Cayley-Hamilton

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Hannibal1238 Auf diesen Beitrag antworten »
Cayley-Hamilton
Hi! Vielleicht kann mir jemand hierbei helfen:

Warum ist das folgende kein Beweis für den Satz von Cayley-Hamilton?


Sei das charakteristische Polynom der Matrix A, adj(A) sei die Adjunkte zu A.
Sei kein Eigenwert von A, dann ist die Matrix invertierbar und es gilt:

bzw.

also für A:
(Nullmatrix)

Was ist hier falsch?
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley-Hamilton
Zitat:
Original von Hannibal1238

Sei das charakteristische Polynom der Matrix A, adj(A) sei die Adjunkte zu A.
Sei kein Eigenwert von A,


Also ist eine Matrix, ein Skalar.

Zitat:
Original von Hannibal1238

(Nullmatrix)

Was ist hier falsch?


Die Gleichsetzung ist ein unzulässiger Kurzschluss.
Hannibal1238 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley-Hamilton
Zunächst vielen Dank für die Antwort.


Zitat:
Original von Raumpfleger
Die Gleichsetzung ist ein unzulässiger Kurzschluss.


Der Satz besagt ja, dass , d.h.
die Matrix wird in das Polynom eingesetzt und das Ergebnis ist die Nullmatrix. Genau das wird doch in dem "Beweis" auch gemacht (nach entsprechender Faktorisierung).
Ich verstehe nicht was nun daran falsch ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley-Hamilton
Wie kommst du darauf?

Zitat:
Original von Hannibal1238

Hannibal1238 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley-Hamilton
Zitat:
Original von WebFritzi
Wie kommst du darauf?


Eine Inverse Matrix berechnet sich doch als Adjunkte durch Determinante. Und
die Determinante von ist ja gerade . Die bringe ich auf die andere Seite und multipliziere von links mit .
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley-Hamilton
Zitat:
Original von Hannibal1238
Eine Inverse Matrix berechnet sich doch als Adjunkte durch Determinante.


Häää??? Magst du mir das nochmal auf deutsch erklären?
 
 
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley-Hamilton
Dein Beweis oder Beweisversuch scheint dem Beweis in Serge Lang, Algebra, Addison Wesley 1965, Chap. 15, § 4 sehr ähnlich. Lang beweist den Satz für lineare Abbildungen eines freien Moduln E -> E. Als Kurzschluss erschien mir die Argumentation wobei die quadratische n x n Matrix sein soll, deren Elemente alle 0 sind. In Kostrikin/Manin, Lineare Algebra und Geometrie, Moskau 1986 (russ.), § 8, Pkt. 12 ist ein Induktionsbeweis über die Dimension des Raums E, der scheint mir einsichtiger als das Konstrukt von Lang, but anyway, Schweigen ist Gold.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley-Hamilton


ist schon Quatsch, denn links steht ein Polynom und rechts eine Zahl.
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