Fixpunkt berechnen - Seite 4

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20.08.2013, 23:58	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \| \sqrt{x} -\sqrt{y} \|/\| x-y \| \leq c \end{eqnarray}$
21.08.2013, 00:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Ungleichung... ... die außerdem nichts mit einer Fixpunktgleichung gemein hat. Was ist denn ein Fixpunkt? Welche Gleichung soll ein Fixpunkt einer Funktion erfüllen?
21.08.2013, 00:00	wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
1/2 kleiner gleich c
21.08.2013, 00:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das soll deine Fixpunktgleichung sein?
21.08.2013, 00:02	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das die am anfang mit der norm?
21.08.2013, 00:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Wenn du nicht weißt, was ein Fixpunkt ist, kannst du das nachschlagen. Wobei du das aber auch schon vor dem Bearbeiten der Aufgabe hättest tun sollen, da es hier ja um Fixpunkte geht... Also: Schlag irgendwo nach, was es bedeutet, dass $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist. Durch welche Gleichung dies beschrieben wird.
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21.08.2013, 00:06	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
achso f(x)=x
21.08.2013, 00:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht schon viel besser aus. Und wie lautet dann diese Fixpunktgleichung für die hier betrachtete Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und den Fixpunkt $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ ? Wie würde sie für den Fixpunkt $\begin{eqnarray} (b,a) \end{eqnarray}$ lauten?
21.08.2013, 00:08	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
f(a)=b für (a,b) f(b)=a für (b,a)
21.08.2013, 00:09	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Das hier betrachtete $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ braucht wie gesagt zwei Argumente, nicht nur eins.
21.08.2013, 00:10	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
f(a,b)=a f(b,a)=b??
21.08.2013, 00:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die linken Seiten sehen besser aus. Allerdings haben auch die Bildwerte von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zwei Komponenten und sind keine Skalare. Außerdem kannst du $\begin{eqnarray} f(a,b) \end{eqnarray}$ noch etwas konkreter angeben, indem du die Definition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ einsetzt.
21.08.2013, 00:12	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
bzw. f(a,b)=(a,b) f(b,a)=(b,a)
21.08.2013, 00:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt stimmt es. Aber wie gesagt kannst du noch in die Definition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ einsetzen.
21.08.2013, 00:14	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
f(a,b)=[1, unendlich) f(b,a)=(- unendlich, 1]
21.08.2013, 00:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll das denn werden? Die Funktionswerte sollen plötzlich Intervalle sein? Was ist denn $\begin{eqnarray} f(a,b) \end{eqnarray}$ definitionsgemäß?
21.08.2013, 00:16	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
1/2 ?
21.08.2013, 00:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt: Die Bildwerte von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sind Vektoren mit zwei Komponenten. Du hast doch aber in deinem Eröffnungsbeitrag eine Funktionsvorschrift für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ angegeben. Du sollst jetzt nur $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ darin einsetzen.
21.08.2013, 00:19	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
f(a,b)=(1+wurzel a, 1+wurzel b) f(b,a)=(1+wurzel b, 1+ wurzel a)
21.08.2013, 00:22	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
und bei einer matrix darf man zeilen tauschen, also sind a und b gleich?
21.08.2013, 00:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Kombiniert sind $\begin{align} \begin{pmatrix}1+\sqrt a\\1+\sqrt b\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\,,\\\begin{pmatrix}1+\sqrt b\\1+\sqrt a\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix} \end{align}$ also die Fixpunktgleichungen für $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b,a) \end{eqnarray}$ . Wir wissen bereits, dass eine von ihnen gilt. - Welche? Und lässt sich daraus folgern, dass auch die andere gilt?
21.08.2013, 00:24	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die erste gilt. und dei zweite gilt auch, da man zeilen tauschen darf?
21.08.2013, 00:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Kannst du jetzt ii) damit beenden, dass du $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ folgerst?
21.08.2013, 00:27	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn die begründung mit dem zeilentausch reicht ja =)
21.08.2013, 00:27	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, bisher hast du nur gefolgert, dass $\begin{eqnarray} (b,a) \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist. Es fehlt noch ein Kommentar, weshalb $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ gilt.
21.08.2013, 00:28	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
wie würdest du das denn begründen?
21.08.2013, 00:30	wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
achso okay ja ist gut
21.08.2013, 00:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, hier werden keine Lösungen angegeben. Du weißt jetzt, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die beiden Fixpunkte $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b,a) \end{eqnarray}$ hat. Sieh dir mal die Aufgabenstellung aus i) an.
21.08.2013, 00:32	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
ja okay, hab ich ja vor dir noch geschrieben....jetzt noch iii
21.08.2013, 00:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann setz mal $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ in $\begin{align} \begin{pmatrix}1+\sqrt a\\1+\sqrt b\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\ \end{align}$ ein. Was bleibt dann noch übrig?
21.08.2013, 00:35	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
1+wurzel a=a
21.08.2013, 00:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wenn du diese Gleichung lösen kannst, ist die Aufgabe erledigt, denn dann hast du den Fixpunkt $\begin{eqnarray} (a,a) \end{eqnarray}$ bestimmt. Hast du auch schon eine Idee, wie du diese Gleichung lösen könntest?
21.08.2013, 00:37	Wappi2	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sowas kann ich dann doch noch =), super ich bedanke mich recht herzlich bei dir für die ganze mühe!!!

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