------------

Zu 2) Aus $\begin{eqnarray*} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \end{eqnarray*}$ kann man per vollständiger Induktion

$\begin{eqnarray*} \sin\left( 2^n x \right) = 2^n\sin(x) \prod_{k=0}^{n-1} \cos\left( 2^k x \right) \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und beliebige reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

folgern. Für $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{65} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$ folgt damit für dein linkes Produkt

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin\left( \frac{64\pi}{65} \right)}{64\sin\left( \frac{\pi}{65} \right)} \end{eqnarray*}$ ,

von da ist es nur ein kleiner Schritt zum Endwert.

17.08.2013, 14:22

Kimyaci

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Zitat:

(...) so was macht mich nämlich stinksauer.

Reg' dich ab, so was kann doch mal vorkommen. Wenn du mich nur fertig machen willst kannst du das mit dem "Helfen" auch ganz lassen. Das demotiviert nämlich nur unnötig. Wenn ich alles auf Anhieb könnte würde ich es ja nicht hier posten.

Es mag sein, dass du Mathematik drauf hast, aber das mit dem Helfen kann nicht jeder.

Zitat:

Aus $\begin{eqnarray*} \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \end{eqnarray*}$ kann man per vollständiger Induktion (...)

Dazu müsste man voraussetzen, dass man die vollständige Induktion beherrscht - ich habs nicht umsonst in die "Schulmathematik" gepostet. Gibt es keinen anderen Weg?

17.08.2013, 16:28

alterHund

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aus
$\begin{eqnarray*} (1)~\sin 2t = 2 \sin t \cos t \end{eqnarray*}$
folgt
$\begin{eqnarray*} (2)~\sin 2^n t = 2 \sin 2^{n-1}t \cos 2^{n-1}t \end{eqnarray*}$
und
wenn man nun in (2) für den sin imer wieder (1) einsetzt
wird (2) zu
$\begin{eqnarray*} \sin 2^n t = 2^2 \sin 2^{n-2}t \cos 2^{n-1}t\cos 2^{n-2}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2^3 \sin 2^{n-3}t \cos 2^{n-1}t\cos 2^{n-2}t\cos 2^{n-3}t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2^4 \sin 2^{n-4}t \cos 2^{n-1}t\cos 2^{n-2}t\cos 2^{n-3}t \cos 2^{n-4}t \end{eqnarray*}$
........
$\begin{eqnarray*} (3)~\sin 2^n t = 2^n \sin t \cos 2^{n-1}t\cos 2^{n-2}t\cos 2^{n-3}t \cos 2^{n-4}t .. \cos t \end{eqnarray*}$

17.08.2013, 16:35

Kimyaci

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Okay, aber ich hab doch einen Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} cos(y) \cdot cos(2 \cdot y) \cdot cos( 4 \cdot y) ... cos (z \cdot y) \end{eqnarray*}$

Wie kombiniere ich nun deinen Ausdruck (3) mit obigem? verwirrt

verwirrt

17.08.2013, 16:39

alterHund

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umgekehrte Reihenfolge

17.08.2013, 16:46

Kimyaci

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Oh, ich bezeichne von nun an

$\begin{eqnarray*} t = \frac{\pi}{65} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} cos(2^{6-1} \ t) \cdot cos(2^{6-2} \ t) \cdot ... \cdot cos(2^{6-6} \ t) \end{eqnarray*}$

Aber wo ist $\begin{eqnarray*} 2^n \ \sin (t) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Oder soll ich $\begin{eqnarray*} 2^6 \ \sin (t) \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite bringen? So dass da steht

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin 2^n t}{ 2^n \sin t } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin 2^6 \left(\frac{\pi}{65} \right)}{ 2^6 \sin \left( \frac{\pi}{65} \right) } \end{eqnarray*}$

17.08.2013, 16:51

alterHund

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Du hast eine Gleichung a = b*p, und p ist Dein gesuchtes Produkt .

ich bin jetzt weg.

17.08.2013, 16:54

Kimyaci

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Habs gerade ausgerechnet, da kommt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{64} \end{eqnarray*}$

raus. Danke! Wink

Wink

17.08.2013, 17:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kimyaci
Wenn ich alles auf Anhieb könnte würde ich es ja nicht hier posten.

Das ist nur eine Rechtfertigung, die voll das Thema meiner Anmerkung verfehlt: Ich hatte keinesfalls irgendwelche fehlenden mathematischen Fähigkeiten moniert. Sondern dass du schlicht und einfach nicht den Begleittext gelesen hast, mit dem eine sofortige Zuordnung der Formel sonnenklar gewesen wäre. Eine Ablenkung, oder wieder nicht gelesen?

Zitat:

Original von Kimyaci
Es mag sein, dass du Mathematik drauf hast, aber das mit dem Helfen kann nicht jeder.

Da sagt man mal ein offenes Wort, und schon wird man von einem, dem man in vielen Threads geholfen hat, in undankbarer Weise angepöbelt. Finger2

Finger2

Na egal, ich werde dich von nun an nicht mehr mit meiner unfähigen Hilfe belästigen.

17.08.2013, 20:24

Kimyaci

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Zitat:

Das ist nur eine Rechtfertigung, die voll das Thema meiner Anmerkung verfehlt: (...)

Ich hab mich auch auf den vorherigen Thread bezogen, insbesondere auf die Aussage: "Schlechteste Umformungen die ich je in einem Leben gesehen hab".

Das war total übertrieben und unnötig, so was muss doch nicht sein. . .

Zitat:

Da sagt man mal ein offenes Wort, und schon wird man von einem, dem man in vielen Threads geholfen hat, in undankbarer Weise angepöbelt.

Nur dein Umgangston in diesem und dem vorherigen Thread gefiel mir nicht, das ist alles.

17.08.2013, 20:39

Equester

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"Schlechteste Umformungen die ich je in einem Leben gesehen hab"

Das ist in der Tat sehr "offen"/unglücklich ausgesprochen und ich kann es Kimyaci nicht verübeln, wenn darauf nicht mit Enthusiasmus reagiert wird.
Dass heute nochmals sehr deutlich der Gemütszustand von HAL beschrieben wird und das falsch ankommt, ist deshalb nicht weiters verwunderlich.
Auch wenn ich zumindest das von HAL angesprochene nachvollziehen kann.

Ich denke eine Nacht darüber schlafen und die Gemüter sollten sich beruhigt haben. Soweit ich das sehe ist der Thread ohnehin zuende.

Wink

Wink

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