Fixpunkt berechnen - Seite 3

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20.08.2013, 22:20

Wappi2

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wieso darf man die 1 norm denn verwenden? und wie gehts weiter

20.08.2013, 22:22

Wappi2

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kann man vielleicht iwas abschätzen oder weglassen in den gleichungen?

20.08.2013, 22:26

Che Netzer

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Der Banachsche Fixpunktsatz ist nicht an die euklidische Norm gebunden, wir haben also die freie Wahl bei der verwendeten Norm.

Wir müssen jedenfalls
$\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\rvert+\lvert\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\rvert\leq c\lvert x_1-x_2\rvert+c\lvert y_1-y_2\rvert \end{eqnarray*}$
überprüfen.
Ist dir klar, dass dies erfüllt ist, wenn wir
$\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt x-\sqrt y\rvert\leq c\lvert x-y\rvert \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} x,y\geq1 \end{eqnarray*}$ zeigen?
Die Ungleichung müsstest du dann einmal für $\begin{eqnarray*} x=x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=x_2 \end{eqnarray*}$ und einmal für $\begin{eqnarray*} x=y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=y_2 \end{eqnarray*}$ anwenden.

20.08.2013, 22:28

Wappi2

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Was wir überprüfen müssen ist mir jetzt klar, aber der untere teil nicht

20.08.2013, 22:33

Che Netzer

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Wenn du weißt, dass
$\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt x-\sqrt y\rvert\leq c\lvert x-y\rvert \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} x,y\geq1 \end{eqnarray*}$ gilt, dann kannst du
$\begin{eqnarray*} {\color{red}\lvert\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\rvert}+\color{blue}\lvert\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\rvert \end{eqnarray*}$
nach oben gegen
$\begin{eqnarray*} {\color{red}c\lvert x_1-x_2\rvert}+\color{blue}c\lvert y_1-y_2\rvert \end{eqnarray*}$
abschätzen, was die zu zeigende Ungleichung liefert.

20.08.2013, 22:35

Wappi2

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ja okay, das ist klar, aber wie zeige ich das denn, das dass für alle x,y größer gleich 1 ist

20.08.2013, 22:37

Che Netzer

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Darauf wäre ich ja gleich gekommen; erst wollte ich sichergehen, dass dir klar ist, wieso das ausreicht.

Für die neue Ungleichung kannst du jedenfalls den Mittelwertsatz benutzen.

20.08.2013, 22:39

Wappi2

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also durch die rechte seite teilen?? dann hätte ich ja noch c ist größer....

20.08.2013, 22:43

Che Netzer

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Ja, wenn du durch den Betrag auf der rechten Seite teilst, erhältst du links den Betrag eines Differenzenquotienten. Was sagt der Mittelwertsatz nun über diesen Differenzenquotienten aus?

20.08.2013, 22:44

Wappi2

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das ist die ableitung an einer stelle meinetwegen v, mit v ist element aus (a,b)

20.08.2013, 22:48

Che Netzer

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Was sollen denn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sein?

20.08.2013, 22:49

Wappi2

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ein intervall

20.08.2013, 22:51

Wappi2

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in unserem fall [1, unendlich)

20.08.2013, 22:51

Che Netzer

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Du meinst wohl eher, dass $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ein Intervall sein soll. Aber was für eins?

Edit: Ah. Naja, $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ liegt nach Mittelwertsatz zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , aber damit auch in $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ .
Genau das brauchen wir auch.
Kannst du also die Ableitung (welche?) auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ nach oben durch ein $\begin{eqnarray*} c<1 \end{eqnarray*}$ abschätzen?

20.08.2013, 22:52

Wappi2

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[1, unendlich)

20.08.2013, 22:54

Che Netzer

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(siehe Edit)

20.08.2013, 22:56

Wappi2

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also links die ableitung soll ich abschätzen? mhh ne

20.08.2013, 22:59

Che Netzer

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Schreib erstmal auf, was du bisher hast. Welchen Differenzenquotienten kannst du mithilfe welcher Ableitung darstellen?

20.08.2013, 23:02

Wappi2

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$\begin{eqnarray*} | \sqrt{x} -\sqrt{y} | /| x-y | \leq c \end{eqnarray*}$

20.08.2013, 23:04

Che Netzer

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Super, sogar in $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ smile

Und den Differenzenquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt x-\sqrt y}{x-y} \end{eqnarray*}$ kannst du nun mithilfe des Mittelwertsatzes durch eine Ableitung an einer Stelle $\begin{eqnarray*} v\in[1,\infty) \end{eqnarray*}$ darstellen. Wie genau sieht das aus?

20.08.2013, 23:06

Wappi2

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f'(v) kleiner gleich c?

20.08.2013, 23:07

Che Netzer

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Jein.
Ich dachte an $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt x-\sqrt y}{x-y}=f'(v) \end{eqnarray*}$ .
Die Frage ist nun, wie $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ aussieht.

20.08.2013, 23:09

Wappi2

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ohh, das weiß ich nicht =/. vielleicht eine zahl 1 oder so

20.08.2013, 23:14

Che Netzer

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Dann sieh dir mal die Aussage des Mittelwertsatzes an. Die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ welcher Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wird dort betrachtet?

20.08.2013, 23:16

Wappi2

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einer stetigen funktion???

20.08.2013, 23:24

Wappi2

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ich weiß es nicht, und iwie kann ich grad auch nicht mehr denken =/

20.08.2013, 23:27

Che Netzer

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Sieh dir lieber an, wie ihr den Mittelwertsatz formuliert habt, anstatt herumzuraten. Und überleg dir dann, auf welche Funktion wir ihn hier anwenden wollen.

20.08.2013, 23:28

Wappi2

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wir wollen den auf die wurzelfunktion anwenden oder?

20.08.2013, 23:35

Wappi2

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ich wollte eigentlich vor der klausur morgen nochwas schlafen xD.Und die aufgabe wollte ich eigentlich auch gerechnet haben...weil ich weiß das das dran kommt und nun hängen wir schon seit stunden hier rum, ich wollte nur ein bisschen hilfe haben, weil ich echt nicht so viel ahnung habe wie du merkst...

20.08.2013, 23:38

Che Netzer

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Zitat:

Original von Wappi2
wir wollen den auf die wurzelfunktion anwenden oder?

Ja, genau.
Und wie lautet die Ableitung der Wurzelfunktion?
Lässt sich die auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ nach oben gegen eine Konstante kleiner Eins abschätzen?

Und dass du erst am Tag vor der Klausur dieses Thema lernst, ist dein Problem. Hier werden prinzipiell keine Lösungen vorgerechnet, sondern es wird Mitarbeit verlangt. Das ändern wir nicht, nur weil du morgen eine Klausur schreiben musst.
Insbesondere ist es fraglich, ob du solche Aufgabentypen morgen selbst bewältigen kannst, wenn du sie jetzt einmal vorgerechnet bekommst. Komplettlösungen bzw. Beispielaufgaben findest du genügend im Internet.

20.08.2013, 23:39

Wappi2

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ja mit 1/2

20.08.2013, 23:43

Che Netzer

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Sehr gut.
Wenn du jetzt alles zusammenbastelst, hast du i) geschafft.
Hast du dazu noch Fragen oder möchtest du mit ii) weitermachen? Oder reicht dir das für heute?

20.08.2013, 23:44

Wappi2

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ich würde schon gerne noch die ii und iii machen, wenn das nicht soooo viel ist?

20.08.2013, 23:45

Che Netzer

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Von mir aus ist das kein Problem.

Also zur ii).
Wir haben jetzt die Existenz eines Fixpunktes $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ . Schreib mal auf, was das bedeutet. Was müsste gelten, damit auch $\begin{eqnarray*} (b,a) \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt ist?

20.08.2013, 23:47

Wappi2

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ja wir haben einen punkt gefunden, der auf sich selbst abgebildet wird, oder? dann muss gelten a=b??

20.08.2013, 23:49

Che Netzer

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Nein. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet diesen Punkt auf sich selbst ab. Daraus wollen wir erst noch folgern, dass $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist übrigens nicht immer der Fall, sondern liegt an der speziellen Form von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

20.08.2013, 23:50

Wappi2

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ja mein ich doch. mhh okay

20.08.2013, 23:52

Che Netzer

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Nun solltest du hierauf eingehen:

Zitat:

Original von Che Netzer
Schreib mal auf, was das bedeutet. Was müsste gelten, damit auch $\begin{eqnarray*} (b,a) \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt ist?

20.08.2013, 23:54

Wappi2

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das ganze umgekehrt?? mhh

20.08.2013, 23:56

Che Netzer

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Als erstes solltest du wie gesagt aufschreiben, was es bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist. Welche Gleichung beschreibt diese Aussage?

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