Ausgleichsebene für 4 Punkte im Raum

21.08.2013, 12:21

Tobias1994

Ausgleichsebene für 4 Punkte im Raum

Hallo,

ich habe 4 Punkte $\begin{eqnarray*} P_{1} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{pmatrix},...,P_{4}= \begin{pmatrix} x_{4} \\ y_{4} \\ z_{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} ~\mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ gegeben. Die Punkte liegen nicht auf einer Ebene (falls die "genaue" Positionierung interessant ist: Die Punkte liegen fast auf einer Ebene, da $\begin{eqnarray*} y_{1} \approx ... \approx y_{4} \end{eqnarray*}$ und bilden somit auch fast ein Rechteck, da die Innenwinkel etwa 90° sind).

Mein Ziel ist es nun eine Ebene aufzustellen, sodass alle Punkte möglichst nah an der Ebene liegen, also die Summe der Quadrate des kürzesten Abstandes jedes Punktes zur Ebene minimal ist (ich glaube das wird Ausgleichsebene genannt?). Außerdem interessieren mich dann die Koordinaten der neuen Punkte.

Ich habe dafür bereits folgendes gemacht:
Zunächst habe ich die Ebenengleichung (Parameterdarstellung) aufgestellt (siehe Wikipedia):
$\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{q} = ~\overrightarrow{p} + s * ~\overrightarrow{v1} + t * ~\overrightarrow{v2} \end{eqnarray*}$

Mein Ziel ist es also $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{p}, ~\overrightarrow{v1}, ~\overrightarrow{v2} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Da ich so nicht weitergekommen bin, habe ich (auch nach Boardsuche hier) folgende Anleitung gefunden und das mal damit gerechnet. Allerdings weiß ich nicht so recht was ich mit dem Ergebnis anfangen soll. Berechne ich dann einfach für jeden meiner Punkte einen neuen y-Wert (ich habe $\begin{eqnarray*} y=a_{3}+b_{3}*x+c_{3}*z \end{eqnarray*}$ als Gleichung angenommen)? Dann liegen die Punkte doch immernoch nicht auf einer Ebene, oder?

Dann habe ich noch folgende Anleitung zur Berechnung der Ausgleichsebene gefunden, allerdings scheint das ja recht aufwendig zu sein (Berechnung der EW und EV...) - geht das nicht einfacher über das Lösen eines LGS (dafür habe ich bereits entsprechende Funktionen)?

Kurzum: Ich glaube ich brauche hier etwas Hilfe und würde mich freuen, wenn jemand ein paar Tipps für mich hätte.

Danke vorab und liebe Grüße,
Tobias

21.08.2013, 13:12

zyko

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RE: Ausgleichsebene für 4 Punkte im Raum
Da deine Punkte mit den Werten x, y, z gegeben sind, ist der Ebenenansatz
$\begin{eqnarray*} z=a+bx+cy \end{eqnarray*}$ sinnvoll.
Daraus ergibt sich das Optimierungsproblem
$\begin{eqnarray*} \Phi(a,b,c)=\sum_{i=1}^4(a+bx_i+cy_i-z_i)^2\rightarrow Min \end{eqnarray*}$
Die partiellen Ableitungen nach a, b und c bilden und Nullsetzen dieser Ableitungen liefert drei Gleichungen für die drei Unbekannten.

21.08.2013, 13:36

Tobias1994

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Danke für die Antwort. Ist in meinem Fall nicht $\begin{eqnarray*} y = a + b * x + c * z \end{eqnarray*}$ besser, da die $\begin{eqnarray*} y_{i} \end{eqnarray*}$ sowieso fast alle den gleichen Wert haben?
Ansonsten habe ich das mal gemacht und wenn ich mich nicht total verrechnet habe entspricht das den Gleichungen aus meinem ersten Link: http://www.uibk.ac.at/econometrics/einf/05p.pdf

Das berechnen von a, b und c habe ich also erledigt aber was sagen mir die Werte nun? Setze ich nun für jeden der 4 Punkte x und y ein und berechne mir einen neuen z-Wert?
Und sind diese neuen Punkte dann die entsprechenden Punkte auf der Ebene?

Und noch eine generelle Frage: Hierbei handelt es sich doch um eine Regression, bei der man davon ausgeht, dass z von x und y abhängt, also (x,y,z) entspricht (x,y,f(x,y)), oder? Kann/Darf man das einfach voraussetzen?

21.08.2013, 14:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tobias1994
Danke für die Antwort. Ist in meinem Fall nicht $\begin{eqnarray*} y = a + b * x + c * z \end{eqnarray*}$ besser, da die $\begin{eqnarray*} y_{i} \end{eqnarray*}$ sowieso fast alle den gleichen Wert haben?

Ja.

Eine Anmerkung: Deine Forderung war explizit

Zitat:

Original von Tobias1994
also die Summe der Quadrate des kürzesten Abstandes jedes Punktes zur Ebene minimal ist

Was zyko gemacht ist, ist nicht ganz dasselbe: Er hat nicht den kürzesten Abstand zur Ebene genommen, sondern den Abstand entlang einer Geraden, die zur z-Achse (oder hier jetzt mit der Vertauschung: zur y-Achse) parallel war. Das ergibt eine andere Ausgleichsebene. Deine Variante hat den Vorteil, dass sie Koordinatensystem-invariant ist.

Der Vorteil von zykos Verfahren ist, dass zur Koeffizientenbestimmung ein einfaches lineares 3x3-Gleichungssystem genügt, während in dem richtigen, von dir ja oben verlinkten Verfahren eine Eigenwert- und zugehörige Eigenvektorbestimmung ansteht.

Wenn deine y-Werte sich nur minimal unterscheiden (verglichen mit den Abständen der x,z-Werte), dann unterscheiden sich diese beiden Herangehensweisen im Ergebnis nur marginal.

21.08.2013, 15:49

Tobias1994

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Vielen Dank HAL 9000, das klärt alle Fragen die ich zu diesem Thema habe/hatte.

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