Integrieren, schwierige Aufgabe

19.08.2013, 17:17

Mathelover

Integrieren, schwierige Aufgabe

Hallo liebe Boardies,

ich soll dieses Integral berechnen.

$\begin{eqnarray*} \int_1^e \! \frac{1}{x(1+log(x))} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich denke an Substitution mit u=log(x) aber ich komme nicht weiter.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

19.08.2013, 17:21

Che Netzer

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Hast du die Substitution denn mal durchgeführt?

19.08.2013, 17:31

Mathelover

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Ich weiß nicht genau wie ich das durchführen soll.

19.08.2013, 17:41

Che Netzer

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Hast du denn noch nie mit einer Substitution gearbeitet?

19.08.2013, 18:35

Mathelover

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Also ich weiß nur, dass ich diesen Satz verwenden muss.
Aber ich weiß nicht genau wie ich da vorgehen soll.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(\phi(x))*\ddot\phi(x) \,dx = \int_a^b \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

19.08.2013, 18:56

Che Netzer

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Dann ist das wirklich das erste Mal, dass du eine Substitution auf ein Integral anwendest.

Als erstes solltest du die genannte Formel richtigstellen. Die Integrationsgrenzen sollten nicht auf beiden Seiten dieselben sein und $\begin{eqnarray*} \ddot\phi \end{eqnarray*}$ ist auch falsch.
Als nächstes solltest du $\begin{eqnarray*} \phi(x) \end{eqnarray*}$ geeignet wählen.

19.08.2013, 19:18

Mathelover

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Okay also so:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(\phi(x))*{\phi}'(x) \,dx = \int_{\phi(a) }^{\phi(b)} f(t)\,dt \end{eqnarray*}$

Aber nach welchen Kriterien soll ich mein $\begin{eqnarray*} \phi(x) \end{eqnarray*}$ wählen?

//EDIT: Vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} \phi(x) = \frac{1}{(1+log(x))} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

?

19.08.2013, 19:30

Che Netzer

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Mit $\begin{eqnarray*} \phi(x)=1+\ln x \end{eqnarray*}$ wärst du besser aufgehoben; das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist in Ordnung.

19.08.2013, 19:33

Mathelover

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe

Zitat:

Original von Che Netzer
Mit $\begin{eqnarray*} \phi(x)=1+\ln x \end{eqnarray*}$ wärst du besser aufgehoben; das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist in Ordnung.

Was ist der Unterschied zwischen log und ln ? verwirrt

19.08.2013, 19:38

Mathelover

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Ah okay hab verstanden was du meinst smile

19.08.2013, 19:41

Che Netzer

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Eigentlich gibt es keinen Unterschied (hier zumindest); ich finde $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ nur eindeutiger, da $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ gelegentlich für den Logarithmus zur Basis Zehn verwendet wird.

Hast du die Aufgabe dann gelöst? Es gäbe nämlich noch eine andere Notation, die vielleicht etwas intuitiver ist. (und die ich dir dann präsentieren würde)

19.08.2013, 20:00

Mathelover

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{e}\frac{1}{1+lnx}*\frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

Wie mach ich jetzt weiter?

19.08.2013, 20:08

Che Netzer

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RE: Integrieren, schwierige Aufgabe
Jetzt hast du doch nur die Aufgabenstellung nochmal wiedergegeben verwirrt

Schreibe den Integranden mithilfe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , so dass du die zitierte Substitutionsregel anwenden kannst.

19.08.2013, 21:24

Mathelover

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Ich verstehe nicht was ich genau machen soll.

Wenn mein $\begin{eqnarray*} f := \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und mein $\begin{eqnarray*} \phi := 1+ln(x) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} {\phi}' := \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Dann folgt mit der Substituionsformel:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{e}\frac{1}{1+ln(x)} *\frac{1}{x} = \int_{\phi(1)}^{\phi(e)}\frac{1}{t}\, dt \end{eqnarray*}$

verwirrt

19.08.2013, 21:29

Che Netzer

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Im Grunde ist doch alles in Ordnung.
Nur hätte ich hier ein $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ hinter die Funktionsnamen gesetzt und statt $\begin{eqnarray*} := \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \phi' \end{eqnarray*}$ musst du $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ schreiben.
Die Gleichung am Ende stimmt aber.
Jetzt kannst du noch $\begin{eqnarray*} \phi(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(\mathrm e) \end{eqnarray*}$ berechnen und das neue Integral berechnen.

19.08.2013, 21:43

Mathelover

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Okay vielen Dank für die Hinweise smile

Also dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{e}\frac{1}{1+ln(x)} *\frac{1}{x} = \int_{1}^{2}\frac{1}{t}\, dt = \left [ ln(t) \right ]^{2}_1=ln(2)-ln(1)=ln(2) \end{eqnarray*}$

das ist aber laut Lösung falsch... unglücklich

//EDIT obere Integralgrenze verbessert.

19.08.2013, 21:51

Che Netzer

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Dann hast du entweder die Aufgabe falsch wiedergegeben oder die Lösung ist falsch.

Naja, die versprochene üblichere Notation ist folgende:
Wir ersetzen $\begin{eqnarray*} 1+\ln x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} t=1+\ln x \end{eqnarray*}$ . Um dann $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ "umrechnen" zu können, bildet man die Ableitung von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}\dx=\frac1x\,. \end{eqnarray*}$
Formales Umstellen liefert $\begin{eqnarray*} \frac1x\dx=\dd t \end{eqnarray*}$ und wir können $\begin{eqnarray*} \frac1{1+\ln x}\frac1x\dd x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac1t\dd t \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Die Integrationskonstanten kannst du entweder erst ignorieren, eine Stammfunktion finden und rücksubstituieren.
Oder du ersetzt die untere Grenze $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t=1+\ln1=1 \end{eqnarray*}$ und die obere Grenze $\begin{eqnarray*} x=\mathrm e \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t=1+\ln\mathrm e=2 \end{eqnarray*}$ .

(deine obere Grenze $\begin{eqnarray*} \tfrac1e \end{eqnarray*}$ verstehe ich mal als Tippfehler)

19.08.2013, 21:59

Mathelover

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Vielen Dank für deine Lösung smile

hier einmal die Musterlösung:

19.08.2013, 22:01

Che Netzer

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Die erste Gleichheit stimmt auch noch; die zweite ist Unsinn.

19.08.2013, 22:03

Mathelover

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