Fixpunkt berechnen - Seite 2

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20.08.2013, 19:27

Wappi2

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1+wurzel x größer gleich 1

20.08.2013, 19:30

Wappi2

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dann könnte man das nach x umstellen?? und für die ungleichung von y gilt das selbe?

20.08.2013, 19:30

Che Netzer

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Super, geht doch.
Damit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also eine Selbstabbildung ist, müssen $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt x\geq1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt y\geq1 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein; und zwar für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ .
Um das zu zeigen, kannst du die Nichtnegativität der Wurzel nutzen.

20.08.2013, 19:33

Wappi2

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also reicht das als begründung? also wegen der nichtnegativität sind beide gleichungen erfüllt

20.08.2013, 19:36

Che Netzer

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Ja, es gilt sogar für alle $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt x\geq1+0=1 \end{eqnarray*}$ .
Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Selbstabbildung.

Jetzt bleibt noch eine letzte Voraussetzung zu überprüfen: Dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kontrahierend ist. Hast du dazu Ideen?

20.08.2013, 19:39

Wappi2

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Man hat ja diese formel mit der Norm also norm von f(x1)-f(x2) kleiner gleich c* norm x1-x2
mann könnte die matrix dort einsetzen also (1+wurzel x, 1+wurzel y)-(1+wurzel u, 1+wurzel v) aber wie man darauf kommt, das f(x,y) einen fixpunkt in (a,b) hat keine ahnung

20.08.2013, 20:03

Wappi2

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noch da?

20.08.2013, 20:23

Che Netzer

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Zitat:

Original von Wappi2
aber wie man darauf kommt, das f(x,y) einen fixpunkt in (a,b) hat keine ahnung

Ist dir überhaupt klar, wieso wir die ganzen Eigenschaften überprüfen? geschockt

20.08.2013, 20:26

Wappi2

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nein ich mein das genau (a,b) der fixpunkt ist und nicht irgendeine konkrete zahl z.b (1,2) oder so

20.08.2013, 20:32

Wappi2

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diese eigenschaften haben wir überprüft um jetzt den punkt zu suchen der durch die abbildung auf sich selbst abgebildet wird

20.08.2013, 20:35

Che Netzer

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Ziel des ersten Aufgabenteils ist es, die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes nachzuweisen. Und dem eindeutigen Fixpunkt können wir dann den Namen $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ geben. Das ist nur eine Bezeichnung.
Im letzten Aufgabenteil sollen für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konkrete Werte gefunden werden.

20.08.2013, 20:37

Wappi2

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ja so in etwas meine ich das ja.mich verwirrt nur immer dieses allgemeine

20.08.2013, 20:45

Che Netzer

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Der Banachsche Fixpunktsatz ist leider hauptsächlich eine Existenzaussage, die einem halt die Existenz eines Fixpunktes liefert, aber keine Formel zu dessen expliziter Berechnung. (zwar eine Möglichkeit zur Approximation, aber die liefert keinen exakten Wert)
Und wenn man nur die Existenz eines Fixpunktes gegeben hat, kann man dem bestenfalls eine allgemeine Bezeichnung zuweisen.

Nun zurück zur Aufgabe?
Du hast bereits die Ungleichung mit den beiden Normen genannt, die für ein $\begin{eqnarray*} c<1 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein muss.
Schreibe die in unserem Spezialfall um und nutze dabei die Summen- bzw. Eins-Norm.

20.08.2013, 20:51

Wappi2

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wie c kleiner 1?
wie soll ich die umschreiben?

20.08.2013, 20:54

Che Netzer

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Zitat:

Man hat ja diese formel mit der Norm also norm von f(x1)-f(x2) kleiner gleich c* norm x1-x2

Eine Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes ist ja, dass die zitierte Ungleichung für eine Konstante $\begin{eqnarray*} c<1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Und du sollst die Normen auf beiden Seiten umschreiben, indem du die Definition der Eins-Norm einsetzt (die sich hier wie gesagt besonders eignet).
Achte dabei darauf, dass $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ , dass also $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ Vektoren und keine Skalare sind.

20.08.2013, 20:54

Wappi2

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also norm von 1+wurzel x -1+wurzel y kleiner gleich c* norm x-y???

20.08.2013, 20:58

Che Netzer

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Nein.
Vielleicht ist dir die Ungleichung als
$\begin{eqnarray*} \lVert f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)\rVert_1\leq c\lVert(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\rVert_1 \end{eqnarray*}$
lieber, wobei $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ .

20.08.2013, 21:00

Wappi2

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ja und was muss ich jetzt tun?

20.08.2013, 21:02

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Und du sollst die Normen auf beiden Seiten umschreiben, indem du die Definition der Eins-Norm einsetzt (die sich hier wie gesagt besonders eignet).

Wie kannst du denn z.B.
$\begin{eqnarray*} \lVert(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\rVert_1 \end{eqnarray*}$
schreiben? So, dass keine Normstriche mehr übrig bleiben.

20.08.2013, 21:04

Wappi2

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als summe mit betrag

20.08.2013, 21:10

Wappi2

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also wäre die norm von f(x1,y1)-f(x2,y2) so umgeschrieben:

summe von (1+wurzel x, 1+wurzel y)-(1+wurzel x2, 1+wurzel y2)

20.08.2013, 21:13

Che Netzer

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Wenn du "Summe von" schreibst, sollten danach zwei Summanden auftreten, keine Differenz.
Aber die Summe zweier Beträge ist hier tatsächlich gefragt.

Wenn du links in "(1+wurzel x, 1+wurzel y)-(1+wurzel x2, 1+wurzel y2)" noch den Index Eins hinzufügst, hast du damit die Differenz $\begin{eqnarray*} f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2) \end{eqnarray*}$ dargestellt. Davon musst du noch die Norm bilden.

20.08.2013, 21:14

Wappi2

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aber ich dachte wir nehmen die 1 norm?
wie gehts jetzt weiter

20.08.2013, 21:25

Wappi2

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ich wusste ja gar nicht das das so mühsam wird und wir haben nicht mal i fertig =(

20.08.2013, 21:31

Wappi2

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schaffen wir das bis morgen noch? wäre wirklich dringend. ich weiß das es an mir liegt das es soo lahm läuft

20.08.2013, 21:45

Che Netzer

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Ja, wir wollen die Eins-Norm benutzen. Und was ist denn die Eins-Norm von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1+\sqrt{x_1}\\1+\sqrt{y_1}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1+\sqrt{x_2}\\1+\sqrt{y_2}\end{pmatrix}\,? \end{eqnarray*}$

Was wir jetzt machen, ist eigentlich der Hauptteil der Aufgabe; der Rest sollte schneller gehen.

20.08.2013, 21:48

Wappi2

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wurzel x1 - wurzel x2, wurzel y1, wurzely1????

20.08.2013, 21:52

Che Netzer

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Wofür stehen die Kommata? Eine Norm ist ein Skalar, keine Abfolge von drei Zahlen.

20.08.2013, 21:53

Wappi2

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da sollte ein ''-'' hin. sry aber dann weiß ich es nicht

20.08.2013, 21:55

Wappi2

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Kannst du mir nicht ein bisschen mehr helfen?

20.08.2013, 21:57

Che Netzer

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Wie wäre denn
$\begin{eqnarray*} \left\lVert\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\right\rVert_1 \end{eqnarray*}$
definiert?
Hier hast du $\begin{eqnarray*} u=(1+\sqrt{x_1})-(1+\sqrt{x_2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\dotso \end{eqnarray*}$ . [Edit: Ah, hierhin...]
Setz das in die Definition ein.

20.08.2013, 22:00

Wappi2

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da muss aber ein + hin oder?? dann wäre u= wurzel x1 -wurzel x2 und v das gleiche mit y1 bzw. 2

20.08.2013, 22:01

Wappi2

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ich weiß es echt nicht sry...

20.08.2013, 22:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von Wappi2
da muss aber ein + hin oder??

Wohin denn?
Es sollte wirklich nicht zu viel verlangt sein, eine Definition nachzuschlagen. Die der Eins-Norm bzw. der "Summennorm" (schon ein bezeichnender Begriff) sollte man eigentlich sogar kennen.

Zitat:

dann wäre u= wurzel x1 -wurzel x2 und v das gleiche mit y1 bzw. 2

Ja, das stimmt zumindest.

Vielleicht hilft es dir ja, wenn ich dir die rechte Seite verrate:
$\begin{eqnarray*} \left\lVert\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}\right\rVert_1=\left\lVert\begin{pmatrix}x_1-x_2\\y_1-y_2\end{pmatrix}\right\rVert_1=\lvert x_1-x_2\rvert+\lvert y_1-y_2\rvert\,. \end{eqnarray*}$

20.08.2013, 22:09

Wappi2

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ja und die linke seite wäre dann betrag von (1+ wurzel x1)-(1+wurzel x2) + betrag von (1+wurzel y1) -(1+wurzel y2)

20.08.2013, 22:11

Che Netzer

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Das kannst du dann wieder etwas vereinfachen (mit $\begin{eqnarray*} 1-1=0 \end{eqnarray*}$ ).

Wie sieht nun die zu überprüfende Ungleichung aus?

20.08.2013, 22:14

Wappi2

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betrag wurzel x1 -wurzel x2 + betrag von wurzel y1 -wurzel y2 ist kleiner gleich betrag x1-x2 + betrag von y1-y2

20.08.2013, 22:17

Che Netzer

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Du musst zugeben, dass das nicht sehr gut lesbar ist...
Auf der rechten Seite hast du jedenfalls die Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ vergessen.

20.08.2013, 22:18

Wappi2

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ich weiß, ich kann das nicht mit dem latex so gut

20.08.2013, 22:19

Che Netzer

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Es gibt hier auch einen Formeleditor.

Und anstatt eine einzeilige Antwort zu geben, könntest du dich auch der Aufgabe widmen...

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